1611141232-6a21b934a923387ce2f00d4e2a2a5c04 (Долгунцева Ульянов 2010 Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии)

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÔÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÔèçè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà âûñøåé ìàòåìàòèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòàÈ.À. Äîëãóíöåâà, À.Ï. ÓëüÿíîâÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ ÈËÈÍÅÉÍÎÉ ÀËÃÅÁÐÅ(Ó÷åáíîå ïîñîáèå)Íîâîñèáèðñê2010 íàñòîÿùåì ó÷åáíîì ïîñîáèè ïðèâåäåíû îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, òåîðåìûè ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ àíàëèòè÷åñêèé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû,ñîîòâåòñòâóþùèì ïðîãðàììå êóðñà ¾Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿãåîìåòðèÿ¿ ïî íàïðàâëåíèþ ¾Ôèçèêà¿ Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãîóíèâåðñèòåòà. êàæäîì ðàçäåëå êðàòêî èçëîæåíû îñíîâíûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿè ïðèâåäåíû òèïû ðåøåíèÿ çàäà÷.Öåëü ïîñîáèÿ îáåñïå÷èòü ïîìîùü ïðè ñàìîñòîÿòåëüíîì îñâîåíèèäàííîãî êóðñà, à òàêæå ïðè ïîäãîòîâêå ê ñåìèíàðñêèì çàíÿòèÿì ïî äàííîìó êóðñó ñòóäåíòàì è íà÷èíàþùèì ïðåïîäàâàòåëÿì.ÀâòîðûÈ.

À. Äîëãóíöåâà, ê. ô.-ì. í., À. Ï. ÓëüÿíîâÓ÷åáíîå ïîñîáèå ¾Ïðàêòèêóì ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå¿ïîäãîòîâëåíî â ðàìêàõ ðåàëèçàöèè ¾Ïðîãðàììû ðàçâèòèÿ ÍÈÓ ÍÃÓ íà 20092018 ãîäû¿, à òàêæå ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ñîâåòà ïî Ãðàíòàì ÏðåçèäåíòàÐÔ äëÿ ïîääåðæêè âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë (ïðîåêò ÍØ-3669.2010.1).c È.À. Äîëãóíöåâà,À.Ï. Óëüÿíîâ, 2010c Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûéóíèâåðñèòåò, 2010Ñîäåðæàíèå1.2.3.4.5.Âåêòîðíàÿ àëãåáðà . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðÿìûå è ïëîñêîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé . . . . . . . .Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðèâåäåíèå îáùåãî óðàâíåíèÿ êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .6.Ñèñòåìà êîìïëåêñíûõ ÷èñåë . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.Ìíîãî÷ëåíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .10. Îïðåäåëèòåëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11. Áèëèíåéíûå è êâàäðàòè÷íûå ôîðìû . . . . . . . . . . . . . .12. Ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ è ëèíåéíûå îïåðàòîðû . . . . . . . .13. Ñîáñòâåííûå è êîðíåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . .14. Æîðäàíîâà íîðìàëüíàÿ ôîðìà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà . . . .15.

Ôóíêöèè îò ìàòðèö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16. Ãåîìåòðèÿ åâêëèäîâûõ è ýðìèòîâûõ ïðîñòðàíñòâ . . . . . . .17. Îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì (ýðìèòîâîì) ïðîñòðàíñòâå . . . . .Ñïèñîê ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3471013152332384562778286941021041101221.Âåêòîðíàÿ àëãåáðàÑêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåÎïðåäåëåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîðîâÑêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â äåêàðòîðûõ êîîðäèíàòàõÑêàëÿðíûé êâàäðàòda · b = |a| · |b| · cos(a,b)1) êîììóòàòèâíîñòü (ïåðåìåñòèòåëüíîå)2) àññîöèàòèâíîñòü (ñî÷åòàòåëüíîå) îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãîìíîæèòåëÿ λ3) äèñòðèáóòèâíîñòü (ðàñïðåäåëèòåëüíîå)Óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè äâóõâåêòîðîâa·b=b·a1) óãîë ìåæäó âåêòîðàìè2) (âåêòîðíàÿ) ïðîåêöèÿ âåêòîðà aíà âåêòîð ba·bdcos(a,b) = |a|·|b|a·bbprb a = b·bÎïðåäåëåíèå âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîðîâa × b = c, òàêîé ÷òî:a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3a2 = |a|2 = a21 + a22 + a23Ñâîéñòâà:λ(a · b) = (λa) · a = a · (λb)a · (b + c) = a · b + a · ca · b = 0 ⇐⇒ a⊥bÏðèëîæåíèÿ:Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèåd1) |c| = |a| · |b| sin(a,b),2) c⊥a, c⊥b,3) a, b, c ïðàâàÿ òðîéêà âåêòîðîâ.

