1611141305-7f1143a6985669faf6b24b542f487874 (Ульянов 2009 Конспект лекций по алгебре и геометрии), страница 9

. + yri Xr ,è, ñîáðàâ êîýôôèöèåíòû ïðè X1 , . . . , Xr , ïîëó÷èì ñèñòåìó èç r îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèéyk1 α1 + . . . + yks αs = 0,k = 1, . . . , r,ñ s íåèçâåñòíûìè αi . Åñëè s > r, îíà âñåãäà èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå,÷òî ïðîòèâîðå÷èò ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè {Y1 , . . . , Ys }.(2) Âûáðîñèì èç ñïèñêà Y1 , . . . , Ys , X1 , . . .

, Xr îäèí çà äðóãèì âñåâåêòîðû, ëèíåéíî âûðàæàþùèåñÿ ÷åðåç ïðåäûäóùèå. Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñïèñêà ïðè ýòîì íåèçìåííà è ðàâíà L, à ìíîæåñòâî îñòàâøèõñÿâåêòîðîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìî è ñîäåðæèò Y .Êàæäîå ïîäïðîñòðàíñòâî S ⊆ Rn èìååò êîíå÷íûé áàçèñ.Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì íàðàùèâàòü ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ìíîæåñòâîÒåîðåìà.âåêòîðîâ, èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå (4) ïåðâîé ëåììû. Íà÷àâ ñ ïóñòîãî, äàëåå äîáàâëÿåì ê èìåþùåìóñÿ ñïèñêó {X1 , .

. . , Xk } ëþáîé âåêòîðXk+1 èç S rhX1 , . . . , Xk i, ïîêà òàêîâûå åñòü. Ïî âòîðîé ëåììå ñ L = Rnìû ñìîæåì òàê íàáðàòü íå áîëåå n âåêòîðîâ. Çíà÷èò, ïðè íåêîòîðîìr 6 n ðîñò îñòàíîâèòñÿ è ìû ïîëó÷èì èñêîìîå S = hX1 , . . . , Xr i.Âñå áàçèñû S ñîñòîÿò èç îäèíàêîâîãî ÷èñëà âåêòîðîâ.Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè â îäíîì áàçèñå s âåêòîðîâ, à â äðóãîì r, òî ïîÑëåäñòâèå.âòîðîé ëåììå s 6 r 6 s, ãäå èëè ïåðâûé áàçèñ åñòü Y , èëè âòîðîé. Îïðåäåëåíèå. ×èñëî âåêòîðîâ â áàçèñå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà L ⊆ Rníàçûâàþò åãî ðàçìåðíîñòüþ è îáîçíà÷àþò dim L. Êðîìå òîãî, ÷èñëî âåêòîðîâ â áàçèñå ëèíåéíîé îáîëî÷êè ìíîæåñòâà X íàçûâàþò ðàíãîì X .Äëÿ ëþáîãî ïðîñòðàíñòâà L ⊆ Rn:(1) åñëè S ⊆ L åñòü ïîäïðîñòðàíñòâî, òî dim S 6 dim L;(2) åñëè ïðè òîì dim S = dim L, òî S = L.Ñëåäñòâèå.56Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÄîêàçàòåëüñòâî.

(1) Áàçèñ S ìîæíî äîïîëíèòü äî áàçèñà L.(2) Áàçèñ S óæå ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì L.5.4.Îïðåäåëåíèå.Ðàíã ìàòðèöû è êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòèÐàíãîì ïî ñòðîêàì/ñòîëáöàì ìàòðèöû A íàçûâàþò ðàíãìíîæåñòâà å¼ ñòðîê/ñòîëáöîâ. Ýòè ÷èñëà âðåìåííî îáîçíà÷èì ÷åðåçrk ã A è rk â A. Ïðîñòðàíñòâîì ñòðîê/ñòîëáöîâ ìàòðèöû A íàçûâàþò ëèíåéíóþ îáîëî÷êó ìíîæåñòâà å¼ ñòðîê/ñòîëáöîâ.Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðîê ìàòðèöû íå ìåíÿþòïðîñòðàíñòâî ñòðîê; àíàëîãè÷íî äëÿ ñòîëáöîâ.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü (R1) è (R2). ÏðåîáðàçîâàíèÿËåììà.îáîèõ òèïîâ âûäàþò ëèíåéíûå êîìáèíàöèè, ò.

