L-15-Spring2018 (Грешнов - Лекции (1-15))
Описание файла
PDF-файл из архива "Грешнов - Лекции (1-15)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ü15 â : 22.05.2018¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¯à®¥ªâ¨¢ë¬¨ ª®®à¤¨ â ¬¨¯¥à¢®© ¨ ¢â®à®© ¬®¤¥«ï¬¨ ¯à®¥ªâ¨¢®© ¯«®áª®á⨠áᬮâਬ ää¨ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ S ¨ ª®®à¤¨ â묨®áﬨ X i , i = 1, 2, 3, ¨ á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ¨¬ á ¡ §¨á묨 ¢¥ªâ®à ¬¨ Ei , i = 1, 2, 3.஢¥¤¥¬ ç¥à¥§ â®çªã á ª®®à¤¨ â ¬¨ (0, 0, 1) = E3 ¯«®áª®áâì , ¯ à ««¥«ìã®áª®á⨠X1 SX2 . ¢¥¤¥¬ ¯«®áª®á⨠á¨á⥬㠪®®à¤¨ â E3 xy, ¯à¨¨¬ ï § ç «® ª®¥æ ¥¤¨¨ç®£® ¢¥ªâ®à E3 , ¢ë¯ã饮£® ¨§ S , § ®á¨ ª®®à¤¨ â |¯àï¬ë¥ E3 x, E3 y, «¥¦ 騥 ¢ , ¯ à ««¥«ìë¥ ¯àï¬ë¬ X 1 , X 2 ᮮ⢥âá⢥®,¢ë¡¨à ï ¯à¨ í⮬ ¡ §¨áë¥ ¢¥ªâ®àë e1 , e2 â ª¨¥, çâ® ei = Ei , i = 1, 2.
¡®§ 稬e ¯®¯®«¥ãî ¥á®¡á⢥묨 í«¥¬¥â ¬¨ ¯«®áª®áâì .ç¥à¥§ ஥ªâ¨¢ë¥ ª®®à¤¨ âë x1 : x2 : x3 ýâ®çª¨þ l á¢ï§ª¨ S ¡ã¤ãâ ®¤®à®¤ë¬¨eª®®à¤¨ â ¬¨ â®çª¨ M = l ∩ .e â® ¥¥ ¯à®¥ªâ¨¢ë¥ ª®®à¤¨ â륩á⢨⥫ì®, ¥á«¨ M | ᮡá⢥ ï â®çª ,e à ¢ë x1 : x2 : 1, ¯®áª®«ìªã ei = Ei , i = 1, 2, â® E = E1 + E2 + E3 =¢e1 + e2 + E3 , £¤¥ E | ¥¤¨¨ç ï â®çª ä䨮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â SX 1 X 2 X 3 .e (lkπ ), â® x3 = 0, x1 , x2 , 0 | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à , ᫨ M | ¥á®¡á⢥ ï â®çª ª®««¨¥ ண® l ¨ «¥¦ 饣® ¢ ¯«®áª®á⨠π.
