L-12-Spring2018 (Грешнов - Лекции (1-15))
Описание файла
PDF-файл из архива "Грешнов - Лекции (1-15)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ü12 â : 24.04.2018।«®¦¥¨¥ 12.1. ¨ª ª¨¥ âà¨ à §«¨çë¥ ®¡à §ãî騥 ®¤®£® ¨ ⮣® ¦¥ ᥬ¥©á⢠¥ ¯ à ««¥«ìë.®ª § ⥫ìá⢮. ஢¥à¨¬ ãá«®¢¨¥ ⮣®, çâ® ¨ª ª¨¥ âਠ®¡à §ãî騥 ᥬ¥©á⢠I¨«¨ ᥬ¥©á⢠II ¥ ¯ à ««¥«ìë: a¯∓ b y0¯¯¯ det ∓ ab y1¯∓ ab y2± ab x0± ab x1± ab x2¯x0 1 ¯¯x1 1 ¯¯x2 1¯µ¯x0¯= c · ¯ det xy1 −¯1 − y0¯c ¯¯y0¯¯¯c ¯ = c · ¯ det y1¯¯y2cx2 − x0y2 − y0¶ ¯¯¯¯ 6= 0.¯(12.1)¯µ¶ ¯¯¯x0 x2 − x0 ¯ëà ¦¥¨¥ ¯¯ det xy1 −¯ | ä®à¬ã« ¯«®é ¤¨ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , −¯1 y0 y2 − y0 ¯âïã⮣® ¢¥ªâ®àë (x1 − x0 , x2 − x0 ), (y1 − y0 , y2 − y0 ). 襩 á¨âã 樨 â ª ﯫ®é ¤ì ¥ à ¢ ã«î, â ª ª ª ¢¥ªâ®àë (x1 − x0 , x2 − x0 ), (y1 − y0 , y2 − y0 ) ¥ª®««¨¥ àë. ( ¯®ç¥¬ã ®¨ ¥ ª®««¨¥ àë?)¥¥®à¥¬ 12.1.
10 ª¨¥ ¡ë âà¨ à §«¨çë¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 ®¤®¯®-«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ , ¯à¨ ¤«¥¦ 騥 ®¤®¬ã ¨ ⮬㠦¥ ᥬ¥©áâ¢ã, ¨ ¢§ïâì,¤à㣮¥ ᥬ¥©á⢮ ¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å ¡ã¤¥â ᮢ®ªã¯®áâìî ¢á¥å ¯àï¬ëå,¯¥à¥á¥ª îé¨å ª ¦¤ãî ¨§ íâ¨å ¢ë¡à ëå âà¥å ®¡à §ãîé¨å ¢ ª®¥ç®© ¨«¨ ¡¥áª®¥ç®© â®çª¥; ¨ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ®¤®¯®«®áâë© £¨¯¥à¡®«®¨¤ ¢¥áì § ç¥à稢 ¥âáï¯àאַ©, ª®â®à ï ¢ ᢮¥¬ ¤¢¨¦¥¨¨ ¢á¥ ¢à¥¬ï ¯¥à¥á¥ª ¥â (¢ ª®¥ç®© ¨«¨ ¡¥áª®¥ç®© â®çª¥) ª ¦¤ãî ¨§ íâ¨å ¢ë¡à ëå âà¥å ¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å.®ª § ⥫ìá⢮.