å. íîâûå ñòðîêè ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè èñõîäíîãî ïðîñòðàíñòâà; ïîýòîìó ïðîñòðàíñòâî ñòðîêíå óâåëè÷èâàåòñÿ. Ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàòèìû, ïîýòîìó ïðîñòðàíñòâîñòðîê íå óìåíüøàåòñÿ.Ó âñÿêîé ìàòðèöû ñòóïåí÷àòîãî âèäà:(1) âñå íåíóëåâûå ñòðîêè ëèíåéíî íåçàâèñèìû;(2) âñå ñòîëáöû ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè ãëàâíûõ;(3) ðàíãè ïî ñòðîêàì è ïî ñòîëáöàì ðàâíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Óïðàæíåíèå.Ëåììà. Åñëè ìàòðèöû A è Z ñâÿçàíû êîíå÷íîé öåïî÷êîé ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê, òî èõ ðàíãè ïî ñòîëáöàì ðàâíû.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ñ÷èòàåì, ÷òî ïåðâûå r = rk A ñòîëáöîâ ìàòðèöû AËåììà.âñîñòàâëÿþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà å¼ ñòîëáöîâ: èíà÷å ìîæíî ïðèáåãíóòüê ïåðåíóìåðàöèè ñòîëáöîâ. Êàæäûé ñòîëáåö A(k) çàïèøåòñÿ êàêîé-òîëèíåéíîé êîìáèíàöèåéA(k) = αk1 A(1) + . . . + αkr A(r) .Ëþáîå ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñòðîê ñîõðàíÿåò ýòî ñîîòíîøåíèåìåæäó ñòîëáöàìè, ïîýòîìó âûïîëíåíî ðàâåíñòâîZ (k) = αk1 Z (1) + .

. . + αkr Z (r) .Çíà÷èò, rk â A > rk â Z . Ïîñêîëüêó ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàòèìû, àíàëîãè÷íî âûâîäèòñÿ îáðàòíîå íåðàâåíñòâî.Ðàíãè ëþáîé ìàòðèöû ïî ñòðîêàì è ïî ñòîëáöàì ðàâíû.Îïðåäåëåíèå. Âîò ýòî ÷èñëî è íàçûâàåòñÿ ðàíãîì ìàòðèöû.Òåîðåìà.Ãëàâà 5. Íà÷àëà ëèíåéíîé àëãåáðûâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.57Äîêàçàòåëüñòâî.Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìîóãîëüíóþ ìàòðèöó A,å¼ ñòóïåí÷àòûé âèä A0 è ïðîâåðèì öåïî÷êó ðàâåíñòârk ã A = rk ã A0 = rk â A0 = rk â A.Èõ ïîî÷åð¼äíî îáåñïå÷èâàþò òðè ïðèâåä¼ííûõ ëåììû.Òåïåðü ìîæíî çàíîâî ïîñìîòðåòü íà âîïðîñ ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìûëèíåéíûõ óðàâíåíèé.Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèéñîâìåñòíà ⇐⇒ ðàâíû ðàíãè å¼ îñíîâíîé è ðàñøèðåííîé ìàòðèö.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîâìåñòíîñòü ëèíåéíîé ñèñòåìû AX = B ýêâèâà-Òåîðåìà (êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè).ëåíòíà òîìó, ÷òî B åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ñêàêèìè-òî íåèçâåñòíûìè è ðàçûñêèâàåìûìè êîýôôèöèåíòàìè xi :x1 A(1) + .

