1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (Тельнов 2016 Задачи по механике и теории относительности)

fffМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультетЗАДАЧИ ПО МЕХАНИКЕИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИУчебное пособиеПод редакцией В. И. ТельноваНовосибирск2016УДК 530.12:531.18 531ББК 22.2 22.3З 153Издание подготовлено в рамках реализации Программы развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирский государственный университет» на 2009–2018 гг.Учебное пособие рекомендовано к изданию Ученым советом физического факультета НГУ.З 153Задачи по механике и теории относительности : учеб. пособие /Т.

Д. Ахметов, А. В. Болеста, Ф. А. Еманов, А. С. Руденко,В. И. Тельнов, А. А. Шошин ; под ред. В. И. Тельнова ; Новосиб.гос. ун-т. – Новосибирск: ИПЦ НГУ, 2016. – 170 с.ISBN 978-5-4437-0562-0Сборник содержит задачи по механике и теории относительности для изучения курса общей физики на физических факультетахуниверситетов. Основу пособия составляют оригинальные задачи,предложенные преподавателями Новосибирского государственногоуниверситета – сотрудниками физических институтов Сибирскогоотделения РАН для семинаров и самостоятельной работы студентов.Задачи сгруппированы в соответствии с программой семинарскихзанятий на физическом факультете НГУ.

Каждая глава начинается снапоминания теории, для многих задач наряду с ответами приведены решения задач.УДК 530.12:531.18 531ББК 22.2 22.3ISBN 978-5-4437-0562-0© Новосибирский государственныйуниверситет, 2016© Т. Д. Ахметов, А. В. Болеста,Ф. А. Еманов, А. С. Руденко,В.

И. Тельнов, А. А. Шошин, 2016ПРЕДИСЛОВИЕСборник содержит около 320 задач по механике и теории относительности и предназначен в первую очередь для студентов первого курса физического факультета Новосибирского государственного университета.Особенностью курса общей физики на физфаке НГУ является достаточноподробное изучение специальной теории относительности. Эта традициябыла заложена с самого основания НГУ академиком Г.

И. Будкером. Данный курс, читаемый на физфаке в первом семестре первого курса, излагается в следующей последовательности: введение, нерелятивистская кинематика, релятивистская кинематика, нерелятивистская динамика, релятивистская динамика. Затем следуют традиционные разделы: одномерноедвижение, колебания, волны в упругой среде, движение в центральномполе, движение твердого тела, элементы гидродинамики, неинерциальныесистемы отсчета, элементы общей теории относительности.

Именно в таком же порядке подобраны задачи, которые предлагаются для решения насеминарских занятиях, домашней работы и самостоятельного изучения.Для всех задач даны ответы, а для многих приведены решения. Каждаятема начинается с напоминания теории.Большинство задач взято из сборников задач, предложенных преподавателями НГУ для семинарских занятий и контрольных работ и издававшихся несколько раз начиная с 1978 г. Последнее такое издание было подготовлено Ю. И.

Бельченко, Е. А. Гилевым, З. К. Силагадзе в 2008 г. Такжеиспользовались другие задачники и авторские наработки.В вводной части дано около 20 «школьных» задач по механике с решениями, предлагавшихся ранее на вступительных письменных экзаменах вНГУ. Студентам предлагается посмотреть их самостоятельно, после чего,через 1520 дней после начала семестра, проводится контрольная работапо аналогичным задачам, чтобы получить первое представление о принятых на физфак НГУ студентах.3ВВОДНАЯ ЧАСТЬШКОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МЕХАНИКЕ1. Ускорение свободного падения у поверхности планеты равно g0, а навысоте h над поверхностью – g. Найдите радиус планеты.Решение.На расстоянии R от центра сила тяжести mg 0  GMm R 2 , а для R + h:mg  GMm ( R  h) 2 .

Отсюда R  h ( g 0 g  1).2. Мотоциклист едет ночью по окружности радиуса R со скоростью V (рис. 2a). Свет фары образует конус с углом раствора 2. В течение какого времени видит свет фары наблюдатель, находящийсяна очень большом расстоянии?Рис. 2aРешение.Свет идет вверх (рис. 2б), в направлении наблюдателя, пока мотоциклист движется по дуге АВ, соответствующей изменению направления движения на угол 2 .

Дуга AB равнаl  R  2 . Время наблюдения t  2 R V .Рис. 2б3. Летевший вертикально вверх снаряд взорвался на максимальной высоте. Осколки снаряда выпадают на землю в течение времени . Найдите скорость осколков в момент взрыва. Ускорение свободногопадения равно g.Решение.Высота взрыва h  ut1  gt12 2  ut2  gt22 2, откуда   t2  t1  2u g ,т. е. u  g 2.4. После упругого столкновения с покоящейсячастицей массой M налетающая частица полетелапод прямым углом к первоначальному направлениюдвижения, а частица M – под углом  к этому направлению. Найдите массу m налетающей частицы.Рис. 44Решение.Пусть скорость налетающей частицы равна v, после рассеяния u, а частица с массой M приобретает скорость V. Из закона сохранения импульса:MV sin   mu , MV cos   mv , откуда u  v tg , а V  mv M cos  .

