1611141305-7f1143a6985669faf6b24b542f487874 (Ульянов 2009 Конспект лекций по алгебре и геометрии), страница 8

0 1 ∗ ∗ ... 0 ∗ ∗ ... ∗ 0 ∗. . . 0 0 0 0 . . . 1 ∗ ∗ . . . ∗ 0 ∗  ..................................... .. . . 0 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1 ∗ ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0Êàê è â ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå, ðåøåíèÿ ñèñòåìû ñòóïåí÷àòîãî âèäà âûïèñûâàþò íåïîñðåäñòâåííî ïî å¼ ðàñøèðåííîé ìàòðèöå.Ïðè ýòîì ìíîæåñòâà ðåøåíèé ó ëþáîé ïàðû ðàçëè÷íûõ ñèñòåì ñòóïåí÷àòîãî âèäà îáÿçàòåëüíî ïîëó÷àþòñÿ ðàçëè÷íû.Âñÿêàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ýêâèâàëåíòíà (åäèíñòâåííîé) ñèñòåìå ñòóïåí÷àòîãî âèäà.Àëãîðèòì.

Äîêàçàòåëüñòâîì ñóùåñòâîâàíèÿ ñëóæèò êîíêðåòíûé ìå-Òåîðåìà.òîä ïðèâåäåíèÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû ê ñòóïåí÷àòîé. Ðåçóëüòàòîìïðîìåæóòî÷íîãî ýòàïà ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöàãîòîâûé2áëîê6666664íóëåâîéáëîê1000001000∗∗000∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗3ïàññèâíûé7777775áëîêàêòèâíûéáëîêáëî÷íîãî âèäà. ż ëåâûé âåðõíèé áëîê åñòü ñòóïåí÷àòàÿ ìàòðèöà áåçíóëåâûõ ñòðîê, à ïðàâûå áëîêè ïðåäñòîèò âû÷èùàòü. àêòèâíîì áëîêå èùåòñÿ ïåðâûé íåíóëåâîé ýëåìåíò:21 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗66 0 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗66 0 0 0 0 ↓ ∗ ∗ ∗664 0 0 0 ↓ • ∗ ∗ ∗0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗37777.775Åñëè äî åãî îáíàðóæåíèÿ â àêòèâíîì áëîêå íàéäåíû íóëåâûå ñòîëáöû,òî ãðàíèöà áëîêîâ (ìûñëåííî) ïåðåäâèãàåòñÿ âïðàâî îò íèõ. Ïðè òîì,åñëè âåñü àêòèâíûé áëîê îêàçûâàåòñÿ íóëåâûì, òî ñòóïåí÷àòûé âèäÃëàâà 5.

Íà÷àëà ëèíåéíîé àëãåáðûâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.ïîëó÷åí. Èíà÷å, ïåðâûé íåíóëåâîé ýëåìåíò ñòàíîâèòñÿ21 0 ∗66 0 1 ∗66 0 0 0664 0 0 00 0 0∗∗000∗∗0•∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗51âåäóùèì:37777.775Ïåðåñòàíîâêàìè ñòðîê âåäóùèé ýëåìåíò ïîìåùàåì â âåðõíèé ëåâûéóãîë àêòèâíîãî áëîêà; äåëåíèåì âåäóùåé ñòðîêè íà âåäóùèé ýëåìåíòïðåâðàùàåì åãî â áóäóùóþ ãëàâíóþ åäèíèöó:266666641000001000∗∗000∗∗000∗∗10∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗37777.775Âû÷èòàíèåì âåäóùåé ñòðîêè, ïîìíîæåííîé íà ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû âåäóùåãî ñòîëáöà, èç îñòàëüíûõ ñòðîê, çàíóëÿåì âñå ýëåìåíòûýòîãî ñòîëáöà, êðîìå îñòàþùåéñÿ ãëàâíîé åäèíèöû:266666641000001000∗∗000∗∗000∗∗100∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗37777.775Ïîñëåäíþþ îïåðàöèþ ïðîâîäèì òàêæå è ñ âåðõíèìè ñòðîêàìè:266666641000001000∗∗000∗ 0 ∗ ∗∗ 0 ∗ ∗0 1 ∗ ∗0 0 ∗ ∗0 0 ∗ ∗∗∗∗∗∗37777.775Ñäâèãàÿ ãðàíèöó áëîêîâ âïðàâî îò âåäóùåãî ñòîëáöà, ïîëó÷àåì ìàòðèöó, ïðèãîäíóþ äëÿ ñëåäóþùåé èòåðàöèè ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ.Óäèâèòåëüíî, ÷òî ýòîò ìåòîä çíàëè â Êèòàå åù¼ âî II â.