i a1 b1 a × b = j a2 b2 k a b Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ3Ñâîéñòâà:1) àíòèêîììóòàòèâíîñòü (àíòèïåðåìåñòèòåëüíîå)2) àññîöèàòèâíîñòü (ñî÷åòàòåëüíîå) îòíîñèòåëüíîãî ñêàëÿðíîãîìíîæèòåëÿ λ3) äèñòðèáóòèâíîñòü (ðàñïðåäåëèòåëüíîå)3a × b = −b × aλ(a × b) = (λa) × a = a × (λb)a × (b + c) = a × b + a × c4(b + c) × a = b × a + c × aa × b = 0 ⇐⇒ a||bÓñëîâèå êîëëèíåàðíîñòè äâóõíåíóëåâûõ âåêòîðîâÒîæäåñòâî Ëàãðàíæà ("ÁÀÖ ìèíóñ ÖÀÁ")a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b)(a × b) × c = b(a · c) − a(b · c)Ïðèëîæåíèå:1) ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è bSab = |a × b|Îïðåäåëåíèå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ òðåõ âåêòîðîâ(a, b, c) = (a × b) · c = a · (b × c)Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèåa1(a, b, c) = a2aÑìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ3Ñâîéñòâà:b1b2b3c1 c3 c3 1) èçìåíåíèå çíàêà ïðè ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñîìíîæèòåëåé2) íå ìåíÿåò çíàê ïðè öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêå ìíîæèòåëåé3) âåêòîðû a, b, c îáðàçóþò:- ïðàâóþ òðîéêó, åñëè- ëåâóþ òðîéêó, åñëèÓñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè òðåõâåêòîðîâ(a, b, c) = −(a, c, b) = −(c, b, a) =−(b, a, c)(a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)Îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a, b, cVa,b,c = |(a, b, c)|(a, b, c) > 0(a, b, c) < 0(a, b, c) = 0 ⇐⇒ a, b, c êîìïëàíàðíûÏðèëîæåíèå:Ïðèìåð 1 Äàíû ðàäèóñ-âåêòîðû r1 −→è r2 òî÷åê A è B .

Íàéòè ðàäèóñâåêòîð r òî÷êè C , äåëÿùåé âåêòîð −ABâ îòíîøåíèè λ.−−→−→I Ïî ïðàâèëó ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ OC ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó OA+−→−→ −−→ACACλAC , ãäå AC||AB . Òàê êàê= λ, òî=. Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðCBABλ+1−→−−→ −−→ −→λ −−→AC =AB . Äàëåå çàìå÷àåì, ÷òî AB = OB − OA.

Òåïåðü, ïîäñòàâëÿÿλ+1−−→âñå çíà÷åíèÿ â âûðàæåíèå OC , ïîëó÷àåì:−−→ −→OC = OA +λ −−→λ −→ 1λOB −OA = r1 +r2 .λ+1λ+1λλ+15JÐèñ. 1Ïðèìåð 2 Äëèíû åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ√ àôôèííîé ñèñòåìû êîîðäèíàòñóòü ñîîòâåòñòâåííî |e1| = 2, |e2| = 3, à óãîë ìåæäó íèìè ω = 5π6 .Îòíîñèòåëüíî ýòîé ñèñòåìû êîîðäèíàò äàíû äâà âåêòîðà a = [1, 2],b = [2, 2]. Íàéòè óãîë ìåæäó ýòèìè âåêòîðàìè.I Ïî ñâîéñòâàì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿa · b = (e1 + 2e2 ) · (2e1 + 2e2 ) = 2e21 + 6e1 e2 + 4e22 .√Òàê êàê äëèíà |e1 | = 2, òî e21 = 4; |e2 | = 3, òî e22 = 3.

Ñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèå áàçèñíûõ âåêòîðîâ íàéäåì ïî îïðåäåëåíèþ:√√ − 3= −3.e1 e2 = |e1 | · |e2 | cos ω = 2 · 3 ·2Ïîäñòàâëÿåì íàéäåííûå çíà÷åíèÿ â a · b:a · b = 2 · 4 − 6 · 3 + 4 · 3 = 2.Ïðèìåð 3 Äàíû äâà âåêòîðà a è b. Íàéòè âåêòîð c, ÿâëÿþùèéñÿ:J(a) îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé âåêòîðà b íà âåêòîð a;(b) îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé âåêòîðà a íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê âåêòîðó b.I (a) Íàéäåì âåêòîðíóþ ïðîåêöèþ b íà a. Îíà ðàâíàc=b·a ab·a·=· a.kak kaka·a(b) Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ a íà ïëîñêîñòü ñíîðìàëüþ b íóæíî íàéòè ïðîåêöèþ a íà âåêòîð íîìàëè b, à çàòåì âû÷åñòüè a íàéäåííóþ îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêèöþ. Ïîëó÷åííûé âåêòîð ÿâëÿåòñÿïðîåêöèåé íà ïëîñêîñòü.a·bc=a−b.b·b6Äðóãîé ñïîñîá ðåøåíèÿ ñîñòîèò â âåêòîðíîì óìíîæåíèè âåêòîðà a äâàæäûbíà åäèíè÷íûé âåêòîð, êîëëèíåàðíûé b, ò.å.

íà e = kbk. Âû÷èñëÿÿ ïåðâûéðàç âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå a × e ïîëó÷èì âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé a èb, ò.å. ëåæàùèé â ïëîñêîñòè, íîðìàëüþ ê êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ b. Óìíîæàÿ ýòîïðîèçâåäåíèå åùå ðàç íà âåêòîð e: (a × e) × e, ïîëó÷èì âåêòîð, ëåæàùèéñ a â îäíîé ïëîñêîñòè è èìåþùèé äëèíó, ðàâíóþ äëèíå ïðîåêöèè a íàïëîñêîñòü.JÏðèìåð 4 Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a = [8, 4, 1], b = [2, −2, 1].I Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà äàííûõ, âåêòîðàõ ðàâíàìîäóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a è b: i 82 a × b = j 4 −2 = 6i − 6j − 24k =⇒ k 11 p√S = ka × bk = 62 + (−6)2 + (−24)2 = 12 6J2.Ïðÿìûå è ïëîñêîñòèÎñíîâíûå ñïîñîáû çàäàíèÿ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé. òàáëèöå íî-ìåðà óðàâíåíèé ñîîòâåòñòâóþò íàçâàíèÿì:1) îáùåå óðàâíåíèå;2) íîðìàëüíîå óðàâíåíèå;3) ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå;4) óðàâíåíèå ïî òî÷êàì.ÏðÿìàÿR2(1) Ax+By+C = 0(2) (r − r0 ) · n = 0ÏëîñêîñòüR3R3Ax + By + Cz + D = 0Ax + By + Cz + D = 0A0 x + B 0 y + C 0 z + D0 = 0(r − r0 ) · n = 0(r − r0 ) · m = 0(3) r = r0 + vtr = r0 + vt(4)x−x0x1 −x0x−x0x1 −x0=y−y0y1 −y0=y−y0y1 −y0=(r − r0 ) · n = 0z−z0z1 −z0r = r0 + vt + ws x − x0 y − y0 z − z0 x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 = 0x − x y − y z − z 2Îáîçíà÷åíèÿ:702020 âåêòîð íîðìàëèn = [A, B]n = [A, B, C],m = [A1 , B1 , C1 ]n = [A, B, C] çàäàííàÿ òî÷êàr0 = [x0 , y0 ]r1 = [x1 , y1 ]r0 = [x0 , y0 , z0 ],r1 = [x1 , y1 , z1 ],r2 = [x2 , y2 , z2 ] ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êàr = [x, y]r = [x, y, z] íàïðàâëÿþùèé âåêòîðvvr0 = [x0 , y0 , z0 ]r1 = [x1 , y1 , z1 ]r = [x, y, z]v, wÏåðåõîä îò îäíîãî ñïîñîáà çàäàíèÿ ê äðóãîìó.×àñòî â çàäà÷àõ òðåáóåòñÿ ïî îäíîìó óðàâíåíèþ ïðÿìîé èëè ïëîñêîñòè íàéòè äðóãîåóðàâíåíèå.

