L-14-Spring2018 (Грешнов - Лекции (1-15))
Описание файла
PDF-файл из архива "Грешнов - Лекции (1-15)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ü14 â : 15.05.2018ਬ¥¥¨ï ¨¢ ਠ⮢ ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ª ®¨ç¥áª®© § ¯¨á¨ ãà ¢¥¨ï 2-£® ¯®à浪 . ãáâì, ¯à¨¬¥à, ¬ë ãáâ ®¢¨«¨, çâ® ¢ ¯®¤å®¤ï饩 ¯àאַ-㣮«ì®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ãà ¢¥¨¥ ¯®¢¥àå®á⨠2-£® ¯®à浪 ¨¬¥¥â ⨯λ1 x2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 + τ= 0.(I)áå®¤ï ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¥«¨ç¨ I1 {I3 , ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ë ¨¥â ¤«ï 宦¤¥¨ïª®à¥© ãà ¢¥¨ï âà¥â쥩 á⥯¥¨, ¬ë ¨¬¥¥¬ I3I2I1= λ1 λ2 λ3 ,= λ1 λ2 + λ2 λ3 + λ1 λ3 ,= λ1 + λ2 + λ3 ,®âªã¤ ¢ëç¨á«ï¥¬ λ1 , λ2 , λ3 ; ¢¥«¨ç¨ τ 室¨âáï ¯®á«¥ ¨§ ⮦¤¥á⢠K3= = λ1 λ2 λ3 τ.ãáâì ¬ë ãáâ ®¢¨«¨, çâ® ¢ ¯®¤å®¤ï饩 ¯àאַ㣮«ì®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ãà ¢¥¨¥ ¯®¢¥àå®á⨠2-£® ¯®à浪 ¨¬¥¥â ⨯λ1 x2 + λ2 y 2 + 2νz= 0.(II)®£¤ I3 = λ3 = 0, ¨ λ1 , λ2 ïîâáï ª®àﬨ ãà ¢¥¨ï λ2 − I1 λ + I2 = 0.
§ (II)¢ë⥪ ¥â, çâ® ¢¥«¨ç¨ ν 㤮¢«¥â¢®àï¥â á®®â®è¥¨îK3 = = det λ10000λ200000−ν00−ν2 = −λ1 λ2 ν= −I2 ν 2 ⇒ νr=±−0K3.I2 «®£¨çë¥ à áá㦤¥¨ï ¯à¨¬¥ïîâáï ¨ ¤«ï á«ãç ¥¢ ãà ¢¥¨© ¢¨¤®¢ (III){(V).ää¨ ï ª« áá¨ä¨ª æ¨ï ¯®¢¥àå®á⥩ 2-£® ¯®à浪 áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ¯®¢¥àå®á⨠a 2-£® ¯®à浪 Fa (x, y, z ) = a11 x2 +a22 y 2 +a33 z 2 +2a12 xy +2a23 yz +2a13 zx+2a1 x+2a2 y +2a3 z +a0= 0.¥¬¬ 14.1. ãáâì ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ f ¯¥à¥¢®¤¨â ¯®¢¥àå®áâì 2-£® ¯®e , ¯«®áª®áâìà浪 ¢ ¯®¢¥àå®áâì 2-£® ¯®à浪 e ∩ Pe ä䨮 íª¢¨¢ «¥âë.ªà¨¢ë¥ ∩ P , 1P| ¢ ¯«®áª®áâì Pe.
®£¤ 2®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì (Oe1 e2 e3 ) | â ª ï ää¨ ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â, ¤«ï ª®â®à®© ¯«®áª®áâì P ï¥âáï ª®®à¤¨ ⮩ ¯«®áª®áâìî (XOY ). ãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥ ï ää¨ ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â (Oee~1 e~2 e~3 ) â ª ï, çâ® f áá®æ¨¨à®¢ ® á ää¨ë¬¨ á¨á⥬ ¬¨ ª®®à¤¨ â (Oe1 e2 e3 ) ¨ (Oee~1 e~2 e~3 ) (á¬. «¥ªæ¨¨ 1-£® ᥬ¥áâà ). ®ïâ®, çâ® Pe ¡ã¤¥â ®¤®© ¨§ ª®®à¤¨ âëå ¯«®áª®á⥩ ä䨮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â (Oee~1 e~2 e~3 ); ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® Pe ï¥âáï ª®®à¤¨ ⮩ ¯«®áª®áâìîeOe Ye . ®¢¥àå®áâì § ¤ ¥âáï ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (Oe1 e2 e3 ) ᢮¨¬ ãà ¢¥¨¥¬Xe § ¤ ¥âáï ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (Oe e~1 e~2 e~3 ) ãà ¢¥¨¥¬F (x, y, z ) = 0; ¯®ïâ®, çâ® e ∩ Pe ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë¥ ãà ¢¥¨ïF (~x, y~, z~) = 0.
