1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (Курош 2008 Курс высшей алгебры)

ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß Ó×ÅÁÍÀß ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅÀ. Ã. ÊÓÐÎØÊÓÐÑÂÛÑØÅÉÀËÃÅÁÐÛÈçäàíèå ñåìíàäöàòîå,ñòåðåîòèïíîåÐåêîìåíäîâàíî Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿÐîññèéñêîé Ôåäåðàöèèâ êà÷åñòâå ó÷åáíèêà äëÿ ñòóäåíòîââûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé,îáó÷àþùèõñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòÿì«Ìàòåìàòèêà», «Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà»Ñàíêò-Ïåòåðáóðã • Ìîñêâà • Êðàñíîäàð2008ÁÁÊ 22.14Ê 93Ê 93Êóðîø À. Ã.Êóðñ âûñøåé àëãåáðû: Ó÷åáíèê. 17-å èçä., ñòåð. — ÑÏá.:Èçäàòåëüñòâî «Ëàíü», 2008. — 432 ñ.: èë.

— (Ó÷åáíèêè äëÿâóçîâ. Ñïåöèàëüíàÿ ëèòåðàòóðà).ISBN 978-5-8114-0521-3Êíèãà èçâåñòíîãî ñîâåòñêîãî ìàòåìàòèêà À. Ã. Êóðîøà ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ó÷åáíèêîì ïî âûñøåé àëãåáðå. Ïðîñòîòà è ñòðîãîñòü èçëîæåíèÿäàâíî ñäåëàëè «Êóðñ» ïîïóëÿðíûì ñðåäè ñòóäåíòîâ. Êíèãà îõâàòûâàåòáîëüøèíñòâî òåì êóðñà âûñøåé àëãåáðû, ÷èòàåìîãî íà ìàòåìàòè÷åñêèõôàêóëüòåòàõ óíèâåðñèòåòîâ: ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, îïðåäåëèòåëèè ìàòðèöû, êîìïëåêñíûå ÷èñëà, ìíîãî÷ëåíû, ëèíåéíûå è åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà, êâàäðàòè÷íûå ôîðìû, îñíîâû òåîðèè ãðóïï.Èçäàíèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ è òåõíè÷åñêèõñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ è âñåõ èíòåðåñóþùèõñÿ àëãåáðîé.ÁÁÊ 22.14ÎáëîæêàÑ. ØÀÏÈÐÎ, À.

ËÀÏØÈÍÎõðàíÿåòñÿ çàêîíîì ÐÔ îá àâòîðñêîì ïðàâå.Âîñïðîèçâåäåíèå âñåé êíèãè èëè ëþáîé åå ÷àñòèçàïðåùàåòñÿ áåç ïèñüìåííîãî ðàçðåøåíèÿ èçäàòåëÿ.Ëþáûå ïîïûòêè íàðóøåíèÿ çàêîíàáóäóò ïðåñëåäîâàòüñÿ â ñóäåáíîì ïîðÿäêå.© Èçäàòåëüñòâî «Ëàíü», 2008© À. Ã. Êóðîø, íàñëåäíèêè, 2008© Èçäàòåëüñòâî «Ëàíü»,õóäîæåñòâåííîå îôîðìëåíèå, 2008ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие к шестомуВведение . . . • .

. .изданию . . . . . .. . . . . . . . . ... ..••.. .....Глава первая. Системы линейных уравнений. Определители§ 1.§ 2.§ 3.§ 4.§ 5.§ 6.§ 7.Метод последовательного исключения неизвестныхОпределители второго и третьего порядковПерестановки и подстановки..... .Определители n-го порядка . • . .

. .•Миноры и их алгебраические дополненияВычисление определителей...... .Правило Крамера.......... .Глава вторая. Системы линейных уравнений (общая теория)§ 8.§ 9.§ 10.§ 11.§ 12.n-мерное векторное пространствоЛинейная зависимость векторовРанг матрицы........ .Системы линейных уравнений.... .Системы линейных однородных уравненийГлава третья. Алгебра матриц13. Умножение матриц • • • • • • • • • . •14.