. ¥. ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯à®¥ªâ¨¢ë¥ª®®à¤¨ âë ýâ®çª¨þ l ᮢ¯ ¤ îâ á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ®¤®à®¤ë¬¨ ª®®à¤¨ â ¬¨ex1 : x2 : 0 ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¥á®¡á⢥®© â®çª¨ ¯«®áª®á⨠.¥à¥å®¤ ®â ®¤®© ¯à®¥ªâ¨¢®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ª ¤à㣮© á ¬®¬ ¤¥«¥ á¢ï§ª á ®¯à¥¤¥«¥®© ¥© ¯à®¥ªâ¨¢®© á¨á⥬®© ª®®à¤¨ ⯥८á¨âáï ¯®á।á⢮¬ ¯¥àᯥªâ¨¢®£® ®â®¡à ¦¥¨ï (¯¥àᯥªâ¨¢®£® ᮮ⢥âe ®£¤ ¢¬¥áâ® ý¯àï¬ë¥ á¢ï§ª¨þ £®¢®à¨¬ ýâ®çá⢨ï) ¯®¯®«¥ãî ¯«®áª®áâì .e ¢¬¥áâ® ý¯«®áª®á⨠á¢ï§ª¨þ | ý¯àï¬ë¥ ¯«®áª®á⨠þ.e ®®à¤¨ª¨ ¯«®áª®á⨠þ,e = Xi , i = 1, 2, 3; í⨠â®çª¨ §ë¢ îâáï âë¥ «ãç¨ X i ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ â®çª¨ X i ∩ ¢¥àè¨ ¬¨ ª®®à¤¨ ⮣® âà¥ã£®«ì¨ª , á®áâ®ï饣® ¨§ â®ç¥ª Xi , i = 1, 2, 3, ¨ ¯àï¬ëå (Xi Xj ), i 6= j (áâ®à®ë ª®®à¤¨ ⮣® âà¥ã£®«ì¨ª ). ¤¨¨çë© «ãç E ¯à¨e ®çª¨ X1 , X2 , X3 , E §ë¢ îâáï ¡ í⮬ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¥¤¨¨çãî â®çªã E = E ∩ .e§¨á묨 ¨«¨ ä㤠¬¥â «ì묨 â®çª ¬¨ ¯à®¥ªâ¨¢®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â . ¯à®¥ªâ¨¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â, ¨¤ãæ¨à®¢ ®© ç¥â¢¥àª®© â®ç¥ª X1 , X2 , X3 , E ,í⨠â®çª¨ ¨¬¥îâ ᮮ⢥âá⢥® ª®®à¤¨ âë 1 : 0 : 0, 0 : 1 : 0, 0 : 0 : 1, 1 : 1 : 1.¤ ª® ¯«®áª®á⨠¬®¦¥â ¡ëâì § ¤ ᢮ï ää¨ ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ âe «ï â®(x, y), ¨¤ãæ¨àãîé ï ®¤®à®¤ë¥ ª®®à¤¨ âë ¯à®¥ªâ¨¢®© ¯«®áª®á⨠.12£®, çâ®¡ë ¢ëïá¨âì ¢§ ¨¬®á¢ï§ì íâ¨å ¤¢ãå á¨á⥬ ª®®à¤¨ â, ¬ë ¢ë¢¥¤¥¬ ä®à¬ã«ã§ ¬¥ë ¯à®¥ªâ¨¢ëå á¨á⥬ ª®®à¤¨ â.ãáâì ¢ á¢ï§ª¥ § ¤ ë ¤¢¥ ¯à®¥ªâ¨¢ë¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â {X 1 , X 2 , X 3 , E}, {X 1 , X 2 , X 3 , E }.
ਠí⮬ ®¢ ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â § ¤ ª ª¨¬¨-â® âனª ¬¨¢ áâ ன á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â X 1 = (c11 : c21 : c31 ), X = (c : c : c ),12 22 322X = (c13 : c23 : c33 ), 3E = (ε1 : ε2 : ε3 ).(15.1) ¯¨è¥¬ ä®à¬ã«ë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ª®®à¤¨ â, ¢ëà ¦ î騥 ¯à®¥ªâ¨¢ë¥ ª®®à¤¨ âë x1 , x2 , x3 «î¡®© ýâ®çª¨þ M ®â®á¨â¥«ì® ¨á室®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ç¥à¥§¯à®¥ªâ¨¢ë¥ ª®®à¤¨ âë x1 , x2 , x3 í⮩ ¦¥ â®çª¨ ¢ ®¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â.ãáâì âனª¨ ª®®à¤¨ â ¨§ (15.1) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ᮣ« ᮢ ®áâ¨, â.