®í⮬㠯«®áª¨¥ á¥ç¥¨ï ∩ P , e e~1 e~2 e~3 ) ᮮ⢥âF (x, y, 0) = 0, F (~x, y~, 0) = 0 ¢ á¨á⥬ å ª®®à¤¨ â (Oe1 e2 e3 ), (Oá⢥®. ®£¤ «¥¬¬ 14.1 ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⥮६ë 6.1 «¥ªæ¨¨ ü6.¥ ¬¨ ¡ë«® ãáâ ®¢«¥®, çâ® ®¡é¥¥ ãà ¢¥¨¥ 2-© á⥯¥¨ Fa (x, y, z ) = 0 ¯ã⥬ ¯®¢®à®â®¢ ¨ ᤢ¨£®¢ á¨áâ¥¬ë ¯àאַ㣮«ì®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¬®¦¥â ¡ëâì¯à¨¢¥¤¥® ª ®¤®¬ã ¨§ 㪠§ ëå 17-¨ ¢¨¤®¢:10 ¯ à ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯«®áª®á⥩,20 ¯ à ¯ à ««¥«ìëå ¯«®áª®á⥩,30 ¯ à ᮢ¯ ¤ îé¨å ¯«®áª®á⥩,40 í««¨¯â¨ç¥áª¨© 樫¨¤à,50 £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨© 樫¨¤à,60 ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨© 樫¨¤à,70 ¬¨¬ë© í««¨¯â¨ç¥áª¨© 樫¨¤à,80 ª®ãá 2-£® ¯®à浪 ,90 ¬¨¬ë© ª®ãá,100 í««¨¯á®¨¤,110 ¬¨¬ë© í««¨¯á®¨¤,120 ®¤®¯®«®áâë© £¨¯¥à¡®«®¨¤,130 ¤¢ã¯®«®áâë© £¨¯¥à¡®«®¨¤,140 í««¨¯â¨ç¥áª¨© ¯ à ¡®«®¨¤,150 £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨© ¯ à ¡®«®¨¤,160 ¯ à ¬¨¬ëå ᮯà殮ëå ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯«®áª®á⥩,170 ¯ à ¬¨¬ëå ¯ à ««¥«ìëå ¯«®áª®á⥩.¯à¥¤¥«¥¨¥ 14.1.
¢¥ ¯®¢¥àå®á⨠a , b ¢â®à®£® ¯®à浪 , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨a :Fa (x, y, z ) = 0,b :Fb (x, y, z ) = 0,3¯à¨ ¤«¥¦ â ®¤®¬ã ¨ ⮬㠦¥ ä䨮¬ã ª« ááã, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ xc11 y = c21c31zc12c22c32 x~c13c1c23y~ + c2 ,c33z~c3c11det c21c31c12c22c32c13c23 6= 0,c33¯à¨ ª®â®à®¬ ®¤ ¨§ íâ¨å ¯®¢¥àå®á⥩ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¤àã£ãî.¥®à¥¬ 14.1. ¢¥ ¯®¢¥àå®á⨠®¤®£® ¨ ⮣® ¦¥ ¢¨¤ ¯à¨ ¤«¥¦ â ®¤®¬ãª« ááã, ⮣¤ ª ª ¤¢¥ ¯®¢¥àå®áâ¨ à §ëå ¢¨¤®¢ ¯à¨ ¤«¥¦ â à §ë¬ ää¨ë¬ª« áá ¬. ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¦¤ë© ¨§ ᥬ ¤æ ⨠¢¨¤®¢ ¯®¢¥àå®á⥩ 2-£® ¯®à浪 ¥áâì ää¨ë© ª« áá.®ª § ⥫ìá⢮. ¥à¢ ï ç áâì ⥮६ë 14.1 («î¡ë¥ ¤¢¥ ¯®¢¥àå®á⨠®¤®£® ¢¨¤ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯¥à¥¢¥¤¥ë ®¤ ¢ ¤àã£ãî ¥ª®â®àë¬ ää¨ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬,)¤®ª §ë¢ ¥âáï â®ç® â ª¦¥, ª ª ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ã⢥ত¥¨¥ ¨§ ⥮६ë 6.1¨§ «¥ªæ¨¨ ü6.