⬥⨬ á«¥¤ãî騩 ®¡é¨© ä ªâ: ç¥à¥§ ª ¦¤ãî â®çªã M , ¥«¥¦ éãî ¨ ®¤®© ¨§ ¤¢ãå § ¤ ëå áªà¥é¨¢ îé¨åáï ¯àï¬ëå l1 , l2 , ¯à®å®¤¨â®¤ ¨ ⮫쪮 ®¤ ¯àï¬ ï l3 , ¯¥à¥á¥ª îé ï ª ¦¤ãî ¨§ íâ¨å ¯àï¬ëå ¢ ª®¥ç®©¨«¨ ¡¥áª®¥ç®© â®çª¥. â®¡ë ¥ ¯à¨¡¥£ âì «¨è¨© à § ª «¨â¨ç¥áª¨¬ ¬¥â®¤ ¬,¤ ¤¨¬ ª ç¥á⢥®¥ ®¡êïᥨ¥ í⮬ã ä ªâã. áᬮâਬ ¯«®áª®áâì 1 , ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ ¯àï¬ãî l1 ¨ â®çªã M ; â ª ï ¯«®áª®áâì ¬®¦¥â à áᬠâਢ âìáï ª ª®¡ê¥¤¨¥¨¥ ¢á¥å ¯àï¬ëå, ª ¦¤ ï ¨§ ª®â®àëå ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ª ¦¤ãî ¯ àã â®ç¥ªM , Lt , £¤¥ Lt | ⥪ãé ï â®çª ¯àאַ© l1 , ¯à®¡¥£ îé ï ¨ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥ë¥â®çª¨ ¯àאַ© l1 . àï¬ ï l2 ¥ ¬®¦¥â 楫¨ª®¬ ¯à¨ ¤«¥¦ âì ¯«®áª®á⨠1 , ¨ 祮 ¥ ï¢«ï« áì ¡ë áªà¥é¨¢ î饩áï á l1 . § ç¨â, ® ¬®¦¥â ¨«¨ ¯¥à¥á¥ª âì 1¢ ¥¤¨á⢥®© â®çª¥ P (⮣¤ ¯àï¬ ï l3 | â , ª®â®à ï ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ â®çª¨ M ¨12P ),¨«¨ ¢®®¡é¥ ¥ ¯¥à¥á¥ª âì 1 , ¡ã¤ãç¨ ¯ à ««¥«ì®© 1 (⮣¤ ¯àï¬ ï l3 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ç¥à¥§ â®çªã M ¢ ¯«®áª®á⨠1 ¯à®¢®¤¨¬ ¯àï¬ãî á⥬ ¦¥ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬, çâ® ¨ ¯àï¬ ï l2 ).¥¯¥àì ¢¥à¥¬áï ª ¯àאַ«¨¥©ë¬ ®¡à §ãî騬 ®¤®¯®«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ . 䨪á¨à㥬 ª ª¨¥-«¨¡® âà¨ à §«¨çë¥ ®¡à §ãî騥 l1 , l2 , l3 ¨§ ᥬ¥©á⢠I.
®¯à¥¤«®¦¥¨î 12.1 â ª¨¥ ¯àï¬ë¥ | ¢§ ¨¬® áªà¥é¨¢ î騥áï. áᬮâਬ ª ªã¡® ¯àï¬ãî p, ¯¥à¥á¥ª îéãî ª ¦¤ãî ¨§ ¨å. ª ï ¯àï¬ ï ¬®¦¥â ¨¬¥âì «¨è쮤㠡¥áª®¥ç® 㤠«¥ãî â®çªã ¢ ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ á l1 ∪ l2 ∪ l3 , ¨ ç¥ ©¤ãâáï á।¨l1 , l2 , l3 ª ª ¬¨¨¬ã¬ ¤¢¥ ¯àï¬ë¥, ¯ à ««¥«ìë¥ p, ®¨ 㦥 ¥ ¬®£ãâ ¡ëâìáªà¥é¨¢ î騬¨áï. ãáâì p ∩ l1 = A, £¤¥ A | ¥ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥ ï â®çª . ª ¡ë«® ¯®ª § ® à ¥¥, ©¤¥âáï ¥¤¨á⢥ ï ¯àאַ«¨¥© ï ®¡à §ãîé ï q1¨§ ᥬ¥©á⢠II â ª ï, çâ® A ∈ q1 . ® ᢮©áâ¢ã 11.2 ¨§ «¥ªæ¨¨ ü11 ¯àï¬ ï q1¯¥à¥á¥ª ¥â ¯àï¬ë¥ l2 , l3 ¢ ª®¥çëå â®çª å ¨«¨ ¢ ª®¥ç®© ¨ ¡¥áª®¥ç®© â®çª å, § ç¨â, ¯® à áá㦤¥¨î, ¯à¨¢¥¤¥®¬ã ¢ëè¥, q1 = p. ¤à㣮© áâ®à®ë, «î¡ ï¯àאַ«¨¥© ï ®¡à §ãîé ï ¨§ ᥬ¥©á⢠II ¯¥à¥á¥ª ¥â ª ¦¤ãî ¨§ ¯àאַ«¨¥©ëå®¡à §ãîé¨å l1 , l2 , l3 ¢ ª®¥ç®© ¨«¨ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ª ç¥á⢥ ý¤¢¨¦ã饩áïþ ¯àאַ© ¬ë ¡¥à¥¬ ª ªãî «¨¡® ¯àאַ«¨¥©ãî ®¡à §ãîéãî ¨§ ᥬ¥©á⢠II ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ëå ¢ëè¥ ¯àאַ«¨¥©ëå®¡à §ãîé¨å l1 , l2 , l3 ¨§ ᥬ¥©á⢠I.
