L-11-Spring2018 (Грешнов - Лекции (1-15))
Описание файла
PDF-файл из архива "Грешнов - Лекции (1-15)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ü11 â : 17.04.2018¥®à¥¬ 11.1. î¡®¥ ¥¢ë஦¤¥®¥ «¨¥©®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ A ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®-áâà á⢠¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥® ¢ ¢¨¤¥ ª®¬¯®§¨æ¨¨ ¥ª®â®àëå «¨¥©®£®®à⮣® «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï B ¨ «¨¥©®£® ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï Ce,¯à¨ç¥¬ ¬ âà¨æ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï Ce ¢ ¥ª®â®à®¬ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨á¥ ¨¬¥¥â¤¨ £® «ìë© ¢¨¤ á ¤¨ £® «ìî ¨§ ¯®«®¦¨â¥«ìëå ç¨á¥«.®ª § ⥫ìá⢮ ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⥮६ë 10.4 «¥ªæ¨¨ ü10.¥ áâ¥áâ¢¥ë¬ ®¡®¡é¥¨¥¬ £®¬®â¥â¨¨ ïîâáï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, ¬ âà¨æë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ª®â®àëå ¨¬¥îâ ¢ ¥ª®â®à®¬ ¡ §¨á¥ {e01 , .
. . , e0n } ¤¨ £® «ìë© ¢¨¤ ᤨ £® «ìî ¨§ ¢¥é¥á⢥ëå ç¨á¥« λ1 , . . . , λn (¥à ¢®¬¥àë¥ à áâ殮¨ï). ᮡ¥® £«ï¤ë© £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© á¬ëá« ¨¬¥îâ á।¨ ¨å â¥, ¤«ï ª®â®àëå λi > 0,i = 1, . . . , n. ¡ §¨á¥ {e01 , . . . , e0n } â ª¨¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¬®¦® à áᬠâਢ âìª ª ª®¬¯®§¨æ¨î n ᦠ⨩ ¨ à áâ殮¨© ¢¤®«ì ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®á¥© á ¯à ¢«ïî騬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ e01 , . . . , e0n .
®£¤ ¬ë ¬®¦¥¬ ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ âì ⥮६ã 11.1á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.¥®à¥¬ 11.2. î¡®¥ ¥¢ë஦¤¥®¥ «¨¥©®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ A ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®-áâà á⢠¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥® ¢ ¢¨¤¥ ª®¬¯®§¨æ¨¨ ¥ª®â®àëå «¨¥©®£® ®à⮣® «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï B ¨ n ᦠ⨩ ¨ à áâ殮¨©, ¯à®¨á室ïé¨å¢¤®«ì ¢§ ¨¬® ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàëå ¯à ¢«¥¨©.ç¨âë¢ ï ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ä䨮£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîéã६ 11.3. î¡®¥ ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥® ¢ ¢¨¤¥ ª®¬¯®§¨æ¨¨ ¥ª®â®àëå «¨¥©®© ¨§®¬¥âਨ B, nᦠ⨩ ¨ à áâ殮¨©, ¯à®¨á室ïé¨å ¢¤®«ì ¢§ ¨¬® ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàëå ¯à ¢«¥¨©, ¨ ᤢ¨£ ¥ª®â®àë© ¢¥ªâ®à.Aਢ¥¤¥¨¥ ¯®¢¥àå®á⥩ 2-£® ¯®à浪 ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã«¥¤ãï ®¡é¨¬ ¯®¤å®¤ ¬, ¨§«®¦¨¬ ¯à®æ¥¤ãà㠯ਢ¥¤¥¨ï ãà ¢¥¨ï ¯®¢¥àå®á⨠2-£® ¯®à浪 :F (x, y, z ) = a11 x2 +a22 y 2 +a33 z 2 +2a12 xy +2a23 yz +2a13 zx+2a1 x+2a2 y +2a3 z +a0£¤¥ a11 2 + a222 + a233 + a212 + a223 + a213 6= 0, ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã.= 0,(11.1)¥®à¥¬ 11.4 (® ¯à¨¢¥¤¥¨¨ ãà ¢¥¨ï ¯®¢¥àå®á⨠2-£® ¯®à浪 ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã).