äî í. ý.,õîòÿ åâðîïåéñêàÿ òðàäèöèÿ ïðèïèñûâàåò åãî Ãàóññó (íà÷àëî XIX â.).Çàìå÷àíèå.  íåêîòîðûõ ó÷åáíèêàõ ïðîïóñêàþò ïîñëåäíèé îïèñàííûéøàã, à ñòóïåí÷àòûé âèä ñîîòâåòñòâåííî îïðåäåëÿþò, íå òðåáóÿ çàíóëåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû íàä ãëàâíûìè åäèíèöàìè. Ýòî äîïóñòèìî52Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèäëÿ ïðîñòûõ çàäà÷, ïîñêîëüêó îáðàòíóþ ïîäñòàíîâêó, äàþùóþ ðåøåíèå ñèñòåìû ïî ñòóïåí÷àòîìó âèäó å¼ ðàñøèðåííîé ìàòðèöû, ëåãêîâûïîëíèòü è â òàêîì îñëàáëåííîì âàðèàíòå.Ïðåèìóùåñòâî âçÿòîãî çäåñü ñèëüíîãî âàðèàíòà â òîì, ÷òî îí ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü åäèíñòâåííîñòü ñòóïåí÷àòîãî âèäà ëþáîé ìàòðèöû.Ñëåäñòâèå.

(1) ×èñëî ïàðàìåòðîâ, îïèñûâàþùèõ ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñîâìåñòíîé ñèñòåìû, ðàâíî ÷èñëó íåãëàâíûõ ñòîëáöîâ.(2) Ñèñòåìà îïðåäåëåíà ⇐⇒ âñå ñòîëáöû ãëàâíûå.(3) Ñèñòåìà ñîâìåñòíà ⇐⇒ êàæäîé íóëåâîé ñòðîêå ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîé ñâîáîäíûé ÷ëåí.Íàëè÷èå íóëåâûõ ñòðîê â ðàñøèðåííîé ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöå ñèãíàëèçèðóåò, ÷òî èñõîäíàÿ ñèñòåìà èçáûòî÷íà: ëèøíèå óðàâíåíèÿ ìîæíî îòáðîñèòü, íå èçìåíèâ ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Êàêèå èìåííî óðàâíåíèÿ èçëèøíè, ñêàçàòü íåëåãêî, íîñóùåñòâåííûõ óðàâíåíèé âèäíî: îíî ðàâíî êîëè÷åñòâó ãëàâíûõ åäèíèö.êîëè÷åñòâîÐàáî÷åå îïðåäåëåíèå.Ðàíãîì ìàòðèöû A íàçîâ¼ì êîëè÷åñòâî íåíóëåâûõ ñòðîê â ñòóïåí÷àòîì âèäå, ê êîòîðîìó A ïðèâîäèòñÿ.Ðàáî÷èì ýòî îïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ñðàçó â äâóõ ñìûñëàõ:(1) âñêîðå åãî çàìåíÿò ¾íàñòîÿùèå¿ îïðåäåëåíèÿ ðàíãà, êîèõ áóäåòöåëûõ òðè;(2) äàæå ïîñëå ãðÿäóùåé çàìåíû, ïðàêòè÷åñêè íàéòè ðàíã ìàòðèöûîáû÷íî áûñòðåå âñåãî èìåííî ïðèâåäåíèåì å¼ ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó.Ëèíåéíàÿ ñèñòåìà ñîâìåñòíàðàíãè îñíîâíîé è ðàñøèðåííîé ìàòðèö ðàâíû.Ñëåäñòâèå.

Ñîâìåñòíàÿ ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ⇐⇒÷èñëî íåèçâåñòíûõ ðàâíî ðàíãó ñèñòåìû.Ñëåäñòâèå (êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè).⇐⇒5.3.Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà ñòðîê è ñòîëáöîâÐàáîòàÿ ñ âåêòîðàìè â ôèêñèðîâàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ìû îïåðèðóåì íàä ñòîëáöàìè èõ êîîðäèíàò; ýòè ñòîëáöû ìû ìîæåì ñêëàäûâàòü è óìíîæàòü íà ñêàëÿðû.