Обратная матрица . . . • • • . . • • .15. Сложение матриц и умножение матрицы на число16*. Аксиоматическое построение теории определителейГлава четвертая. Комплексные числа . . . . . . •§ 17. Система комплексных чисел . • • . . .§ 18. Дальнейшее изучение комплексных чисел§ 19. Извлечение корня из комплексных чиселГлава пятая. Многочлены и их корни.... .§ 20. Операции над многочленами . . . . .§ 21. Делители Наибольший общий делитель§ 22. Корни многочленов . . .

. . .§ 23. Основная теорема . . . . . . .§ 24. Следствия из основной теоремы§ 25": Рациональные дроби . . . . •§§§§Глава шестая. Квадратичные формы§ 26.§ 27.§ 28.Приведение квадратичной формы к каноническому видуЗакон инерции_........Положительно определенные формыГлава седьмая. Линейные пространпв১§§§29.30.31.32*.33.Определение линейного пространства. ИзоморфизмКонечномерные пространства. Базы .Линейные преобразования......•••.••Линейные подпространства . . .

. . . . . • . . .Характеристические корни и собственные значения571515232837434653606063707783898995102105110110115123130130135143147156161166166174179184184188• 194• 201• 2064ОГЛАВЛЕНИЕГлава восьмая. Евклидовы пространства§ 34.§ 35.§ 36.§ 37..

. . . . . . . . . ..211Определение евклидовапространства. Ортонормированныебазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ортогональные матрицы, ортогональные преобразования . ..Симметрические преобразования . . . . . . . . . . . . . . . ..Приведение квадратичной формы к главным осям. Пары форм.

. .211217222226Глава девятая. Вычисление корней многочленов . . . . . . •§ 38*. Уравнения второй, третьей и четвертой степени.§ 39. Границы корней . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 40. Теорема Штурма . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 41. Другие теоремы о числе действительных корней§ 42.

Приближенное вычисление корней233233241246Глава десятая. Поля и многочлены§ 43. Числовые кольца и поля§ 44. Кольцо . . . . . . . . . .266266252259. . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 45. Поле§ 46*. Изоморфизм колец (полей). Единственность поля комплексныхчисел . . . . . . . . '.

. . . . . , . . . . . . . . . . . . . , . ..§ 47. Линейная алгебра и алгебра многочленов над произвольнымполем . . . . . . . . . , . . . . , . , . . . . , . , . . .§ 48. Разложение многочленов на неприводимые множители§ 49*. Теорема существования корня . . . . . . . . . .

. .§ 50*. Поле рациональных дробей . . . . . . . . . . • . .Глава одиннадцатая. Многочлены от нескольких неизвестных§§§§§51,52.Кольцо многочленов от нескольких неизвестныхСимметрические многочлены . . . . . , . . . . . .Г лава двенадцатая. Многочлены с рациональными коэффициентами§ 56 ~.§ 57*.§ 58*.. .Приводимость многочленов над полем рациональных чиселРациональные корни целочисленных многочленовАлгебраические числа . . . . .

. . . . . . . . . .Глава тринадцатая. Нормальная форма матрицы§ 59.§ 60.§ 61.§ 62.Эквивалентность л-матриц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..Унимодулярные л-матрицы. Связь подобия числовых матрицс эквивалентностью их характеристических матрицЖорданова нормальная форма . . . . . .

.Минимальный многочлен . . .Глава четырнадцатая. Группы§§§§§. . . . . .63. Определение и примеры групп64. Подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65. Нормальные делители, фактор-группы, гомоморфизмы66. Прямые суммы абелевых групп " , . . . . . . . .67. Конечные абелевы группыУказатель литературыПредметный указатель281285290298305312312321.

.. .Дополнительные замечания о симметрических многочленахРезультант. Исключение неизвестного. Дискриминант . . .Второе доказательство основной теоремы алгебры комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •53*.54 *.55*.270276328334345350350355358364364371379387392392398404410417425•..... "427ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮПервое издание этой книги выщло В 1946 Г., а затем она пере­издавалась в 1950, 1952, 1955 и 1956 гг. Перед вторым и четвер­тымизданиямишейцельюкнигаотразитьподвергалась значительной переработке, имев­опыт алгебраического преподавания в Москов­ском университете.При подготовке к настоящему шестому изданиюкнигаеще более серьезной переработке, столь серьез"подвергаласьной, что сдостаточнымиоснованиямиееможнобылобысчитатьновой книгой, а не шестым изданием старой книги.Этапереработканеоднократнотого,определяласьвысказывалисьчтобыонадвумяпожеланияобеспечивалавесъзадачами.оПреждерасширенииобязательныйвсего,книгидляуниверситетскийкурс высшей алгебры, а не только его первые два семестра, какэто было до сих пор.