((¯ à ¬¥âà ý¤¢¨¦¥¨ï ¯àאַ©þ §¤¥áì | ¤¢¨¦¥¨¥ â®çª¨ A ¯® ¯àאַ© q1 ))¥àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ ¥¬¬ 12.1. ¥à¥§ «î¡ãî â®çªã £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ ¯à®å®¤ïâ ¤¢¥ ¨â®«ìª® ¤¢¥ ¥£® ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥.®ª § ⥫ìá⢮. ª ¡ë«® ¯®ª § ® ¢ «¥ªæ¨¨ ü11, ¤«ï 宦¤¥¨ï ¯àאַ© x = x0 + αt,y = y0 + βt,z = z0 + γt,(12.1)ïî饩áï ¯àאַ«¨¥©®© ®¡à §ãî饩 £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ x2y2−pq= 2z,p, q > 0, ¬ á«¥¤ã¥â à áᬮâà¥âì á¨á⥬ã α2β2(A = 0)p − q = 0,y0 βx0 α(B = 0)p − q = γ, x20y02p − q = 2z0 .
(C = 0)(12.2)3§ ¯¥à¢®£® ãà ¢¥¨ï ¨§ (12.2) ¬ë áà §ã ¦¥ ¯®«ãç ¥¬, çâ®= ±αβrq.p(12.3)ᯮ«ì§ãï (12.3) ¨ ¢â®à®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨§ (12.2), ¬ë ¯®«ãç ¥¬, ç⮵x0y0α∓√ppq¶=µ¶α x0y0= γ,√ √ ∓√ppq®âªã¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¢á¥£® ¤¢ (á â®ç®áâìî ¤® ª®íää¨æ¨¥â ¯à®¯®à樮 «ì®áâ¨) ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ¯à ¢«¥¨ï v1 , v2 , å à ªâ¥à¨§ãîé¨å ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ , ª®â®àë¥ ¯à®å®¤ïâ ç¥à¥§ ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x0 , y0 , z0 ):µ¶y0√ √ x0v1 =p, q, √ − √ ,pqv2=µ√√ x0p, − q, √p+¶y0√ .q ª¨¬ ®¡à §®¬, ãà ¢¥¨ï ¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ , ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ ¥£® ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x0 , y0 , z0 ),¨¬¥îâ ¢¨¤x − x0√p=y − y0√q=x − x0√p=y − y0√− q=z − z0y0 ,−√q(ᥬ¥©á⢮ I)z − z0(ᥬ¥©á⢮ II)x0√px0√p+ √y0q.¥ áᬮâਬ á«ãç ©, ª®£¤ γ = 0.
