1611141306-b2dfe4473ec9d5441f959e37a90314bc (Александрова 2008 Семинары по высшей алгебре и аналитической геометрии)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультетН. И. АлександроваСЕМИНАРЫ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИУчебное пособиеНовосибирск2007УДК 512.8ББК 22.143А 46Александрова Н. И. Семинары по высшей алгебре ианалитической геометрии: Учеб.

пособие / Новосиб. гос.ун-т. Новосибирск, 2007. 88 с.Изложены необходимые для решения задач теоретическиесведения по курсу высшей алгебры и аналитическойгеометрии, а также приведены задачи, используемые напрактическихзанятияхнафизическомфакультетеНовосибирского государственного университета в I семестре1-го курса.

На данный курс отводится 32 практическихзанятий, из них одно занятие посвящено контрольной работе.Предназначено для студентов 1-го курса и преподавателейфизического факультета.Печатаетсяпо решениюфизического факультета.методическойкомиссииРецензентст. преп. каф. высшей математики ФФ НГУ А. П. Ульянов© Новосибирский государственныйуниверситет, 2007© Александрова Н.

И., 20072Семинар 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАОпределение. Мнимая единица i = − 1 .Определение. Комплексные числа z = x + iy , где x и y –действительные числа.Определение. Операции сложения и умножения:z1 ± z2 = ( x1 ± x2 ) + i ( y1 ± y2 ) , z1 z2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x2 y1 + x1 y2 ) .z = x − iy ,Определение.Операциясопряжения:z1 ± z2 = z1 ± z2 , z1 z2 = z1 z2 .Определение. Модуль числа: z =2x2 + y2 , z ⋅ z = z .z1 z1 z22 , z2 ≠ 0 .Определение. Операция деления: z =z22Определение. Комплексная плоскость: z = x + iy = ( x, y ) ,x = Re z – вещественная часть z или декартова координатавдоль вещественной оси, y = Im z – мнимая часть z илидекартова координата вдоль комплексной оси, z = x 2 + y 2 –длина вектора или модуль комплексного числа z .Геометрический смысл. Положение точки z на плоскостивполне определяется заданием её полярных координат:расстояния r = z от начала координат до z и угла ϕ междуположительным направлением оси абсцисс и направлением изначала координат на z .

Угол ϕ называется аргументом числаz и обозначается символом arg z = ϕ = arctg ( y x ) . Позаданной точке z её модуль определяется единственнымобразом, а аргумент – с точностью до слагаемого2kπ , k = 0, ± 1, ± 2, ... . Значение arg z , удовлетворяющееусловию − π < arg z ≤ π , называется главным. Комплексныечисла не упорядочены, т. е. отношения больше или меньшебессмысленны. Операция сложения комплексных чиселсоответствует операции сложения векторов. Полярные3координаты r и ϕ определяют декартовы координаты x и yпо формулам x = r cos ϕ , y = r sin ϕ .Теорема.

z1 z2 = z1 z2 , arg( z1 z 2 ) = arg z1 + arg z2 ,z1 z2 = z1 z 2 , arg( z1 / z2 ) = arg z1 − arg z 2 .Определение. Тригонометрическая форма комплексногочисла: z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) , где r = z , ϕ = arg z .ϕe iϕ = cos ϕ + i sin ϕ , гдеФормула Эйлера:–вещественное число.Возведение в степень: z n = (re iϕ ) n = r n e iϕ n .Извлечение корня (формула Муавра):nz = n re iϕ = n re i (ϕ + 2π k ) = n r exp[ i (ϕ + 2π k ) n] , k = 0, 1, ..., n − 1 .Задачи1.Найтимодули и аргументы комплексных чисел:a) 3i ; b) − 2 ; c) 1 + i ; d) − 1 − i ; e) 2 + 5i ; f) 2 − 5i ;g) − 2 + 5i ;h) − 2 − 5i ; i) yi, y ≠ 0 ; j) x + yi, x ≠ 0 .2.Вычислить:211− ia) ; b); c); d) (1 + i 3 )3 .1+ ii1 − 3i3.Найти все значения следующих корней и построить их:a) 3 1 ; b) 3 i ; c) 4 − 1 ; d) 6 − 8 ; e) 8 1 ; f) 1 − i ;g) 3 − 2 + 2i ; h)3 + 4i ; i) 5 − 4 + 3i .4.Вычислить:24(2 − i )(3 + 4i )3− i27 − 54i ; c)a) 3; b)  1 −.(1−i)(4−i)22+ i5.Описать множество комплексных чисел, удовлетворяющих условию:a) z − 2 = Re z + 2 ;4b) z − 1 + z + 1 = 3 ;c) z − 2 + z + 2 = 3 .6.Найти все комплексные числа z , по модулю равные 1,при которых z 2 + (1 + i ) z принимает чисто мнимые значения.Изобразить соответствующее геометрическое место точек наплоскости C.n− 17.Решить уравнение z = z , n ≠ 2, n – натуральное.8.Найти все комплексные числа, сопряженные своемуквадрату.9.Доказать, что оба значенияz 2 − 1 лежат на прямой,проходящей через начало координат и параллельнойбиссектрисе внутреннего угла треугольника с вершинами вточках − 1, 1 и z , проведенной из вершины z .10.Найти вершины правильного n -угольника, если егоцентр находится в точке z = a + ib , а одна из вершин в точкеz1 = a + i (b + R ) .11.Две вершины правильного треугольника находятся вточках z1 = 1, z2 = 2 + i .