. . + xn A(n) = B.Ïî ïåðâîé ëåììå î ëèíåéíîé (íå)çàâèñèìîñòè, ýòî ðàâíîñèëüíî ñîâïàäåíèþ ëèíåéíûõ îáîëî÷åê h{ñòîëáöû A}i è h{ñòîëáöû A} ∪ {B}i, àòîãäà è ðàíãè èõ ðàâíû. Îáðàòíî, åñëè ðàíãè ðàâíû, òî ñîâïàäàþò èñàìè îáîëî÷êè, òàê êàê âòîðàÿ âêëþ÷àåò ïåðâóþ.5.5.Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèéÎäíîðîäíîé íàçûâàþò ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ó êîòîðîé ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ íóëåâîé: AX = 0. Åñëè èçâåñòíî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé {X1 , .

. . , Xk } îäíîðîäíîé ñèñòåìû, òî âñÿêàÿ ëèíåéíàÿêîìáèíàöèÿ èõ òàêæå áóäåò ðåøåíèåì. Âîîáùå, ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé åñòü ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî; îíî íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ðåøåíèéýòîé îäíîðîäíîé ñèñòåìû.Ïðèìåð. Âîçüì¼ì ñèñòåìó è ïðèâåä¼ì å¼ ê ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöå:−x1 + x3 − 3x4 + 2x5 = 0,2x1 − x3 + 5x4 − x5 = 0,x1 − 2x3 + 4x4 − 5x5 = 0;1 000000 21 −10 013000 .0Âñå ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû ìîæíî âûïèñàòü, áåðÿ x2 , x4 è x5 â êà÷åñòâåïàðàìåòðîâ.

Áàçèñ íàõîäèì, ïîî÷åð¼äíî ïîäñòàâëÿÿ åäèíèöó â êàæäûéïàðàìåòð è îäíîâðåìåííî çàíóëÿÿ îñòàëüíûå:X1 = [0, 1, 0, 0, 0]> ,X2 = [−2, 0, 1, 1, 0]> ,X3 = [−1, 0, −3, 0, 1]>58Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèñîñòàâëÿþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé, òàêæå íàçûâàåìûé ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé.

Ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé çàäà¼òñÿ â âèäå{α1 X1 + α2 X2 + α3 X3 | α1 , α2 , α3 ∈ R};ýòà çàïèñü äà¼ò âñå ðåøåíèÿ èñõîäíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû è ïîòîìó íàçûâàåòñÿ îáùèì ðåøåíèåì ñèñòåìû. Ðàçëè÷íûõ åãî çàïèñåé òàêîãî âèäàáåñêîíå÷íî ìíîãî, êàê è âûáîðîâ ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèé.Ìíîæåñòâî M âñåõ ðåøåíèé ïðîèçâîëüíîé íåîäíîðîäíîé ëèíåéíîéñèñòåìû AX = B íå åñòü ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Îäíàêî ýòî ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà ñòîëáöîâ ñâÿçàíî ñ ïðîñòðàíñòâîì L ðåøåíèéñîïóòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû AX = 0.