Ðåøàÿ ëèíåéíûå ñèñòåìû ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè, ìû îïåðèðóåì íàä ñòðîêàìè ðàñøèðåííîé ìàòðèöû; ýòè ñòðîêè ìû ìîæåì ñêëàäûâàòü è óìíîæàòü íà ÷èñëà (òîæåíàçûâàåìûå ñêàëÿðàìè). Äàëüíåéøåå èçó÷åíèå ìàòåìàòèêè è ôèçèêèïîñòîÿííî áóäåò ñòàëêèâàòü ñòóäåíòà ñ îáúåêòàìè ñàìîé ðàçíîé ïðèðîäû, êîòîðûå ìîæíî ñêëàäûâàòü è óìíîæàòü íà ñêàëÿðû. Êàê ïðàâèëî,Ãëàâà 5. Íà÷àëà ëèíåéíîé àëãåáðûâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.53ïðè ýòîì âûïîëíåíû 8 ïðèâû÷íûõ ñâîéñòâ ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, ïåðå÷èñëåííûõ â ñàìîì ïåðâîì ðàçäåëå ëåêöèé.Ìíîæåñòâî L ñ äâóìÿ òàêèìè îïåðàöèÿìè íàçûâàþò ëèíåéíûì èëèâåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì.

Ýëåìåíòû ëþáîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâàíàçûâàþò âåêòîðàìè. Ýòî äîâîëüíî ïëîõî, èáî âûçûâàåò êîíôëèêò ñôèçè÷åñêèì ïîíèìàíèåì âåêòîðà êàê íàïðàâëåííîãî îòðåçêà, íî òàêîåóïîòðåáëåíèå â ìàòåìàòèêå ïðèæèëîñü, à ëó÷øåãî ñëîâà ïîêà íåò.Ïîçíàêîìèìñÿ ñ îñíîâîïîëàãàþùèìè ïîíÿòèÿìè ëèíåéíîé àëãåáðûíà ïðèìåðå ïðîñòðàíñòâà âåùåñòâåííûõ ñòðîê äëèíû n è ïðîñòðàíñòâàâåùåñòâåííûõ ñòîëáöîâ âûñîòû n. Îáîçíà÷èì îáà ÷åðåç Rn , ïîòîìó ÷òî÷àñòî íåò ðàçíèöû, î ñòðîêàõ ðå÷ü èëè î ñòîëáöàõ.Çàôèêñèðóåì ìíîæåñòâî âåêòîðîâ X = {X1 , X2 , . . . , Xk } ⊂ Rn . Èõëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ñ êîýôôèöèåíòàìè α1 , α2 , . .

. , αk ∈ R íàçûâàþòX = α1 X1 + α2 X2 + . . . + αk Xk .Ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ, â êîòîðîé íå âñå êîýôôèöèåíòû ðàâíû íóëþ,íàçûâàþò íåòðèâèàëüíîé.Ïîíÿòèÿ ëèíåéíîé (íå)çàâèñèìîñòè ìíîæåñòâà âåêòîðîâ ëèíåéíîãîïðîñòðàíñòâà ââîäÿò â òî÷íîñòè òàê æå, êàê è ðàíåå äëÿ òð¼õìåðíîãîïðîñòðàíñòâà. Ìíîæåñòâî {X1 , . .

. , Xk } ëèíåéíî çàâèñèìî, åñëè íàéäóòñÿ òàêèå êîýôôèöèåíòû α1 , . . . , αk , íå âñå ðàâíûå íóëþ, ÷òî ëèíåéíàÿêîìáèíàöèÿ α1 X1 + . . . + αk Xk ðàâíà íóëåâîìó âåêòîðó. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ìíîæåñòâ èç îäíîãî, äâóõ, èëè òð¼õ âåêòîðîâ ýòî: (1) ðàâåíñòâî íóëþ; (2) êîëëèíåàðíîñòü; (3) êîìïëàíàðíîñòü. ïðîòèâíîì ñëó÷àå íóëåâîé âåêòîð íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü íåòðèâèàëüíîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ èç äàííîãî ìíîæåñòâà, êîòîðîå òîãäà íàçûâàþò ëèíåéíî íåçàâèñèìûì. ×àñòî èñïîëüçóåòñÿ ðàâíîñèëüíàÿ ïåðåôîðìóëèðîâêà, ãîâîðÿùàÿ, ÷òî íóëåâàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìîãî ìíîæåñòâà {X1 , . . . , Xk } îáÿçàòåëüíî òðèâèàëüíà:α1 X1 + .