С этой целью в книгу включено нескольконовых глав. Одна из них посвящена основам теории групп, а осталь­ныеотносятсятеорияк линейнойевклидовыхалгебрепространств,-теориятеориялинейныхл-матрицпространств,ижордановойнормальной формы матриц.Конечно,времяповимеетсяобъему,дажесоветскойрядалгебраическойхорошихсодержанию,послестолькниглитературевнастоящеепо линейной алгебре, различныххарактеруизложения.Настоящаякнига,значительного добавления к ней материала, отно­сящегося к линейной алгебре, не может претендовать на заменукакой-либо И3 этих книг. Тем не менее бесспорно, что студентамбудет удобно иметь весь обязательный материал собранным в одномучебнике и изложенным единым стилем.С другой стороны, расположение глав, принятое в предшествую­щихизданияхв Московскомриала-этотмостьюккурсовкниги,ужеуниверситетепоследнийвопределенномуаналитическойдавнонесоответствуетдействующемуфактическому порядку изложения мате­большойсрокумереопределяетсявыполнятьнеобходи­определенныезаказыгеометрии и математического анализа.

Большетого, три года тому назад в Московском университете была введенановаяпрограммапрошлакнигу,нойиспытаниякурсарасположив впрограммой.высшей алгебры. За эти годы она успешнои поэтомунейказалось целесообразным перестроитьматериал в точномПоявлениеучебника,соответствиис указан­соответствующегоэтой6ПРЕДИСЛОВИЕпрограмме,ситетахоблегчит,Квероятно,ШЕСТОМУееИЗДАНИЮвведениеи в другихунивер­страны.Укажем распределение материала по семестрам: 1-й семестр­главы 1-5, 2-й семестр-главы 6-9, 3-й семестр-главы 10,11, 13 и 14.

Следует отметить, что студенты-механики Московскогоуниверситета изучают высшую алгебру лишь в объеме первых двухсеместров.Несомненно, что эта перестройка книги не затруднит, а, бытьможет, даже И облегчит ее использование в педагогических инсти­тутах.Предшествующие переработки книги удавалось выполнить безвсякого увеличения ее объема. На этот раз сделать это было,конечно, невозможно.

Желание в какой-то мере сократить объемкниги заставило исключить из нее некоторыйматериал, в частностипараграфы, посвященные теореме Гурвица, теории алгебр и теоремеФробениуса. Тем не менее не казалось разумным ограничиться изло­жениемвкнигелишьтогоматериала,которыйвходитсейчасВ обязательную программу , т. е. превратить эту книгу в простойконспект лекциЙ.

Сохраненный в книге необязательный материал­параграфы, целиком к нему относящиеся, отмечены звездочкой,­как правило, таков, что в свое время он входил в обязательнуюпрограмму курса высшеА алгебры, в некоторых университетах илипедагогическихинститутахвходит в программу и сеАчаском случае был бы включен в программу ,еслибыикурсво вся­высшейалгебры располагал б6льшим числом часов.При переработке книги были изменены также некоторые детали,сейчас останавливаться.на которых мы не будем, однако,А.

КурошМосква, декабрь1958г.ВВЕДЕНИЕМатематическое образование студента-математика начинается сизучениятрехосновныхдисциплин,аименноматематическогоанализа, аналитической геометрии и высшей алгебры. Эти дисциплиныимеют ряд точек соприкосновения, а местами и перекрытий, и вместесоставляют фундамент, на котором строится все здание современ­ной математической науки.Высшая алгебра, изложению которой посвящена настоящая книга,представляет собой далеко идущее, но вполне естественное обобще­ние основного содержания школьного курса элементарной алгебры.Центральным в школьном курсе алгебры является, бесспорно, вопросо решении уравнений.