 ñàìîì äåëå,AX = B ∧ A Y = 0=⇒ A(X + Y ) = B;AX = B ∧ AX = B =⇒ A(X − X 0 ) = 0.0Ïîýòîìó ìîæíî íàïèñàòü M = X + L, ïîíèìàÿ ïîä ýòèìÎïðåäåëåíèå.M = {X + Y | Y ∈ L}.Ëèíåéíûì (ïîä)ìíîãîîáðàçèåì â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâåíàçûâàåòñÿ åãî ïîäìíîæåñòâî âèäà M = v + L äëÿ êàêèõ-òî ôèêñèðîâàííûõ ïîäïðîñòðàíñòâà L è âåêòîðà v.Ïðèìåð. Ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà è ìíîãîîáðàçèÿ â îáû÷íîì R3:dim L0123LÍóëåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî {0}Ïðÿìàÿ, ñîäåðæàùàÿ 0Ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùàÿ 0Ñàìî ïðîñòðàíñòâî R3MÒî÷êàÏðÿìàÿÏëîñêîñòüÏðèìåð.Âîçüì¼ì ñèñòåìó è ïðèâåä¼ì å¼ ê ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöå:−x1 + x3 − 3x4 + 2x5 = 1,2x1 − x3 + 5x4 − x5 = 3,x1 − 2x3 + 4x4 − 5x5 = −6;1 000000 21 −10 013045 .0Ìíîãîîáðàçèå å¼ ðåøåíèé ìîæíî çàäàòü â âèäå{X0 + α1 X1 + α2 X2 + α3 X3 | α1 , α2 , α3 ∈ R},ãäå X0 åñòü íåêîòîðîå ÷àñòíîå ðåøåíèå, ñêàæåì, X0 = [4, 0, 5, 0, 0]> , à{X1 , X2 , X3 } ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå ñîïóòñòâóþùåé îäíîðîäíîéñèñòåìû, ðàññìîòðåííîé âûøå. ×àñòíîå ðåøåíèå ïðîùå âñåãî âûïèñàòü, ïîëîæèâ âñå ïàðàìåòðû ðàâíûìè íóëþ.Ãëàâà 6.

Îïðåäåëèòåëèâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.59Ãëàâà 6. ÎÏÐÅÄÅËÈÒÅËÈ6.1.Êîìáèíàòîðíîå ñòðîåíèå îïðåäåëèòåëåéÎïðåäåëèòåëè ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà ôîðìàëüíî ââîäÿò íåñêîëüêèìè î÷åíü ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Îòìåòèì îñíîâíûå:(1) ãåîìåòðè÷åñêè ìîòèâèðîâàííûé;(2) èíäóêòèâíûé;(3) àêñèîìàòè÷åñêèé;(4) êîìáèíàòîðíûé.Ïðè ãåîìåòðè÷åñêîì ïîäõîäå îïðåäåëèòåëåì n × n ìàòðèöû íàçûâàþò îðèåíòèðîâàííûé îáú¼ì ïàðàëëåëåïèïåäà â Rn , îáðàçîâàííîãî å¼ñòðîêàìè; ìû óæå âèäåëè ýòî â ðàçìåðíîñòÿõ 2 è 3. Ïðè èíäóêòèâíîìïîäõîäå îïðåäåëèòåëü ïîðÿäêà n ââîäèòñÿ ÷åðåç ôîðìóëó ðàñêðûòèÿïî ñòðîêå èëè ñòîëáöó, àíàëîãè÷íî äàííîé â ãë. 1. Ïðè àêñèîìàòè÷åñêîì ïîäõîäå îïðåäåëèòåëü âîçíèêàåò êàê åäèíñòâåííàÿ ôóíêöèÿ íàíàáîðå ñòðîê ìàòðèöû, èìåþùàÿ òðè çàäàííûõ ñâîéñòâà.Ìû âûáåðåì êîìáèíàòîðíûé ïîäõîä ðàäè êîðîòêîãî è ñòðîãîãî îïðåäåëåíèÿ, çàòåì ïîëó÷èì èíäóêòèâíîå ñâîéñòâî, êîñîñèììåòðè÷íîñòü èïîëèëèíåéíîñòü, à òàêæå íåñêîëüêî ïðîñòûõ ñâîéñòâ, ÿâëÿþùèõñÿ èõñëåäñòâèÿìè.