Ñëåäóþùàÿ òàáëèöà èëëþñòðèðóåò ñïîñîáû ïåðåõîäà îò îäíîãîóðàâíåíèÿ ê äðóãîìó.Ïî(1)(2)(3)(4)Ïð.Ïð.Ïë.Ïð.Ïð.Ïë.Ïð.Ïð.Ïë.Ïð.Ïð.(1)R2R3R3R2R3R3R2R3R3R2R3Ïë. R3Èùåì(2)ÎáùååÑïèñàòü n,ïîäîáðàòü r0ÐàñêðûòüñêîáêèÍîðìàëüíîån⊥vÏðîéòè ÷åðåçm, n⊥víîðìàëüíîån=v×wÐàñêðûòü âñå(3)Ðåøèòü óðàâíåíèå, ñèñòåìó óðàâíåíèév⊥nv =n×mv, w⊥nÏàðàìåòðè÷åñêîåv = r1 − r0Ïðîéòè ÷åðåçv = r1 − r0ïàðàìåòðûv = r1 − r0 ,w = r2 − r0(4)Ïðîéòè ÷åðåçïàðàìåòðûÏðîéòè ÷åðåçïàðàìåòðûÏîäñòàâèòüçíà÷åíèåïàðàìåòðîâÏî òî÷êàìÏðèìåð 5 Ñîñòàâèòü îáùåå, íîðìàëüíîå, ïàðàìåòðè÷åñêîå è ïî òî÷-êàì óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (1, 3) è(2, 4).8I Òàê êàê äàíû äâå òî÷êè íà ïðÿìîé, òî ñðàçó çàïèñûâàåì óðàâíåíèåïðÿìîé ïî òî÷êàì:x−1y−3x−1y−3=⇐⇒=.2−14−311Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ëåãêî âûâîäèòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå.

Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî çíàìåíàòåëè äðîáåé ÿâëÿëþòñÿ êîîðäèíàòàìèíàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ïðÿìîé v1 = [1, 1]. Çàïèñûâàåì ïàðàìåòðè÷åñêèåóðàâíåíèÿ:x = 1 + t, y = 3 + t.Äðóãîé ñïîñîá ñîñòîèò â ïðèðàâíèâàíèè êàæäîé äðîáè â óðàâíåíèè ïîòî÷êàì ê ïàðàìåòðó t:x−1y−3x−1y−3== t =⇒=tè= t =⇒ x = 1 + t, y = 3 + t.1111Äëÿ èçâåñòíîãî íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà óãàäûâàåì íîðìàëü ê ïðÿìîé:êàêîé-íèáóäü âåêòîð n⊥v, íàïðèìåð, n = [−1, 1]. Òîãäà íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé èìååò âèä[−1, 1] · [x − 1, y − 3] = 0.Âû÷èñëÿÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ïîëó÷àåì îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîéx − y + 2 = 0.JÏðèìåð 6 Äàí òðåóãîëüíèê ABC : A(−2, 3), B(4, 1) è C(6, −5).

Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ìåäèàíû ýòîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííîé èç âåðøèíû A.I Èñêîìàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A è ñåðåäèíó ñòîðîíû BC . Ñëå-Ðèñ. 1äîâàòåëüíî, îíà ñîäåðæèò äèàãîíàëü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà9−−→ −→−−→ −→âåêòîðàõ AB è AC . Ïîýòîìó ðàññìîòðèì èõ ñóììó v = AB + AC â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé ìåäèàíó.