¥.3Xj =1(c1j , c2j , c3j ) = (ε1 , ε2 , ε3 ).®£¤ , ¢®§¢à é ïáì ª á¢ï§ª¥ ¨ ¯®« £ ï, çâ® ¨á室 ï ¯à®¥ªâ¨¢ ï á¨á⥬ ¨¤ãæ¨à®¢ á¨á⥬®© ª®®à¤¨ â Oe1 e2 e3 , ¢¨¤¨¬, çâ® ¢¥ªâ®àë ej = (c1j , c2j , c3j ),j = 1, 2, 3, «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë (ª ª ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ¥ª®¬¯« àëå «ã祩) ¨ ää¨ ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â Oe1 e2 e3 ¨¤ãæ¨àã¥â ¯à®¥ªâ¨¢ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â {X 1 , X 2 , X 3 , E }.
¦¤ ï âனª x1 , x2 , x3 ¯à®¥ªâ¨¢ëå ª®®à¤¨ â¯à®¨§¢®«ì®£® «ãç m ¢ á¨á⥬¥ {X 1 , X 2 , X 3 , E} ¥áâì âனª ª®®à¤¨ â ¢ Oe1 e2 e3¥ª®â®à®£® ¯à ¢«ïî饣® ¢¥ªâ®à v «ãç m; ᮮ⢥âá⢥®, âனª x1 , x2 , x3 ¯à®¥ªâ¨¢ëå ª®®à¤¨ â «ãç m ¢ á¨á⥬¥ {X 1 , X 2 , X 3 , E} ¥áâì âனª ª®®à¤¨ ⢠Oe1 e2 e3 ¥ª®â®à®£® ¯à ¢«ïî饣® ¢¥ªâ®à λv, λ 6= 0, ⮣® ¦¥ «ãç m.
ᯮ¬¨ ï ä®à¬ã«ã § ¬¥ë ää¨ëå ª®®à¤¨ â, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ x1c11λ x2 = c21c31x3c12c22c32 c13x1c23x2 ,c33x3(15.2)£¤¥ λ | ¬®¦¨â¥«ì, ¯à¨¨¬ î騩 «î¡ë¥ ¥ã«¥¢ë¥ § 票ï. ®à¬ã« (15.2)¨ ¥áâì ä®à¬ã« ¯¥à¥å®¤ ®â ¯à®¥ªâ¨¢®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â {X 1 , X 2 , X 3 , E} ª á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â {X 1 , X 2 , X 3 , E }.®à¬ã« (15.2) ¤®ª § ¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨ ¢ë¯®«¥¨ï ãá«®¢¨© ᮣ« ᮢ ®á⨤«ï (15.1). ¤ ª®, ¥á«¨ ãá«®¢¨ï ᮣ« ᮢ ®á⨠¤«ï (15.1) ¥ ¢ë¯®«ïîâáï, â®,3ãç¨âë¢ ïc11det c21c31c13c23 6=c33c12c22c320, â ª¨¥, çâ®c11 c21c31c12c22c320, ¢á¥£¤ ©¤ãâáï ç¨á« λi , i = 1, 2, 3, λ1 λ2 λ3 6= c13λ1ε1c23 λ2 = ε2 .c33λ3ε3¥©á⢨⥫ì®, ¬ë ¨¬¥¥¬λ1=ε1 c12 c13det ε2 c22 c23 ε3 c32 c33 6= 0,c11 c12 c13det c21 c22 c23 c31 c32 c33¯®áª®«ìªã «ãç¨ X 2 , X 3 , E ¥ ª®¬¯« àë; â® ¦¥ ª á ¥âáï ¨ λ2 , λ3 , ¯®í⮬ãλ1 λ2 λ3 6= 0.