Ìíîãîìåðíîé ãåîìåòðèè â ýòîì êóðñå ïî÷òè íå áóäåò.Îïðåäåëåíèå. Áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω â ñåáÿíàçûâàþò ïåðåñòàíîâêîé Ω. Îáû÷íî áåðóò Ω = {1, 2, . . . , n}; ìíîæåñòâîåãî ïåðåñòàíîâîê îáîçíà÷àþò ÷åðåç Sn (èëè Σn ).Ïðèìåð. Ñòàíäàðòíûé êîìïàêòíûéñïîñîá çàïèñè ïåðåñòàíîâêè:„«σ=1 2 3 4 55 3 1 2 4,σ ∈ S5 ,óêàçûâàåò, ÷òî σ(1) = 5, σ(2) = 3, σ(3) = 1, σ(4) = 2 è σ(5) = 4. Áóäåòïîëåçíî òàêæå èçîáðàæàòü ïåðåñòàíîâêó êàðòèíêîé:1 2 3 4 51x2x3 x45Èíâåðñèè:(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),(2, 3), (2, 4).xÎïðåäåëåíèå.x×¼òíîñòü: ÷¼òíàÿ,inv(σ) = 6.Èíâåðñèåé ïåðåñòàíîâêè σ ∈ Sn íàçûâàþò òàêóþ ïàðó(i, j), ÷òî i < j è σ(i) > σ(j). Íà êàðòèíêå ýòî áóäåò êàæäàÿ ïàðàêðåñòèêîâ, ïðÿìàÿ ÷åðåç êîòîðóþ íàêëîíåíà âïðàâî.60Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèè×¼òíîñòüþ ïåðåñòàíîâêè σ íàçûâàþò ÷¼òíîñòü êîëè÷åñòâà inv(σ) âñåõå¼ èíâåðñèé, à çíàêîì, ÷èñëî sgn(σ) = (−1)inv(σ) . äîêàçàòåëüñòâàõ íàì áóäåò óäîáíî ãîâîðèòü òàêæå î ÷¼òíîñòè êàðòèíêè, èìåÿ â âèäó ÷¼òíîñòü èçîáðàæàåìîé åþ ïåðåñòàíîâêè.Ïåðåñòàíîâêè äàþò âîçìîæíîñòü åäèíîîáðàçíî çàïèñàòü ôîðìóëûïîëíîãî ðàñêðûòèÿ îïðåäåëèòåëåé âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ, óêàçàííûå åù¼ â íà÷àëå êóðñà.

Ðåçóëüòàò íåìåäëåííî îáîáùàåòñÿ íà ïðîèçâîëüíûé ïîðÿäîê (Leibniz, 1683).Îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëèòåëåì n × n ìàòðèöû A = [aij ] íàçûâàþò ñóììó(])det A Xsgn(σ)a1,σ(1) a2,σ(2) . . . an,σ(n) .σ∈Sn ïðàâîé ÷àñòè ýòîé ôîðìóëû ñòîèò àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà n! îäíîòèïíûõ ìîíîìîâ. Íàïðèìåð, íàðèñîâàííàÿ âûøå ïåðåñòàíîâêà σ ∈ S5âíîñèò ìîíîì a15 a23 a31 a42 a54 , ïðè÷¼ì ñ ïëþñîì, èáî îíà ÷¼òíà:2„σ=1 2 3 4 55 3 1 2 4a116 a2166 a3164 a41a51«a12a22a32a42a52a13a23a33a43a53a14a24a34a44a543a15a25 77a35 77.a45 5a55×èñëî èíâåðñèé êàðòèíêè ëþáîé ïåðåñòàíîâêè:íåèçìåííî ïðè îòðàæåíèè îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé äèàãîíàëè;ìåíÿåò ÷¼òíîñòü ïðè îáìåíå äâóõ ñòðîê èëè äâóõ ñòîëáöîâ;ñîäåðæàùèõ êðåñòèê â ñòðîêå i è ñòîëáöå j , èìååò òàêóþ æå÷¼òíîñòü êàê ÷èñëî i + j .Äîêàçàòåëüñòâî.