Найти третью вершину.12.Доказать, если z1 + z 2 + z3 = 0 и z1 = z 2 = z3 = 1 , то точкиz1 , z2 , z3 являются вершинами правильного треуголь-ника,вписанного в единичную окружность.13.Вычислить суммы:a) sin x − sin 2 x + ... + (− 1) n− 1 sin nx ;b) sin x + sin 2 x + ... + sin nx ;c) cos x + cos 2 x + ...

+ cos nx .Семинар 2. МНОГОЧЛЕНЫf ( x) = a0 x n + a1 x n− 1 + ... + an− 1 x + an–многочлен от переменной x с коэффициентами ai ; a0 ≠ 0 –Определение.5старший коэффициент, an – свободный член, n – степеньмногочлена, обозначается deg f .Определение.

Многочлен f называется нулевым, если всеего коэффициенты равны нулю.Определение.С[x]–кольцомногочленовскоэффициентами в поле комплексных чисел С.Определение.P[x]–кольцомногочленовскоэффициентами в поле рациональных чисел P.Деление с остатком. Всякой паре многочленов f , g ∈ C[ x]сопоставляется одна и только одна пара многочленовq, r ∈ C[ x] такая, что f = qg + r , deg r < deg g .

При этом rназывают остатком, а q – частным. Если r = 0 , то говорят, чтоf делится на g или g делит f . Это обозначают g f .Определение. Наибольшим общим делителем (НОД) двухмногочленов f и g называется многочлен p , обладающийдвумя свойствами:1) p | f и p | g ( f делится на p и g делится на p );2) q | f , q | g ⇒ q | p (из того, что f делится на q , gделится на q следует, что p делится на q ).Определение.

Наименьшим общим кратным (НОК) двухмногочленов f и g называется многочлен p , обладающийдвумя свойствами1) f | p и g | p ( p делится на f и p делится на g );2) f | q, g | q ⇒ p | q (из того, что q делится на f , qделится на g , следует, что q делится на p ).Определение. Многочлены f , g называются взаимнопростыми, если НОД ( f , g ) = const.Определение. Многочлен f ненулевой степени называетсянеприводимым, если он не делится ни на какой многочлен g ,у которого 0 < deg g < deg f .

В частности, всякий многочленпервой степени неприводим.6Определение. Число c называется корнем многочлена fили его нулем, если f (c) = 0 .Теорема Безу. Число c является корнем многочлена fтогда и только тогда, когда x − c делит f .Определение. Число c называется k -кратным корнеммногочлена f , если f делится на ( x − c) k , но не делится на( x − c) k + 1 .Определение. Корень кратности 1 называется простым.Теорема. Число корней многочлена f ∈ C[x] с учетом ихкратностей равно степени f : k1 + k 2 + ... + k r = deg f .Схема Горнера. Деление многочлена f на линейныймногочлен x − c удобно осуществлять по схеме Горнера болеепростой, чем алгоритм деления с остатком.