®¢®à®â ¬¨ ª®®à¤¨ âëå ®á¥© ¨ ¯ à ««¥«ì묨 ¯¥à¥®á ¬¨12ãà ¢¥¨¥ ¯®¢¥àå®á⨠¢â®à®£® ¯®à浪 ¢á¥£¤ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¢¥¤¥ ª ®¤®¬ã¨§ 17 ª ®¨ç¥áª¨å ¢¨¤®¢.®ª § ⥫ìá⢮. ç « ©¤¥¬ ª®à¨ λ1 , λ2 , λ3 å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ïdet(A1 − λE ) = 0,a11A1 = a12a13a12a22a23a13a23 ,a33¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª®àï¬ á®¡áâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë v1 , v2 , v3 , ®¡à §ãî騥 ®à⮮ନ஢ ë© ¯à ¢ë© ¡ §¨á ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠R3 .«ãç © 1. ®à¨ λ1 , λ2 , λ3 à §«¨çë, ⮣¤ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨¬ ᮡá⢥륢¥ªâ®àë v1 , v2 , v3 ®à⮣® «ìë, ¨ ¬ë ¬®¦¥¬ ¢ë¡à âì v1 , v2 , v3 â ª, çâ® kvi k = 1,i = 1, 2, 3.«ãç © 2.
ãáâì λ1 = λ2 = λ3 = λ. ®£¤ ¢¥ªâ®à®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮, âïã⮥ ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ᮡá⢥®¬ã ç¨á«ã λ, ᮢ¯ ¤ ¥â á® ¢á¥¬R3 . ®í⮬㠡 §¨áë¥ ®àâë e1 , e2 , e3 áâ ¤ à⮣® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠R3 |ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ¬ âà¨æë A1 , ¨å ¡¥à¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ v1 , v2 , v3 .«ãç © 3. ãáâì λ1 6= λ2 = λ3 , ¨ v1 | ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à ¬ âà¨æë A1 ¥¤¨¨ç®© ¤«¨ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ᮡá⢥®¬ã ç¨á«ã λ1 , â. ¥. (A1 − λ1 E )v1 = 0. ®£¤ w¢ ª ç¥á⢥ ¢¥ªâ®à v2 ¬®¦® ¢§ïâì ¢¥ªâ®à kwk, £¤¥ w | «î¡ ï ¥ã«¥¢ ï áâப ¬ âà¨æë (A1 − λ1 E ); â ª ï áâப ®¡ï§ â¥«ì® ©¤¥âáï, ¨ ç¥ ¬ë ¯®¯ ¤ ¥¬ ¢á¨âã æ¨î A1 = λ1 E , â. ¥.
á¨âã æ¨î á«ãç ï 2. «¥¥ v3 = v1 ⊗ v2 . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ®¯à¥¤¥«¨«¨ ¯à ¢ë© ¡ §¨á ¨§ ᮡá⢥ëå ®à⮮ନ஢ ëå ¢¥ªâ®à®¢ v1 , v2 , v3 ¬ âà¨æë A.ãáâì C | ¬ âà¨æ , á⮫¡æë ª®â®à®© ᮢ¯ ¤ îâ á ¢¥ªâ®à ¬¨ v1 , v2 , v3 . ¢¥¤¥¬®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ (x0 , y0 , z 0 ) ¯® ¯à ¢¨«ã xx0C · y0 = y .z0z®£¤ ¯® á«¥¤á⢨î 10.1 «¥ªæ¨¨ ü10 ¢ ä䨮© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (O, v1 , v2 , v3 )ãà ¢¥¨¥ (11.1) ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤λ1 (x0 )2 + λ2 (y 0 )2 + λ3 (z 0 )2 + 2a01 x0 + 2a02 y 0 + 2a03 z 0 + a0= 0.(11.2) ᫨ a01 = a02 = a03 = 0, â® ãà ¢¥¨¥ (11.2) 㦥 ¨¬¥¥â ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤λ1 (x0 )2 + λ2 (y 0 )2 + λ3 (z 0 )2 + a0= 0.(I)310 ãáâì λ1 a01 6= 0.
