1611141258-7fb874d5b06be127fe4f619126693e12 (Долгунцева Методические рекомендации к решению задач по темам Системы линейных уравнений и Линейные пространства)

1. ÑÈÑÒÅÌÛ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉÏóñòü F îäíà èç ÷èñëîâûõ ñèñòåì: R èëè C.Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ñèñòåìîé ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòn íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , . . . , xn íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà âèäà:a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 , a x + a x + ... + a x = b ,21 122 22n n2..........................am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm ,(1)ãäå aij , bi ∈ F, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.Îñíîâíîé ìàòðèöåé ñèñòåìû (1) íàçûâàþò ìàòðèöóa11a12...a1n a21 a22 .

. . a2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1am2...amnÐàñøèðåííîé ìàòðèöåé ñèñòåìû (1) íàçûâàþò ìàòðèöóa11a12...a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .am1am2...amn bmÎ ï ð å ä å ë å í è å 2. Óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ÷èñåë (x◦1 , x◦2 , . . . , x◦n ) íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (1), åñëè ïðè ïîäñòàíîâêå x1 = x◦1 , x2 = x◦2 ,.

. . , xn = x◦n êàæäîå óðàâíåíèå îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî.Êîëè÷åñòâîðåøåíèéÎäíî ðåøåíèåÑèñòåìàÑîâìåñòíàÿÎïðåäåëåííàÿ ÍåîïðåäåëåííàÿÌíîãî ðåøåíèéÍåò ðåøåíèéÍåñîâìåñòíàÿÄâå ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îíè íåñîâìåñòíû èëèñîâìåñòíû è èìåþò îäèíàêîâîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé.1.1. Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõÝëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþò:(R1) óìíîæåíèå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû íà ÷èñëî, íå ðàâíîå íóëþ;1(R2) ïðèáàâëåíèå ê îäíîìó óðàâíåíèþ äðóãîãî, óìíîæåííîãî íà ÷èñëî;(R3) ïåðåñòàíîâêà ïàðû óðàâíåíèé ìåñòàìè.Ï ð å ä ë î æ å í è å 1.

Äâå ñèñòåìû ýêâèâàëåíòíû, åñëè îäíà èç íèõ ïîëó÷åíà ïóòåì ïðèìåíåíèÿ êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõïðåîáðàçîâàíèé.Î ï ð å ä å ë å í è å 3. Ìàòðèöó íàçûâàþò ñòóïåí÷àòîé, åñëè:à) ïåðâûé ñëåâà ýëåìåíò â êàæäîé ñòðîêå ðàâåí 1 (ãëàâíàÿ åäèíèöà);á) îñòàëüíûå ýëåìåíòû ñòîëáöà, ñîäåðæàùåãî ãëàâíóþ åäèíèöó, ðàâíû0;â) â êàæäîé ñëåäóþùåé ñòðîêå ãëàâíàÿ åäèíèöà ðàñïîëîæåíà ïðàâåå,÷åì ãëàâíàÿ åäèíèöà ïðåäûäóùåé ñòðîêè....01∗...∗∗0...∗0∗...∗. . .

0 0 0 . . . 0 1 ∗ . . .∗ 0 ∗ ... ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 0 0 0 ... 0 0 0 ...01∗ ... ∗ 000 ... 0  ... 0 0 0 ... 0 0 0 .... . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....000...000...000...0Ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê ìàòðèöû íàçûâàþò ïðåîáðàçîâàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì óðàâíåíèé:(R1) óìíîæåíèå ëþáîé ñòðîêè íà íåíóëåâîå ÷èñëî;(R2) ïðèáàâëåíèå ê îäíîé ñòðîêå, äðóãîé, óìíîæåííîé íà ÷èñëî;(R3) ïåðåñòàíîâêà ìåñòàìè ëþáîé ïàðû ñòðîê.Ñòàíäàðòíûé ìåòîä ïðèâåäåíèÿ ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîì çàíóëåíèè ýëåìåíòîâ ìàòðèöû, íà÷èíàÿ ñ ëåâîãî ñòîëáöàè äâèãàÿñü âïðàâî.Ï ð è ì å ð 1. Ïðèâåäèòå ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó ìàòðèöó0−2−7101 −3 2 1 02130 .2 1I Îáîçíà÷èì ÷åðåç A(k) ñòðîêó k òåêóùåé ìàòðèöû, è ñïðàâà îò ìàòðèöû áóäåì óêàçûâàòü ïðåîáðàçîâàíèå, êîòîðûì ïîëó÷åíà äàííàÿ ñòðîêà.0 −3 121201−2−71030 2 12èñõîäíàÿ ìàòðèöà(R3)(R2)(R2)(R3)(R2)(R2)(R3)(R1)(R2)(R2)1−30210021000100010001000100010001000100002110211021101210101010001000100010001001−7−201−4−201−4−2−21−2−4−21−20−21−2001−2001−2001−2001−20020312631263−3236−3230−3230−623−602310031000103A(1) ↔ A(2)A(2) A(2) + 3A(1)A(4) A(4) − 2A(1)A(2) ↔ A(3)A(3) A(3) − 2A(2)A(4) A(4) − A(2)A(3) ↔ A(4)A(3) − 61 A(3)A(1) A(1) − 2A(3)A(2) A(2) − 3A(3) .Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ïîðÿäîê ñòðîê â ìàòðèöå ïî õîäó âû÷èñëåíèéñîâåðøåííî íå âàæåí.