®ïâ®, çâ® â ª ï ¯àאַ«¨¥© ï ®¡à §ãîé ï ¬®¦¥â «¥¦ âì ⮫쪮 ¢ ¯«®áª®á⨠z = 0, ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ ®¡à §ãî饩 ᥬ¥©á⢠I ¨¬¥¥â ¢¨¤ √xp − √yq = 0, z = 0, ãà ¢¥¨¥ ®¡à §ãî饩 ᥬ¥©á⢠II½ xy√ ± √ = 0,pqyx√√¨¬¥¥â ¢¨¤ p + q = 0, z = 0. àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥¯®«ãz = 0,22ç îâáï ª ª ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¯®¢¥àå®á⨠£¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ xp − yq = 2z¯«®áª®áâìî z = 0.¢®©á⢮ 12.1. î¡ ï ¯àאַ«¨¥© ï ®¡à §ãîé ï ¨§ ᥬ¥©á⢠I ¯ à ««¥«ì ¯«®áª®á⨯«®áª®áâ¨√xp√xp−+y√qy√q= 0, «î¡ ï ¯àאַ«¨¥© ï ®¡à §ãîé ï ¨§ ᥬ¥©á⢠II |= 0.®ª § ⥫ìá⢮.
¥á«®¦® ¢¨¤¥âì, çâ® ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à «î¡®© ¯àאַ«¨¥©®© ®¡à §ãî饩 ¨§ ᥬ¥©á⢠I ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïॠ®à¬ «¨ ¯«®áª®á⨠√xp − √yq = 0,4 ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à «î¡®© ¯àאַ«¨¥©®© ®¡à §ãî饩 ¨§ ᥬ¥©á⢠II ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïॠ®à¬ «¨ ¯«®áª®á⨠√xp + √yq = 0 ¯à®¤¥« ©â¥ á ¬®áâ®ï⥫ì®.¥¢®©á⢮ 12.2. ¥à¥§ «î¡ãî â®çªã ¯àאַ«¨¥©®© ®¡à §ãî饩= 0,z = 0, ¯à®å®¤¨â ¥¤¨á⢥ ï ®¡à §ãîé ï ¨§ ᥬ¥©á⢠II; ç¥à¥§ «î¡ãî â®çªã¯àאַ«¨¥©®© ®¡à §ãî饩 √xp + √yq = 0, z = 0, ¯à®å®¤¨â ¥¤¨á⢥ ï ®¡à §ãîé ï ¨§ ᥬ¥©á⢠I.√xp−√yq®ª § ⥫ìá⢮.
¢®©á⢮ 12.2 á«¥¤ã¥â ¨§ «¥¬¬ë 12.1: ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥y√x ± √ = 0, z = 0, ¯à¨ ¤«¥¦ â ¯«®áª®á⨠XOY , «î¡ë¥ ¤à㣨¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥pq®¡à §ãî騥 ¯¥à¥á¥ª îâ ¯«®áª®áâì XOY (¯¥à¥á¥ç¥¨¥ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ á ¯«®áª®áâìî z = z0 > 0 | £¨¯¥à¡®« !). ¥¢®©á⢮ 12.3. î¡ë¥ ¤¢¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®-«®¨¤ ¨§ à §ëå ᥬ¥©á⢠¯¥à¥á¥ª îâáï.®ª § ⥫ìá⢮. ¥©á⢨⥫ì®, ®à⮣® «ìë¥ ¯à®¥ªæ¨¨ íâ¨å ®¡à §ãîé¨å ¯«®áª®áâì XOY ¯ à ««¥«ìë ᮮ⢥âá⢥® ¯àï¬ë¬ √xp ± √yq = 0, z = 0, ¨ ¯®â®¬ã¯¥à¥á¥ª îâáï.