â® ª á ¥âáï ¢â®à®© ç áâ¨, â®, ®¯ïâì ¦¥, á«¥¤ãï «®£¨ª¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 6.1 ¨§ «¥ªæ¨¨ ü6, ¯®¢¥àå®áâ¨ à §ëå ¢¨¤®¢ ¬ë à §«¨ç¨¬ ¨å¯«®áª¨¬¨ á¥ç¥¨ï¬¨ (¯® «¥¬¬¥ 14.1), «¨ç¨¥¬ ¨«¨ ®âáãâá⢨¥¬ ¯àאַ«¨¥©ëå®¡à §ãîé¨å, ¨¢ ਠ⠬¨.®¢¥àå®áâ¨, ¥ ¨¬¥î騥 ¢¥é¥á⢥ëå â®ç¥ª, ¬®¦® à §«¨ç¨âì ⮫쪮 ¢ ª®¬¯«¥ªá®¬ ¯à®áâà á⢥. ¨¬ ®â®áïâáï222{ ¬¨¬ë© í««¨¯á®¨¤ ( xa2 + yb2 + zb2 = −1),22{ ¬¨¬ë© í««¨¯â¨ç¥áª¨© 樫¨¤à ( xa2 + yb2 = −1),{ ¯ à ¬¨¬ëå ¯ à ««¥«ìëå ¯«®áª®á⥩ (x2 + c2 = 0). ᨫã ä䨮© ¨¢ ਠâ®á⨠¢¥«¨ç¨ë sgn δ ¬¨¬ë© í««¨¯á®¨¤ ä䨮¥ íª¢¨¢ «¥â¥ ¬¨¬®¬ã í««¨¯â¨ç¥áª®¬ã 樫¨¤àã ¨ ¯ ॠ¬¨¬ëå ¯ à ««¥«ìëå ¯«®áª®á⥩. áᬠâਢ ï ãà ¢¥¨ï ¬¨¬®£® í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨¤à ¨¯ àë ¬¨¬ëå ¯ à ««¥«ìëå ¯«®áª®á⥩ ª ª ãà ¢¥¨ï ®â ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå, ¨§â¥®à¥¬ë 6.1 ¬ë ¯®«ãç ¥¬. çâ® í⨠¯®¢¥àå®á⨠ä䨮 ¥ íª¢¨¢ «¥âë.¨¬ë© ª®ãá | ¥¤¨á⢥ ï ¯®¢¥àå®áâì, ¨¬¥îé ï ®¤ã ¢¥é¥á⢥ãî â®çªã, ¯ à ¬¨¬ëå ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯«®áª®á⥩ | íâ® ¥¤¨á⢥ ï ¯®¢¥àå®áâì,¢¥é¥áâ¢¥ë¥ â®çª¨ ª®â®à®© ®¡à §ãîâ ¯àï¬ãî.áâ «ìë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨ à §«¨ç îâáï ¢ ¢¥é¥á⢥®¬ ¯à®áâà á⢥.
¨«¨¤àë à §«¨ç îâáï ᢮¨¬¨ ¯à ¢«ïî騬¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬¨ á¥ç¥¨¥¬ ª®®à¤¨ ⮩¯«®áª®á⨠XOY (á¬. «¥¬¬ã 14.1). ««¨¯á®¨¤, £¨¯¥à¡®«®¨¤ë, ª®ãá, ¯ à ¡®«®¨¤ë¤¥«ïâáï ¤¢¥ £àã¯¯ë ¯® ®âáãâáâ¢¨î ¨«¨ «¨ç¨î ¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å.««¨¯á®¨¤ | ®£à ¨ç¥ ï ¯®¢¥àå®áâì, í««¨¯â¨ç¥áª¨© ¯ à ¡®«®¨¤ ¨ ¤¢ã¯®«®áâ-4ë© £¨¯¥à¡®«®¨¤ à §«¨ç îâáï ¯® «¨ç¨î ¨ ®âáãâáâ¢¨î ¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å. ®ãá ¨¬¥¥â ¨¬¥¥â â®çªã, ç¥à¥§ ª®â®àãî ¯à®å®¤¨â ¡¥áª®¥ç®¥ ª®«¨ç¥á⢮¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å, ã ®¤®¯®«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ ¨ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£®¯ à ¡®«®¨¤ ç¥à¥§ «î¡ãî ¥£® â®çªã ¯à®å®¤¨â ⮫쪮 ¤¢¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥.