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¬¥áâ® (15.1) á«¥¤ã¥â à áᬠâਢ âì âனª¨ X1 = λ1 (c11 : c21 : c31 ), X = λ (c : c : c ),2 12 22 322X3 = λ3 (c13 : c23 : c33 ), E = (ε1 : ε2 : ε3 ).ਬ¥à. â®à® ¬¨ (X2 X3 ), (X3 X1 ), (X1 X2 ) ¡ §¨á®£® âà¥ã£®«ì¨ª ¯à®¥ªâ¨¢-®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¯®¯®«¥®© ¯«®áª®á⨠ïîâáï ¯àï¬ë¥, § ¤ 륮â®á¨â¥«ì® ä䨮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¯«®áª®á⨠¯àï¬ë¬¨x − 4 = 0,y − 3 = 0,3x + 4y = 12. ¤¨¨ç®© ¡ §¨á®© â®çª®© ï¥âáï â®çª , ¨¬¥îé ï ää¨ë¥ ª®®à¤¨ âë (3, 2). ©â¨ ¯à®¥ªâ¨¢ë¥ ª®®à¤¨ âë ýâ®çª¨þ M , ää¨ë¥ ª®®à¤¨ âë ª®â®à®© ¯«®áª®á⨠(1, 1).¥è¥¨¥.
¬¥¥¬ X1 = (0, 3), X2 = (4, 0), X3 = (4, 3). «¥¤®¢ ⥫ì®, ®¤®à®¤ë¥ª®®à¤¨ âë â®ç¥ª X1 , X2 , X3 , E (¯à®¥ªâ¨¢ë¥ ª®®à¤¨ âë ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ýâ®ç¥ªþ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 á¢ï§ª¥, á¬. ¯à¥¤ë¤ã騩 ¯ à £à ä) à ¢ë ᮮ⢥âá⢥®(0 : 3 : 1), (4 : 0 : 1), (4 : 3 : 1), (3 : 2 : 1),(15.3) ¯à®¥ªâ¨¢ë¥ ª®®à¤¨ âë |(1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (1 : 1 : 1).(15.4)4¥¯¥àì 㦮 ¢ëç¨á«¨âì ¥¨§¢¥áâë¥ ª®íää¨æ¨¥âë ¯à®¥ªâ¨¢®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï x1c11λ x2 = c21x3c31c12c22c32 c130c23 3 ,c331 0c13x1c23 x2 ,c33x3(15.5)¯¥à¥¢®¤ï饣® ¡ §¨áë¥ â®çª¨ (15.3) ¢ ¡ §¨áë¥ â®çª¨ (15.4).
®-®ç¥à¥¤¨ ¯®¤áâ ¢«ïï ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª®®à¤¨ âë ¨§ (15.3), (15.4) ¢ (15.5), ¬ë ¯®«ãç ¥¬λ100c11 = c21c310 304 3⇒ 4®âªã¤ ¯®«ãç ¥¬ c11 c12 c134 λ2 = c21 c22 c23 0 ,0c31 c32 c331 0c11 c12 c134 0 = c21 c22 c23 3 λ3c31 c32 c331 1c11λ10 3 1c2101 c12 = 0 , 4 0 1 c22 = λ2 ,1c1304 3 1c230 0c310 3 1 4 0 1 c32 = 0 ,λ3c334 3 1c12c22c32 λ1−4x1λ x2 =0λ3x340− λ32λ33 λ1x1x2 .λ2x3−λ3(15.6)®¤áâ ¢¨¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª®®à¤¨ âë ¥¤¨¨ç®© â®çª¨ ¢ (15.6)®âªã¤ λ1−4λ4 λ4 = 0λ3λ440− λ32λ33 λ132 ⇒λ21−λ3 x1−5λ x2 = 0x33= 4 λ4 ,λ2 = 3 λ4 ,λ3 = 125λ4 ,λ10 20x1−5 15 x2 .(15.7)4 −12x3®¤áâ ¢«ïï ®¤®à®¤ë¥ ª®®à¤¨ âë (1 : 1 : 1) â®çª¨ M ¢ (15.7), ¯®«ãç ¥¬ ¥¥¯à®¥ªâ¨¢ë¥ ª®®à¤¨ âë, à ¢ë¥ (3 : 2 : −1).஥ªâ¨¢ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¯à¥¤¥«¥¨¥ 15.1. â®¡à ¦¥¨¥ f : e → e ¯à®¥ªâ¨¢®© ¯«®áª®áâ¨ á¥¡ï §ë¢ ¥âáï ¥¥ ¯à®¥ªâ¨¢ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢¥ â ª¨¥ ¯à®¥ªâ¨¢ë¥á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â{X 1 , X 2 , X 3 , E}, {X 1 , X 2 , X 3 , E },(15.8)5e ¨¬¥¥â ⥠¦¥ ¯à®¥ªâ¨¢ë¥ ª®®à¤¨ âë ¢ á¨á⥬¥çâ® ¯à®¨§¢®«ì ï â®çª M ∈ {X 1 , X 2 , X 3 , E}, çâ® ¨ â®çª M = f (M ) ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â {X 1 , X 2 , X 3 , E }.।¯®«®¦¨¬, çâ® ¯à®¥ªâ¨¢®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ f § ¤ ® ¤¢ã¬ï á¨á⥬ ¬¨ ª®®à¤¨ â (15.8), á¢ï§ 묨 ä®à¬ã«®© ¯¥à¥å®¤ (15.2).