®£¤ λ1 (x )2 + 2a01 x00µ(a0 )2 (a0 )2a0= λ1 (x )2 + 2 1 x0 + 12 − 12λ1λ1λ10¶= λ1³a0 ´2 (a0 )2x0 + 1 − 1 .λ1λ1¢®¤¨¬ ®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ (ýᤢ¨£ ¥¬þ áâ àãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â) ¯® ¯à ¢¨«ãa010 x = x + λ1 ,y = y 0 ,z = z 0 ,(11.3)¢ १ã«ìâ ⥠¢ ýᤢ¨ã⮩þ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ãà ¢¥¨¥ (11.2) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤λ1 (x )2 + λ2 (y )2 + λ3 (z )2 + 2a02 y + 2a03 z + a~0= 0, a~0 = a0 −(a01 )2λ1;(11.4)¥á«¨ a01 = 0, â® á¨á⥬㠪®®à¤¨ â ᤢ¨£ âì ¥ 㦮; ¥á«¨ a02 = a03 = 0, â® ãà ¢¥¨¥ (11.4) ¨¬¥¥â ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤. «¥¥, ¥á«¨ λ2 a02 6= 0, â®, ¤¥©áâ¢ãï «®£¨ç® à §®¡à ®¬ã ¢ëè¥ á«ãç î, ¬ë¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢¥¨î~0λ1 (x0 )2 + λ2 (y0 )2 + λ3 (z0 )2 + 2a03 z0 + a= 0, a~0 = a0 −(a01 )2λ1−(a02 )2λ2;(11.5)¥á«¨ a02 = 0, â® á¨á⥬㠪®®à¤¨ â ᤢ¨£ âì ¥ 㦮; ¥á«¨ a03 = 0, â® ãà ¢¥¨¥ (11.5) ¨¬¥¥â ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤.. «¥¥, ¥á«¨ λ3 a03 6= 0, â®, ¤¥©áâ¢ãï «®£¨ç® à §®¡à ë¬ ¢ëè¥ á«ãç ï¬, ¬ë¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢¥¨îλ1 (x" )2 + λ2 (y " )2 + λ3 (z " )2 + a~0= 0, a~0 = a0 −(a01 )2λ1−(a02 )2λ2−(a03 )2λ3; (11.6)¥á«¨ a03 = 0, â® á¨á⥬㠪®®à¤¨ â ᤢ¨£ âì ¥ 㦮.
⬥⨬, çâ® ãà ¢¥¨¥(11.6) ¨¬¥¥â ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤, áà. á (I).20 áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ (11.4). áᬮâਬ á«ãç ©, ª®£¤ p(a02 )2 + (a03 )2 6= 0. ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (11.4) ¨¬¥¥â ¢¨¤0 = λ1 (x )2 + 2(a02 y + a03 z ) + a~0λ2=λ3µ 0¶a2a032= λ1 (x ) + 2µy + z + a~0 .µµ= 0,µ=(11.7)¥à¥©¤¥¬ ª ª®®à¤¨ â ¬ (~x, y~, z~) ¯® ¯à ¢¨«ãÃx= x~,a02µa0− µ3a03µa02µ!µyz¶µ ¶= yz~~ .(11.8)4®£¤ ãà ¢¥¨¥ (11.7) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤λ1 (~x)2 + 2µy~ + a~0³= λ1 (~x)2 + 2µ y~ +a~0 ´= 0.2µ(11.9)ý¤¢¨¥¬þ á¨á⥬㠪®®à¤¨ â (~x, y~, z~) ¯® ¯à ¢¨«ã~ = x^,xy~ = y^ − 2a~µ0 ,z~ = z^,(11.10)¢ १ã«ìâ ⥠ãà ¢¥¨¥ (11.9) ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤λ1 (^x)2 + 2µy^ = 0. ᫨ ¦¥ λ2 = λ3 = 0, µ =᪨© ¢¨¤(II)p(a02 )2 + (a03 )2 = 0, â® ãà ¢¥¨¥ (11.4) ¨¬¥¥â ª ®¨ç¥λ1 (x )2 + a~0= 0.(III)30 áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ (11.5).