¥à¯¥¤¨ªã«ïà ª ¯«®áª®á⨠XOY , ¢®ááâ ®¢«¥ë© ¢ â®çª¥ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï íâ¨å ¯à®¥ªæ¨©, ¯¥à¥á¥ª ¥â ª ¦¤ãî ¨§ à áᬠâਢ ¥¬ëå ¯àאַ«¨¥©ëå®¡à §ãîé¨å. ® íâ®â ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà, ª ª ¨ ¢áïª ï ¤àã£ ï ¯àï¬ ï, ¯ à ««¥«ì ï®á¨ OZ , ¯¥à¥á¥ª ¥â £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨© ¯ à ¡®«®¨¤ ⮫쪮 ¢ ®¤®© â®çª¥. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ í⮩ â®çª¥ ¤®«¦ë ¯¥à¥á¥ª âìáï ¨ à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥®¡à §ãî騥.¥¢®©á⢮ 12.4. î¡ë¥ ¤¢¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®-«®¨¤ ®¤®£® ᥬ¥©á⢠áªà¥é¨¢ îâáï.®ª § ⥫ìá⢮. ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì, á¬. ᢮©á⢮ 12.1, «î¡ë¥ ¤¢¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ ¯ à ««¥«ìë ®¤®© ¨§ ¯«®áª®á⥩yy√x ± √ = 0, ¨ ¯à¨ í⮬ ¯¥à¥á¥ª îâ ®¤ã ¨§ ¯àï¬ëå √x ± √ = 0, z = 0, á¬. ᢮©pqpqá⢮ 12.2.
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤¢¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ l1 , l2 ®¤®£® ᥬ¥©á⢠«¥¦ â ¢ ¯ à ««¥«ìëå ¯«®áª®áâïå, ®¤ ª® ¥¬®£ãâ ¡ëâì ¯ à ««¥«ìë; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¯® ᢮©áâ¢ã 12.3 ¢á¥¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ ¤à㣮£® ᥬ¥©á⢠«¥¦ «¨ ¡ë ¢ ¯«®áª®á⨠, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ¯àï¬ë¥ l1 , l2 , ®âªã¤ ¯® ᢮©áâ¢ã 12.3¯®«ãç ¥¬, çâ® ¨ ¢á¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ ᥬ¥©á⢠, ª®â®à®¬ã ¯à¨ ¤«¥¦ â ¯àï¬ë¥ l1 , l2 , â ª¦¥ ¯à¨ ¤«¥¦ â ¯«®áª®áâ¨.
âªã¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¯«®áª®áâì ᮢ¯ ¤ ¥â á £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯ à ¡®«®¨¤®¬,祣® ®ç¥¢¨¤® ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì («¥£ª® 㪠§ âì ¤¢¥ ªà¨¢ë¥, ¯à¨ ¤«¥¦ 騥 £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®¬ã ¯ à ¡®«®¨¤ã, ª®â®àë¥ ®¤®¢à¥¬¥® ¥ ¬®£ã⠯ਠ¤«¥¦ âì ¨ª ª®©5¯«®áª®áâ¨).¥¥®à¥¬ 12.2. ¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨© ¯ à ¡®«®¨¤ § ç¥à稢 ¥âáï ¯àאַ©, ª®â®à ï ¢á¢®¥¬ ¤¢¨¦¥¨¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ ¢á¥ ¢à¥¬ï ¯¥à¥á¥ª ¥â âਠª ª¨¥ ¨¡ã¤ì ¢ë¡à ë¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥, ¯à¨ ¤«¥¦ 騥 ®¤®¬ã ᥬ¥©áâ¢ã.®ª § ⥫ìá⢮. ª¦¥, ª ª ¨ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ⥮६ë 12.1, ¬ ¯®¬®¦¥â â®â ä ªâ, çâ® ç¥à¥§ ª ¦¤ãî â®çªã M , ¥ «¥¦ éãî ¨ ®¤®© ¨§¤¢ãå § ¤ ëå áªà¥é¨¢ îé¨åáï ¯àï¬ëå l1 , l2 , ¯à®å®¤¨â ®¤ ¨ ⮫쪮 ®¤ ¯àï¬ ïl3 , ¯¥à¥á¥ª îé ï ª ¦¤ãî ¨§ íâ¨å ¯àï¬ëå ¢ ª®¥ç®© ¨«¨ ¡¥áª®¥ç®© â®çª¥.롥६ ª ª¨¥-¨¡ã¤ì âਠ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 l1 , l2 , l3 , ¯à¨¬¥à, ¨§á¥¬¥©á⢠I.