. . + αk Xk = 0 =⇒ α1 = 0 ∧ . . . ∧ αk = 0.Ïðèìåð.  ïðîñòðàíñòâå R4 âîçüì¼ì ñòðîêèZ1 = [1, −1, 0, 0],Z2 = [0, 1, −1, 0],Z3 = [0, 0, 1, −1],Z4 = [−1, 0, 0, 1].Òîãäà {Z1 , Z2 , Z3 } ëèíåéíî íåçàâèñèìî, à {Z1 , Z2 , Z3 , Z4 } ëèíåéíî çàâèñèìî: Z1 + Z2 + Z3 + Z4 = 0.Ìíîæåñòâî hX i âñåâîçìîæíûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ èç Xíàçûâàþò ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ìíîæåñòâà X . ÏîñêîëüêóX, Y ∈ hX i =⇒ αX + βY ∈ hX i,54Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèêàæäàÿ ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñàìà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì:â íåé ìîæíî âûïîëíÿòü âñå äåéñòâèÿ ñ âåêòîðàìè, íå âûõîäÿ â îáúåìëþùåå ïðîñòðàíñòâî Rn . Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî hX i ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì â Rn .Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà âåêòîðîâ X = {X1, X2, .

. . , Xk } ïðîèçâîëüíîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà:(1) åñëè Y ⊂ X è Y ëèíåéíî çàâèñèìî, òî X ëèíåéíî çàâèñèìî;(2) åñëè Y ⊂ X è X ëèíåéíî íåçàâèñèìî, òî Y ëèíåéíî íåçàâèñèìî;(3) õîòÿ áû îäèí èç Xi ∈ X åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ îñòàëüíûõ⇐⇒ ìíîæåñòâî X ëèíåéíî çàâèñèìî;(4) åñëè X ëèíåéíî íåçàâèñèìî, òî âåêòîð Z ∈ hX i ⇐⇒ ìíîæåñòâî X ∪ {Z} ëèíåéíî çàâèñèìî.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ýòî ïðîñòîå, íî âàæíîå óïðàæíåíèå íà ëîãèêó.Ëåììà.(1) Çàâèñèìîñòü íå ìîæåò èñ÷åçíóòü ïðè óâåëè÷åíèè ìíîæåñòâà.(2) Çàâèñèìîñòü íå ìîæåò ïîÿâèòüñÿ ïðè óìåíüøåíèè ìíîæåñòâà.(3) Âû÷èòàÿ âåêòîð èç åãî âûðàæåíèÿ ÷åðåç îñòàëüíûå, ïîëó÷èìíóëåâóþ íåòðèâèàëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ. Íàîáîðîò, èìåÿ îíóþ,ìîæíî âûðàçèòü õîòÿ áû îäèí èç âõîäÿùèõ âåêòîðîâ.(4) Âûâîä ñëåâà íàïðàâî âåðåí äëÿ ëþáîãî X . Íàîáîðîò, ââèäó ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè X , íóëåâàÿ íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ èç X ∪ {Z} íåâîçìîæíà áåç ó÷àñòèÿ Z ñ íåíóëåâûì êîýôôèöèåíòîì, à òîãäà Z âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåêòîðû èç X .Îïðåäåëåíèå.ëèíåéíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà L ⊆ Rn íàçûâàåòñÿ òàêîå (óïîðÿäî÷åííîå) ìíîæåñòâî âåêòîðîâ X = {X1 , X2 , .

. . , Xk },÷òî:(1) ìíîæåñòâî X ëèíåéíî íåçàâèñèìî è(2) ïðîñòðàíñòâî L ñîâïàäàåò ñ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé hX i.Èíà÷å ãîâîðÿ, êàæäûé âåêòîð X ∈ L çàïèñûâàåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèèÁàçèñîìX = α1 X1 + . . . + αk Xk .Ïðè ýòîì ÷èñëà α1 , . . . , αk íàçûâàþòÏðèìåð. Ñòàíäàðòíûì áàçèñîì RnêîîðäèíàòàìèX â áàçèñå X .íàçûâàþò {E(1) , . . .

, E(n) }, ãäåE(i) = [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0] (åäèíèöà íàïèñàíà â ïîçèöèè i).Ïðèìåð.Ëþáûå òðè ðàçëè÷íûõ âåêòîðà èç Z = {Z1 , Z2 , Z3 , Z4 }, ðàññìîòðåííîãî âûøå, îáðàçóþò áàçèñ hZi. Áàçèñîâ hZi ìíîãî: ïðèãîäåíëþáîé íàáîð èç òð¼õ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ èç hZi.Ãëàâà 5. Íà÷àëà ëèíåéíîé àëãåáðûâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.55Åñëè {X1, . . . , Xr } åñòü áàçèñ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà L èìíîæåñòâî Y = {Y1, . .

. , Ys} ⊂ L ëèíåéíî íåçàâèñèìî, òî:(1) s 6 r;(2) ìîæíî äîïîëíèòü Y äî áàçèñà L.Äîêàçàòåëüñòâî. (1) Ñîñòàâèì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþËåììà.α1 Y1 + . . . + αs Ys = 0ñ íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè αi . Ðàñïèøåì â íåé âñå Yi ïî áàçèñó,Yi = y1i X1 + . .