Íàéäåì åãîêîîðäèíàòû:−−→AB = [4 − (−2), 1 − 3] = [6, −2],−→AC = [4 − 6, 1 − (−5)] = [−2, 6]v = [6 − 2, −2 + 6] = [4, 4]. êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ìîæíî âçÿòü ëþáîé äðóãîé, êîëëèíåàðíûé äàííîìó. Ïóñòü ýòî áóäåò [1, 1]. Ìîæíî ñîñòàâèòü ïàðàìåòðè÷åñêèåóðàâíåíèÿ ïðÿìîé: x = −2 + t, y = 3 + t.J3.Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåéÂñþäó äàëåå ∆r îáîçíà÷àåò ∆r = r2 − r1 .Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõl1 : r = r1 + v1 t1 è r = r2 + v2 t2 .Ðàñïîëîæåíèå:1) Ñêðåùèâàþòñÿ2) Ïåðåñåêàþòñÿ3) Ïàðàëëåëüíû4) ÑîâïàäàþòÓñëîâèå:(v1 , v2 , ∆r) 6= 0(v1 , v2 , ∆r) = 0 è v1 × v2 6= 0v1 × v2 = 0 è v1 × ∆r 6= 0v1 × v2 = 0 è v1 × ∆r = 0Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïëîñêîñòåér − 2) = 0.Ðàñïîëîæåíèå:1) Ïåðåñåêàþòñÿ2) Ïàðàëëåëüíû3) Ñîâïàäàþòα1 : n1 (r − r1 ) = 0 è α2 : n2 (r −Óñëîâèå:n1 × n2 = 0n1 × n2 = 0 è n1 · ∆r 6= 0n1 × n2 = 0 è n1 · ∆r = 0Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîén2 (r − r2 ) = 0.Ðàñïîëîæåíèå:1) Ïåðåñåêàþòñÿ2) Ïàðàëëåëüíû3) Ïðÿìàÿ ëåæèò â ïëîñêîñòèl1 : r = r1 + v1 t èïëîñêîñòèÓñëîâèår1 · n2 6= 0r1 · n2 = 0 è ∆r1 · n2 =6 0r1 · n2 = 0 è ∆r1 · n2 = 010Ðàññòîÿíèÿ.Îòòî÷êè r1Äîòî÷êèr2k∆rkïðÿìîé r =r1 + v1 t â R2ïðÿìîé r =r1 + v1 t â R3ïðÿìîé r =r2 + v2 t â R2ïðÿìîé r =r2 + v2 t â R3kv2 × ∆rkkr2 kkv2 × ∆rkkr2 k0, åñëè v1 k v2kv2 × ∆rkkr2 k*ïëîñêîñòèn2 (r − r2 ) = 0â R3|n2 · r2 |kn2 k*|(v1 × v2 ) · ∆r| |n2 · r2 |kv1 × v2 kkn2 k|n2 · r2 |kn2 kïëîñêîñòèn1 (r−r1 ) =0 â R3Ïîëåçíûå ôîðìóëû.ÍàèìåíîâàíèåÎïðåäåëåíèÿ è ôîðìóëû1) l1 : r = r1 + v1 t è l2 : r = r2 + v2 t2) l1 : n1 (r−r1 ) = 0 è l2 : n2 (r−r2 ) = 0lα:1) l : r = r1 + v1 t è α : m(r − r2 ) = 02) l : n(r − r1 ) = 0 è α : m(r − r2 ) = 0α1 α2= ∠(v1 , v2 ),= ∠(n1 , n2 ).α1 : m1 (r−r1 ) = 0 è α2 : m2 (r−r2 ) = 0= ∠(m1 , m2 ).v2 · ∆rr⊥ = r2 −v2 , ãäå ∆r =v2 · v2r2 − r1n2 · ∆rr⊥ = r1 +n2 , ãäå ∆r =n2 · n2r2 − r1Óãîë ìåæäó ïðÿìûìè l1 è l2, çàäàííûõ óðàâíåíèÿìè:Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ, çàäàííûõ óðàâíåíèÿìèÓãîë ìåæäó ïëîêîñòÿìè è , çàäàííûõ óðàâíåíèÿìèÏðîåêöèÿ òî÷êè r1 íà ïðÿìóþ r=r2 + v2 tÏðîåêöèÿ òî÷êè r1 íà ïëîñêîñòü (r−r2 ) · n2 = 011= π2 − ∠(v1 , m),= ∠(n1 , m).Óðàâíåíèÿ îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðàñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ r = r1 +v1 t1 è r = r2 + v2 t2Îñíîâàíèÿ îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðàñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõr = r1 + v1 t1 è r = r2 + v2 t2((v1 × v2 , v1 , r − r1 ) = 0,(v1 × v2 , v2 , r − r2 ) = 0.(∆r × v2 ) · (v1 × v2 ),(v1 × v2 ) · (v1 × v2 )(v1 × ∆r) · (v1 × v2 )t2 = −(v1 × v2 ) · (v1 × v2 )t1 =Ïðèìåð 7 Îïðåäåëèòå âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ:(à) x = 1 + 2t, y = 2 − 2t, z = −t è x = −2t, y = −5 + 3t, z = 4;(b) x = 9t, y = 5t, z = −3 + t è 2x − 3y − 3z − 9 = 0, x − 2y + z + 3 = 0.I Èññëåäîâàíèå âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ïðÿìûõ ïðîâåäåì ïî ñõåìå.