Иззакона сохранения энергии mv 2 2  mu 2 2  MV 2 2 после подстановкиполученных для u и V выражений следует ответ:mM1  tg 2 M cos 2 .1  tg 25. Шарики с массами m и M соединены легкойнедеформированной пружиной. Шарику массой mсообщили скорость V в направлении шарика M. Вмомент максимального растяжения пружина порвалась. Какое количество тепла выделилось к моменту окончания колебаний?Рис. 5Решение.Максимальное растяжение пружины наступает в момент, когда скорости шариков u одинаковы.

Записав законы сохранения импульса и энергии: mV  ( M  m)u , mV 2 2  ( M  m)u 2 2  Q, где Q – энергия, перешедшая в тепло, получаем ответ:QMm V 2.M m 26. Опускаясь, груз массой m подтягиваетбрусок массой M. Найдите ускорение бруска.Трением в системе и массой блока пренебречь.Решение.Рис. 6На груз массой m по вертикали действует сила тяжести mg и натяжение T.

По второму закону Ньютонаma  mg  T . По горизонтали же действует только сила нормального давления N со стороны бруска. Горизонтальное ускорение то же, что и брускаa1. Поэтому из второго закона Ньютона ma1  N . Для бруска получаемMa1  T  N . Поскольку нить нерастяжима, a1  a. Отсюда получаемa  g m ( M  2m).57. Сферический слой несжимаемой жидкостирасширяется симметричным образом.

В некоторыймомент скорость наружной сферической поверхности радиуса R равна V. С какой скоростью движетсявнутренняя сферическая поверхность жидкости,имеющая в этот момент радиус r?Решение.Из условия несжимаемостиV  4 R 2  u  4 r 2 , т. е. u  V R 2 r 2 .жидкостиимеемРис. 78. На груз массой M, висящий на пружине, кладут перегрузок массой m, удерживая груз в первоначальномположении, а затем его отпускают.

Найдите максимальное значение силы, действующей на перегрузок со стороны груза.Решение.Начальное равновесие дает kx0  Mg. Из закона сохранения энергии имеемРис. 8kx02kx 2 ( M  m) g ( xmax  x0 )  max ; xmax  x0 .22Подставляя x0  Mg k , получаем xmax  ( M  2m) g k . Из второго законаНьютонаma  mg  N ,( M  m)a  ( M  m) g  kx.Отсюда N  mkx ( M  m) , т. е. N max mkxmaxM  2m mg.M mM m9.

У стенки, прижимаясь к ней, лежит катушка радиуса 2R, на внутренний цилиндр которой намотана нить. За нить тянут вертикально вниз. Прикаком значении силы натяжения нити F катушка начнет вращаться? Коэффициенты трения о пол и стенку одинаковы и равны , радиус внутреннегоцилиндра равен R.6Решение.Условие равенства моментов относительноцентра катушки: FR  ( F1  F2 )  2 R; F1   N1 ,F2   N 2 . Равновесие по горизонтали даетN1   N 2 , а по вертикали приводит к условиюN 2   N1  mg  F . Из этих уравнений получаемF2 (1   )mg при   1  2  1.1  2   2Рис.

9Условие заклинивания   1  2  1 (1 получается из уравнения1  21  12  0 ).10. На плоскости, образующей угол  с горизонтом, лежит шайба массой m. Какую минимальную силу надо приложить к шайбе в горизонтальном направлении вдоль плоскости, чтобыона сдвинулась? Коэффициент трения равен .Решение.СилатренияРис. 10 mg cos результирующей силы2minFнаправленапротив (mg sin  ) .

Приравнивая силы, получаем2Fmin  mg  2 cos 2   sin 2  при   tg ,Fmin  0 при   tg .11. Катер, движущийся со скоростью vпрямо навстречу волнам, испытывает f ударов о гребни волн в единицу времени. Приизменении курса на угол  и той же скоростикатера число ударов в единицу времени сталоравно f . Какова скорость волн?Рис. 117Решение.Пусть скорость волн равна c. За время T  1 f катер испытает одинудар.

Если расстояние между волнами , то T  1 f   (c  v ). При изменении курса T   1 f    (c  v cos  ). Приравнивая значения , получаем ответ:c vf   f cos .f  f12. Два шарика с разными массами, но равными радиусами подвешены на нитях одинаковой длины. Шарики отклоняют в разные стороны на угол  и отпускают одновременно.

Послеупругого столкновения шариков один из нихостанавливается. На какой угол отклонится другой шарик?Решение.Рис. 12Введя массы шариков m1 и m2 и их скорость до удара v и после удара 0и u, получаем из закона сохранения импульса (m2  m1 )v  m1u. Закон сохранения энергии (m2  m1 )v 2 2  m1u 2 2, откуда m2  3m1 и u  2v. Иззакона сохранения энергии для поднимающегося шарика имеемm1 gl (1  cos  )  m1v 2 2 и m1 (2v ) 2 2  m1 gl (1  cos  )  4m1 gl (1  cos  ), откуда ответ:cos   4 cos   3.13.