।¯®«®¦¨¬, çâ®ãà ¢¥¨¥ (11.5) ¨¬¥¥â ¢¨¤λ1 (x )2 + λ2 (y )2 + 2a03 z + a~0= λ1 (x )2 + λ2 (y )2 + 2a03λ3= 0,a03 6=0. ®£¤ ³a~0 ´z + 0 = 0.2a 3(11.11)ý¤¢¨¥¬þ á¨á⥬㠪®®à¤¨ â (x , y , z ) ¯® ¯à ¢¨«ã~, x = xy = y~, z + a~0 2 a03= z~,¢ १ã«ìâ ⥠ãà ¢¥¨¥ (11.11) ¯à¨¨¬ ¥â ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤λ1 (~x)2 + λ2 (~y )2 + 2a03 z~ = 0.(IV) ᫨ ¦¥ λ3 = 0, a03 = 0, â® ãà ¢¥¨¥ (11.5) ¨¬¥¥â ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤λ1 (x0 )2 + λ2 (y0 )2 + a~0= 0.(V)¥á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¯à ¢«¥¨ï áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî ¯àï¬ãî x = x0 + αt,y = y0 + βt,z = z0 + γt.(11.15)5ëïᨬ, ª ª ¢¥¤¥â ᥡï íâ ¯àï¬ ï ¯® ®â®è¥¨î ª ¯®¢¥àå®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®©ãà ¢¥¨¥¬ (11.1). ®¤áâ ¢¨¬ (11.15) ¢ (11.1), ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥At2 + 2Bt + C£¤¥= 0,(11.16)A = ϕ(α, β, γ ) = a11 α2 + a22 β 2 + a33 γ 2 + 2a12 αβ + 2a23 βγ + 2a13 γα,B= F1 (x0 , y0 , z0 )α + F2 (x0 , y0 , z0 )β + F3 (x0 , y0 , z0 )γ,C= F (x0 , y0 , z0 ),£¤¥ Fi (x, y, z ) = ai1 x + ai2 y + ai3 z + ai , i = 1, 2, 3.¯à¥¤¥«¥¨¥ 11.1.
¥ªâ®à (α, β, γ ), 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ãá«®¢¨î ϕ(α, β, γ ) = 0, §ë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à®¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® ¯à ¢«¥¨ï ¯®¢¥àå®á⨠2-£® ¯®à浪 F (x, y, z ) = 0. ᫨ (α, β, γ ) | ¢¥ªâ®à ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® ¯à ¢«¥¨ï, â® A = 0, á«¥¤®¢ ⥫ì®,¢ í⮬ á«ãç ¥ ª¢ ¤à ⮥ ãà ¢¥¨¥ (11.16) íª¢¨¢ «¥â® «¨¥©®¬ã ãà ¢¥¨î2Bt + C = 0.(11.17)à ¢¥¨¥ (11.17) ¨¬¥¥â{ ¯à¨ B 6= 0 ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 § 票î t = − BC ,{ ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨© ¯à¨ B = 0, C 6= 0,{ ¨¬¥¥â ¢ ª ç¥á⢥ à¥è¥¨© ¢á¥ § ç¥¨ï ¯ à ¬¥âà t ∈ R ¯à¨ B = C = 0. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬¨ ãáâ ®¢«¥ á«¥¤ãîé 葉६ 11.5. àï¬ ï, ¨¬¥îé ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯à ¢«¥¨¥ ¯® ®â®è¥¨îª ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯®¢¥àå®á⨠2-£® ¯®à浪 (A = 0), ¬®¦¥â 室¨âìáï ⮫쪮 ¢ ®¤®¬ ¨§ á«¥¤ãîé¨å ¯®«®¦¥¨©:{ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥ãî ®¡éãî â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï á ¯®¢¥àå®áâìî (B 6= 0),{ ¥ ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á ¯®¢¥àå®áâìî (B = 0, C 6= 0),{ 楫¨ª®¬ «¥¦¨â ¯®¢¥àå®á⨠(B = C = 0).¯à¥¤¥«¥¨¥ 11.2. ®¢¥àå®áâì, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï ãà ¢¥¨¥¬ ϕ(x, y, z ) = 0, §ë-¢ ¥âáï ª®ãᮬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ¯à ¢«¥¨© ¨«¨, ᮪à 饮, ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬ ª®ãᮬ ¯®¢¥àå®á⨠2-£® ¯®à浪 .।«®¦¥¨¥ 11.1.
ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯à ¢«¥¨¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ä-䨮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â.®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì u = (α, β, γ ) | ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯à ¢«¥¨¥ ¯®¢¥àå®áâ¨2-£® ¯®à浪 , ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ãà ¢¥¨¥¬ (11.1), â. ¥.u A1 u = 0.(11.17)6¤¥« ¥¬ ¢ ãà ¢¥¨¨ (11.1) ää¨ãî § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå xc11 y = c21c31zc12c22c32 0 c11xc13xγ1y cc23 y 0 + γ2 ⇔ = 21zc31c33γ3z001£¤¥c11det C = det c21c31c12c22c32c13c23 6= 0.c33c12c22c320 0γ1xγ2 y 0 0 ,γ3zc13c23c33011(a1)®£¤ F 0 (x0 , y 0 , z 0 )= F (c11 x0 + c12 y0 + c13 z 0 + γ1 , c21 x0 + c22 y0 + c23 z 0 + γ2 , c31 x0 + c32 y0 + c33 z 0 + γ3 )x0y0 1 ) A0 0 ,z= ( x0y0z0(a2)1£¤¥A0c11cD = 21c31= D AD,c12c22c3200c13c23c330γ1γ2 .γ31 ý®¢ëå ª®®à¤¨ â åþ ¢¥ªâ®à u § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª u0 = C −1 u.
ë ¯®«ãç ¥¬,¨á¯®«ì§ãï (11.17),(u0 ) A01 u0 = (C −1 u) C A1 CC −1 u = 0,â. ¥. ¢¥ªâ®à u0 ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® ¯à ¢«¥¨ï.¥á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¯à ¢«¥¨ï ¨ ª ®¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï1) ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¯à ¢«¥¨ï í««¨¯á®¨¤ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ãà ¢¥¨¥¬α2a2+β2b2+γ2c2= 0.(11.18)®ïâ®, çâ® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à (α, β, γ ), ®â«¨ç®£® ®â ã«¥¢®£®, 㤮¢«¥â¢®àïî饣® ãà ¢¥¨î (11.18). ®í⮬㠣®¢®àïâ, çâ® ã í««¨¯á®¨¤ ¬¨¬ë¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¯à ¢«¥¨ï.2) ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¯à ¢«¥¨ï £¨¯¥à¡®«®¨¤®¢ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ãà ¢¥¨¥¬α2a2+β2b2=γ2.c2(11.19)ᥠ¯àï¬ë¥, ïî騥áï ®¡à §ãî騬¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ª®ãᮢ (11.19) £¨¯¥à¡®«®¨¤®¢, áãâì ᨬ¯â®âë £¨¯¥à¡®«®¨¤®¢.73) ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¯à ¢«¥¨ï í««¨¯â¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ãà ¢¥¨¥¬α2β2+ = 0.pq ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢á¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¯à ¢«¥¨ï í««¨¯â¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ ¬¨¬ë¥, § ¨áª«î票¥¬ ¯à ¢«¥¨© ¢¨¤ (0, 0, γ ).4) ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¯à ¢«¥¨ï £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ ®¯à¥¤¥«ïîâáïãà ¢¥¨¥¬β2α2−= 0;pqíâ® ¢á¥¢®§¬®¦ë¥ ¯à ¢«¥¨ï, ª®««¨¥ àë¥ ª ª®©-«¨¡® ®¤®© (¨«¨ ®¡¥¨¬) ¨§¯«®áª®á⥩ √xp ± √yq = 0.