ë å®â¨¬ ©â¨, ª ª á¢ï§ 묥¦¤ã ᮡ®© ª®®à¤¨ âë x1 , x2 , x3 ¯à®¨§¢®«ì®© ýâ®çª¨þ M ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â{X 1 , X 2 , X 3 , E} ¨ ª®®à¤¨ âë x1 , x2 , x3 ¥¥ ®¡à § M = f (M ) ¢ ⮩ ¦¥ á¨á⥬¥.«ï í⮣® ®¡®§ 稬 ª®®à¤¨ âë â®çª¨ M ¢ á¨á⥬ å (15.8) ç¥à¥§ y1 , y2 , y3 ¨y1 , y2 , y3 ᮮ⢥âá⢥®. ¬¥¥¬, á¬. (15.2), c13y1c23y2 .c33y3¯à¥®¡à §®¢ ¨ï y = x , i y1c11λ y2 = c21y3c31c12c22c32(15.9)® ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¯à®¥ªâ¨¢®£®= 1, 2, 3. ஬¥ ⮣®,ii¢ è¨å ®¡®§ 票ïå yi = xi , i = 1, 2, 3. ®£¤ ¨§ ä®à¬ã«ë (15.9) ¬ë ¯®«ãç ¥¬x1c11 x2 → c21x3c31c12c22c32 c13x1x1c23x2 = λ x2 .x3c33x3(15.10)®à¬ã« (15.5) | «¨â¨ç¥áª ï § ¯¨áì ¯à®¥ªâ¨¢®£®¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¢ ¯à®¥ªâ¨¢ëå ª®®à¤¨ â å á ¬ âà¨æ¥© ¯à¥®¡à §®¢ ¨ïC=c11 c21c31c12c22c32c13c23 .c33®ïâ-®, çâ® ¤«ï «î¡®© ¥¢ë஦¤¥®© ¬ âà¨æë C ¨ ¯à®¥ªâ¨¢®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â{X 1 , X 2 , X 3 , E} áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨á⢥® ¯à®¥ªâ¨¢®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥, § ¯¨á ®¥ ä®à¬ã«®© (15.10).
ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (15.10), ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥¢®©á⢮ 15.1. 10 ®¬¯®§¨æ¨ï ¯à®¥ªâ¨¢ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ï¥âáï ¯à®¥ªâ¨¢ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬; 20 ã «î¡®£® ¯à®¥ªâ¨¢®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥áâì ®¡à ⮥;30 ¯à®¥ªâ¨¢ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ®¡à §ãîâ £à㯯ã, £¤¥ £à㯯®¢ ï ®¯¥à æ¨ï | ª®¬¯®§¨æ¨ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨©.஥ªâ¨¢®- ää¨ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¯à¥¤¥«¥¨¥ 15.2.