®¤®¯®«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ ¥áâì ¯ à ««¥«ìë¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥®¡à §ãî騥, ã £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ â ª¨å ¥â.¥à¥¤«®¦¥¨¥ 14.1. ®ï⨥ ª á ⥫쮩 ¯«®áª®á⨠¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ä䨮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â.®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¯®¢¥àå®á⨠2-£® ¯®à浪 , ¥ ïî騥áï ¢ë஦¤ î騬¨áï. ãáâì P | ª á ⥫ì ï ¯«®áª®áâì ª ¢ â®çª¥ A ∈ .
¥á«®¦®¢¨¤¥âì, çâ® «®ª «ì® ¬®¦¥á⢮ P ∩ ¨«¨ á®á⮨⠨§ â®çª¨ A, ¨«¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯àאַ«¨¥©ë© ®â१®ª (¢ á«ãç ¥ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ¯®¢¥àå®á⥩), ¨«¨¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ¤¢ãå ¯àאַ«¨¥©ëå ®â१ª®¢ (¢ á«ãç ¥ ®¤®¯®«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ ¨ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ ), ¯à¨ ¤«¥¦ é¨å P , ¨«¨¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ªà㣠á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ A, ¯à¨ ¤«¥¦ 騩 P (¢ á«ãç ¥ ¯ à ««¥«ìëå ¯«®áª®á⥩). ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¯«®áª®áâì P â ª ï, çâ® A ∈ P ∩ ,ª á ⥫쮩 ¢ â®çª¥ A ª ¯®¢¥àå®á⨠¥ ï¥âáï.§ ⥮६ë 14.1 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¯à¨ ä䨮¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ f ¯®¢¥àå®áâì ª ª®£®-⮠⨯ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¯®¢¥àå®áâì f () â ª®£®-¦¥ ⨯ (ª ª á«¥¤á⢨¥ |¥á«¨ ã ¯®¢¥àå®á⨠2-£® ¯®à浪 ¥ ¡ë«® ®á®¡ëå â®ç¥ª, â® ¯à¨ ¤¥©á⢨¨ ä䨮£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ã ®¡à § í⮩ ¯®¢¥àå®á⨠®á®¡ë¥ â®çª¨ â ª¦¥ ¥ ¯®ï¢ïâáï);¯à¨ í⮬ «î¡ ï ¯«®áª®áâì ¯à¨ ä䨮¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¯«®áª®áâì, ¯àï¬ ï | ¢ ¯àï¬ãî.
«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ ¯«®áª®áâì P ¡ë« ª á ⥫쮩 ª ¥¢ë஦¤ î饩áï ¯®¢¥àå®á⨠¢ â®çª¥ A ∈ , â® ¯«®áª®áâì f (P ) ¡ã¤¥â ª á ⥫쮩ª ¯®¢¥àå®á⨠f () ¢ â®çª¥ f (A) ∈ f (). ¤à㣮© áâ®à®ë, ¥á«¨ ¯®¢¥àå®áâì ¡ë« ¢ë஦¤ î饩áï, ®¤ ª® â®çª A ∈ ¥ ï¢«ï« áì ®á®¡®©, â®â ¨ â®çª f (A) ®á®¡®© ¥ ¡ã¤¥â (á«ãç © ª®ãá 2-£® ¯®à浪 ¨ ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯«®áª®á⥩),¯®í⮬ã f (P ) | â ª¦¥ ª á ⥫ì ï ¯«®áª®áâì ¢ â®çª¥ f (A) ª ¯®¢¥àå®á⨠f (). ¥«¥¬¥âë ¯à®¥ªâ¨¢®© £¥®¬¥âਨ.