Äîñòàòî÷íî ëèøü ñëåäèòü çà òåì, êàêàÿ ñòðîêàÿâëÿåòñÿ âåäóùåé íà äàííîì øàãå, íå âçèðàÿ íà åå ïîëîæåíèå â ìàòðèöå.Ïîñêîëüêó ïîðÿäîê ñòðîê â ìàòðèöå íå èãðàåò íèêàêîãî çíà÷åíèÿ,ìîæíî çíà÷èòåëüíî ñîêðàòèòü çàïèñü êàæäîãî øàãà. Çàìåíèì ïåðåïèñûâàíèå âñåé ìàòðèöû áîëåå êîðîòêèìè äåéñòâèÿìè:1) óêàçàòü ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå R, ñîâåðøàåìîå íà äàííîìøàãå;2) ïðèïèñàòü ñíèçó ê ìàòðèöå ðåçóëüòàò ïðåîáðàçîâàíèÿ R, ò.

å. íîâóþñòðîêó;3) ïîìåòèòü êàê óäàëåííóþ ñðîêó, ê êîòîðîé ïðèìåíÿëîñü ïðåîáðàçîâàíèå R; âìåñòî íåå äàëåå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî ÷òî ïîëó÷åííàÿñòðîêà.Ïðè ýòîì ïîëåçíî íóìåðîâàòü ñòðîêè, à óäàëåííûå ñòðîêè íå çà÷åðêèâàòü, à èìåííî ïîìå÷àòü (íàïðèìåð, çíàêîì ×)Âåðíåìñÿ ê ðàçîáðàííîìó ïðèìåðó. Ïîñëå ïåðâîãî øàãà ïîëó÷èëàñüçàïèñü0−312012012−2−710−430216×A(1)A(2)A(3)A(4)A(5) = A(2) + 3A(3) .Ïðîäîëæàÿ, ïîëó÷èì çàïèñü âû÷èñëåíèé â âèäå òàáëèöû0−312000000112012100010−2−710−4−2000−2130216−30−6100×××××××A(1)A(2)A(3)A(4)A(5) = A(2) + 3A(3)A(6) = A(4) − 2A(3)A(7) = A(5) − 2A(1)A(8) = A(6) − A(1)A(9) = − 61 A(8)A(10) = A(1) − 3A(9)A(11) = A(3) − 2A(9) .Ðàñïîëàãàÿ íåâû÷åðêíóòûå ñòðîêè ìàòðèöû â ïðàâèëüíîì ïîðÿäêå,4ïîëó÷àåì ñòóïåí÷àòûé âèä èñõîäíîé ìàòðèöû1 0 000100A(11)A(10)A(9)A(7)1 0−2 0 0 1 0 0J1.2.

Êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèéÒ å î ð å ì à 1. Ëþáàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ýêâèâàëåíòíà (åäèíñòâåííîé) ñèñòåìå ñòóïåí÷àòîãî âèäà.Ñ ë å ä ñ ò â è å 1. Âåðíû óòâåðæäåíèÿ :1) Ñèñòåìà îïðåäåëåíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå ñòîëáöû ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû ãëàâíûå.2) Ñèñòåìà ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäîé íóëåâîé ñòðîêå â ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöå ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîé ñâîáîäíûé÷ëåí.3) ×èñëî ïàðàìåòðîâ, îïèñûâàþùèõ ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû,ðàâíî ÷èñëó íåãëàâíûõ ñòîëáöîâ.Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòå ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé−x1 + x3 − 3x4 + 2x5 = 1,2x1 − x3 + 5x4 − x5 =3,x1 − 2x3 + 4x4 − 5x5 = −6.I Çàìåòèì, ÷òî âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé ñèñòåìû ìåíÿþò òîëüêî êîýôôèöèåíòû â óðàâíåíèÿõ, ïîýòîìó âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáû÷íî ïðîèçâîäÿò íàä ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé äàííîé ñèñòåìû.Çàïèøåì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû è ïðèâåäåì åå ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó.−12100001000000001−1−2−13100−3541−3−1022−1−5−3930113−6−5155045×××××A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)= A(1) + A(3)= A(2) − 2A(3)= 31 A(5)= A(4) + A(6)= A(3) + 2A(6)Èòàê, ñòóïåí÷àòàÿ ìàòðèöà äàííîé ñèñòåìû"1000012−11345#A(8)A(6),ãäå ðàìêîé âûäåëåíû ãëàâíûå åäèíèöû.

Òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü îáùååðåøåíèå â âèäåx1 = −2x4 − x5 + 4,x3 =x4 − 3x5 + 5,x , x , x ∈ R24 ïðîèçâîëüíûå.5JÏ ð è ì å ð 3. Èññëåäîâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé íà ñîâìåñòíîñòü è íàéòèîáùåå ðåøåíèå â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà λ5x1 − 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3,4x − 2x + 3x + 7x = 1,12348x1 − 6x1 − x3 − 5x4 = 9,7x1 − 3x2 + 7x3 + 17x4 = λ.I Ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû è ïðèâåäåì åå ñíà÷àëà êòðàïåöåâèäíîìó âèäó.Çàìåòèì, ÷òî â ïåðâîì ñòîëáöå ìàòðèöû íåò íè îäíîãî ÷èñëà, êðàòíîãîâñåì îñòàëüíûì.

Ìîæíî, íàïðèìåð, â êà÷åñòâå âåäóùåé âûáðàòü ïåðâóþñòðîêó, íî òîãäà â õîäå âû÷èñëåíèé ïîÿâÿòñÿ äðîáíûå ÷èñëà, ÷òî çàòðóäíÿåò âû÷èñëåíèÿ. Îäíàêî, åñëè âû÷åñòü èç ïåðâîé ñòðîêè âòîðóþ, ïîëó÷èì ñòðîêó ñ ïåðâûì åäèíè÷íûì ýëåìåíòîì.548710000001−3−2−6−3−1224001023−17−177140047−517−3191938007252192132319λ2−7−7λ − 140λ− 27926××××××××A(1)A(2)A(3)A(4)A(5) = A(1) − A(2)A(6) = A(2) − 4A(5)A(7) = A(3) − 8A(5)A(8) = A(4) − 7A(5)A(9) = A(7) − A(6)A(10) = A(8) − 2A(6)A(11) = 21 A(6)A(12) = A(5) + A(11)Èòàê, òðàïåöåâèäíàÿ ìàòðèöà äàííîé ñèñòåìû1000010052721321920000− 23− 27λ0A(12)A(11)A(10)A(9)Ïîñêîëüêó ñèñòåìà ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäîé íóëåâîé ñòðîêå îñíîâíîé ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîé ñâîáîäíûé ÷ëåí, òîäàííàÿ ñèñòåìà ñîâìåñòíà òîëüêî ïðè λ = 0.

Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìûïðè λ = 01x1 = − 2 (3 + 5x3 + 13x4 ),x2 = − 21 (7 + 7x3 + 19x4 ),x3 , x 4 ∈ R ïðîèçâîëüíûå.Ñèñòåìà íå ñîâìåñòíà ïðè λ 6= 0.J72. ËÈÍÅÉÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ2.1. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâÏóñòü F, êàê è ðàíüøå, îáîçíà÷àåò îäíó èç ÷èñëîâûõ ñèñòåì: R èëè C.Î ï ð å ä å ë å í è å 4. Ëèíåéíûì (âåêòîðíûì ) ïðîñòðàíñòâîì íàä Fíàçûâàåòñÿ íåïóñòîå ìíîæåñòâî L ñ îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿíà ñêàëÿðû èç F, òàêèìè, ÷òî äëÿ ëþáûõ a, b è c ∈ L è ëþáûõ α è β ∈ Fâûïîëíåíû àêñèîìû:(L1) (a + b) + c = a + (b + c) (àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ);(L2) a + b = b + a (êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ);(L3) ∃0 ∈ L : a + 0 = a (ñóùåñòâîâàíèå íóëÿ);(L4) ∃(−a) ∈ L : a + (−a) = 0 (ñóùåñòâîâàíèå ïðîòèâîïîëîæíîãîâåêòîðà);(L5) α(βa) = (αβ)a (àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð);(L6) (α + β)a = αa + βa è α(a + b) = αa + αb (äèñòðèáóòèâíîñòüóìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ);(L7) 1 · a = a (ñâîéñòâî åäèíèöû).Ýëåìåíòû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþò âåêòîðàìè.Ï ð è ì å ð 4. Âûÿñíèòå, ÿâëÿåòñÿ ëè ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì êàæäîåèç ñëåäóþùèõ ìíîæåñòâ:à) ìíîæåñòâî Fn = {[a1 , a2 , .

. . , an ]T : ai ∈ F, 1 ≤ i ≤ n} ñòîëáöîââûñîòû n íàä F ñ îïåðàöèÿìè ïîêîìïîíåíòíîãî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿíà ñêàëÿð:[a1 , . . . an ]T + [b1 , . . . , bn ]T = [a1 + b1 , . . . , an + bn ]T ,λ[a1 , . . . , an ]T = [λa1 , . . . , λan ]T ;á) ìíîæåñòâî Mm×n (F) ïðÿìîóãîëüíûõ ìàòðèö [aij ] ïîðÿäêà m×n íàäF ñ îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ ìàòðèö è óìíîæåíèÿ ìàòðèöû íà ñêàëÿð:[aij ] + [bij ] = [aij + bij ],λ[aij ] = [λaij ];â) ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå nFn [x] = {at xt + at−1 xt−1 + .

. . + a1 x + a0 : ai ∈ F, 0 ≤ i ≤ t, t ≤ n}ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿðû ìíîãî÷ëåíîâ;8ã) C ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íàä R ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìèñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ.I Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü ÷òî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî îáðàçóåò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü âûïîëíèìîñòü âñåõ àêñèîìëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà.à) Ïîñêîëüêó îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿðû â ïðîñòðàíñòâå ñòîëáöîâ Fn îïðåäåëåíû ïîêîìïîíåíòíî, òî àêñèîìû (L1), (L2), (L5) (L7) âûïîëíåíû, òàê êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ñâîéñòâà âûïîëíÿþòñÿ äëÿýëåìåíòîâ F.

Íóëåâûì âåêòîðîì ÿâëÿåòñÿ ñòîëáåö ñ íóëåâûìè êîìïîíåíòàìè0 = [0, 0, . . . , 0]T .Âåêòîð, ïðîòèâîïîëîæíûé äàííîìó, ýòî âåêòîð, âñå êîîðäèíàòû êîòîðîãî ïðîòèâîïîëîæíû êîîðäèíàòàì äàííîãî, ò. å.−[a1 , a2 , . . . , an ]T = [−a1 , −a2 , . . . , −an ]T .á) Ïîñêîëüêó ñëîæåíèå ìàòðèö è óìíîæåíèå íà ñêàëÿð îïðåäåëÿåòñÿïîêîìïîíåíòíî, òî àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïðèìåðó ïðîâåðèòü äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå àêñèîì (L3) è (L4). Ðîëü íóëåâîãî ýëåìåíòà â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö èãðàåò íóëåâàÿ ìàòðèöà ìàòðèöà ñ íóëåâûìè ýëåìåíòàìè,à ìàòðèöà, ïðîòèâîïîëîæíàÿ äàííîé, ýòî ìàòðèöà, âñå êîìïîíåíòû êîòîðîé ïðîòèâîïîëîæíû ñîîòâåòñòâóþùèì êîìïîíåíòàì äàííîé ìàòðèöû.â) Ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå n òàêæå îáðàçóþò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.