Пустьf ( x ) = ( x − c ) q ( x ) + f (c ) ,f ( x) = a0 x n + a1 x n− 1 + ... + an− 1 x + an ,n− 1n− 2q ( x) = b0 x + b1 x + ... + bn− 2 x + bn− 1 . Тогда b0 = a0 , … ,bk = bk − 1c + ak , … , bn − 1 = bn − 2c + an − 1 , r = f (c) = bn− 1c + an .Теорема. Если число c является k -кратным корнеммногочлена f , то при k > 1 оно будет (k − 1) -кратным корнемпервой производной этого многочлена. Если же k = 1 , то нет.Теорема.

Если целое число c служит корнем многочленаf (x) с целыми коэффициентами, то c будет делителемсвободного члена этого многочлена.Теорема. Если целочисленный многочлен, старшийкоэффициент которого равен 1, имеет рациональный корень,то этот корень будет целым числом.Алгоритм для получения всех рациональных (дробных ицелых) корней целочисленного многочлена: нужно найти всеn− 1целые корни многочлена g ( y ) = g (a0 x) = a0 f ( x) и разделитьих на a0 .Алгоритм Евклида (способ нахождения НОД):f = q1 g + r1 , deg r1 < deg g ,7g = q2 r1 + r2 , deg r2 < deg r1 ,r1 = q3r2 + r3 , deg r3 < deg r2 ,. ....rk − 2 = qk rk − 1 + rk , deg rk < deg rk − 1 ,rk − 1 = qk + 1rk , rk + 1 = 0 .Последний отличный от нуля остаток rk является как разнаибольшим общим делителем двух многочленов f и g :rk = НОД ( f , g ) .Теорема.

Существуют многочлены u, v такие, чтоНОД ( f , g ) = uf + vg .Определение. Принадлежность двух каких-либо чисел a иb к одному и тому же классу по модулю m характеризуетсятем, что эти два числа дают при делении на m один и тот жеостаток (равноостаточны), так что a = k1m + r1 , b = k 2 m + r2 ,0 ≤ r1 ≤ m , 0 ≤ r2 ≤ m , и r1 = r2 . Записывается это так:a ≡ b (mod m) .

Это носит название «сравнения по модулю m »и читается так: a сравнимо с b по модулю m .Задачиуголком f ( x) = x 5 + 3x 4 + x 3 + 4 x 2 − 3x − 1 наg ( x) = x 2 + x + 1 .2.Пользуясь схемой Горнера, разделитьa) f ( x ) = 2 x 5 − x 4 − 3 x 3 + x − 3 на x − 3 ;b) f ( x ) = x 4 − 8 x 3 + 3 x 2 + 4 x − 9 на x + 1 ;c) f ( x ) = x 4 − 2 x 3 + 3 на x + 1 .3.Найти кратность корня x = 2 многочленаf ( x) = x 5 − 5 x 4 + 7 x 3 − 2 x 2 + 4 x − 8 .1.Разделить84.Спомощью алгоритма Евклида найти наибольший общийделитель d (x) функций f ( x ), g ( x) .

Найти многочленыu ( x), v( x) такие, что f ( x)u ( x) + g ( x )v( x) = d ( x) .3232a) f ( x) = x − x + 3x − 10 , g ( x) = x + 6 x − 9 x − 14 ;43232b) f ( x) = x + 3 x − x − 4 x − 3 , g ( x) = 3 x + 10 x + 2 x − 3 ;4332c) f ( x) = x − 4 x + 1 , g ( x) = x − 3x + 1 ;543243d) f ( x) = x + 3x + x + x + 3 x + 1 , g ( x) = x + 2 x + x + 2 .f (x) наименьшей5.Найти вещественный многочлен2степени такой, что f (x ) делится на ( x + 1) , а f ( x) − 1 делитсяна ( x 3 + 1) .6.Остатки от деления многочлена f (x ) на одночлены( x − 1) , ( x − 2) , ( x − 4) равны, соответственно, 2,1,5 . Найтиостаток от деления f (x ) на произведение ( x − 1)( x − 2)( x − 4) .7.Найти целые корни многочлена:a) f ( x ) = 3 x 4 + x 3 − 5 x 2 − 2 x + 2 ;b) f ( x ) = x 3 − 2 x 2 − x − 6 ;c) f ( x) = x 4 − 4 x 3 − 7 x 2 + 22 x + 24 ;d) f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 .8.Найти рациональные корни многочлена:a) f ( x ) = 3 x 4 + 5 x 3 + x 2 + 5 x − 2 ;b) f ( x) = 6 x 4 + 19 x 3 − 7 x 2 − 26 x + 12 .Семинар 3.