®ï⨥ ® ¯à®¥ªâ¨¢®© ¯«®áª®á⨠áᬮâਬ ¤¢¥ ¯¥à¥á¥ª î騥áï ¯«®áª®á⨠π, π0 ¨ â®çªã S ∈/ (π ∪ π0 ). 㤥¬¯à®¥ªâ¨à®¢ âì ¨§ â®çª¨ S â®çª¨ ¯«®áª®áâ¨ π ¢ ¯«®áª®áâì π0 , â. ¥. à áᬮâਬ®â®¡à ¦¥¨¥fS : π → π 0 , fS (M ) = M 0 , M ∈ π, M 0 ∈ π 0 ,¨ â®çª¨ S, M, M 0 «¥¦ â ®¤®© ¯àאַ©.
ª®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¯à®¥ªâ¨¢ë¬ ᮮ⢥âá⢨¥¬ ¯«®áª®á⥩ π, π0 , â®çªã S | æ¥â஬ ¯¥àᯥªâ¨¢ë.5¥á«®¦® ¯®ïâì, çâ® ¥á«¨ â®çª¨ A, B, C ∈ π «¥¦ â ®¤®© ¯àאַ© ¨ ã ¨å¥áâì ®¡à §ë A0 = fS (A), B 0 = fS (B ), C 0 = fS (C ) (â. ¥. ¨ ®¤ ¨§ ¯àï¬ëå SA,SB , SC ¥ ¯ à ««¥«ì ¯«®áª®á⨠π 0 ), â® ¨ â®çª¨ A0 , B 0 , C 0 ∈ π 0 «¥¦ â ®¤®©¯àאַ©.¤ ª® à áᬠâਢ ¥¬®¥ ¯¥àᯥªâ¨¢®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ ¬¥¦¤ã ¯«®áª®áâﬨ ¥ ï¥âáï ¢§ ¬¨¬® ®¤®§ çë¬.
¥©á⢨⥫ì®, ã â®ç¥ª ¯àאַ© k = π∩πS0 , £¤¥ πS0 |¯«®áª®áâì, ¯ à ««¥«ì ï π0 , S ∈ πS0 , ¥â ®¡à §®¢ π0 , ã â®ç¥ª ¯àאַ© l = π0 ∩ πS ,£¤¥ πS | ¯«®áª®áâì, ¯ à ««¥«ì ï π, S ∈ πS , ¥â ¯à®®¡à §®¢ π.§ã票¥ ¯¥àᯥªâ¨¢®£® ᮮ⢥âáâ¢¨ï ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¯à¨¢®¤¨â á ª¯®¯®«¥¨î ¯«®áª®á⥩ π, π0 ®¢ë¬¨ í«¥¬¥â ¬¨, ¡« £®¤ àï ¥¬ã ¯¥àᯥªâ¨¢®¥á®®â¢¥âá⢨¥ áâ ®¢¨âáï ¢§ ¨¬® ®¤®§ çë¬. ª®¥ ¯®¯®«¥¨¥ ¯«®áª®á⥩ ®¢ë¬¨ í«¥¬¥â ¬¨ ¯à¨¢®¤¨â ª ®¡à §®¢ ¨î ®¢®£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¡ê¥ªâ , §ë¢ ¥¬®£® ¯à®¥ªâ¨¢®© ¯«®áª®áâìî, ¨ ª ®¢®© ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¤¨á樯«¨¥ | ¯à®¥ªâ¨¢®© £¥®¬¥âਨ. ®¯®«ïï ¯«®áª®áâì, ¬ë ¤®«¦ë § ¡®â¨âìáï ® ⮬, çâ®¡ë¢ à áè¨à¥®© ¯«®áª®á⨠¯®-¯à¥¦¥¬ã ¢ë¯®«ï« áì ®á®¢ ï ªá¨®¬ í«¥¬¥â ன £¥®¬¥âਨ: ç¥à¥§ ¤¢¥ â®çª¨ ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠¥¤¨á⢥ãî ¯àï¬ãî. ¥«ìî ¦¥ 襣® à áè¨à¥¨ï ¯«®áª®á⨠ï¥âáï ¢ë¯®«¥¨¥ ⮣® ãá«®¢¨ï, çâ®¡ë ª ¦¤ë¥¤¢¥ ¯àï¬ë¥ ¨¬¥«¨ ¥¤¨á⢥ãî ®¡éãî â®çªã.¥à¢ ï ¬®¤¥«ì ¯à®¥ªâ¨¢®© ¯«®áª®á⨠áᬮâਬ ¯«®áª®áâì .