1611141305-7f1143a6985669faf6b24b542f487874 (Ульянов 2009 Конспект лекций по алгебре и геометрии), страница 6

Òîãäà âòîðûì ñäâèãîì ìîæíîèçáàâèòüñÿ îò ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî.Äëÿ êàæäîãî ìíîãî÷ëåíà a(t0) åñòü òàêîé ñäâèã t0 = t + s,÷òî â a(t) êîýôôèöèåíò, ñëåäóþùèé çà ñòàðøèì, ðàâåí íóëþ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàíîâêîé íàéä¼ì óñëîâèå íà ñäâèã:Ëåììà.a(t + s) = an (t + s)n + an−1 (t + s)n−1 + (ìëàäøèå ïî t + s)= an tn + (nan s + an−1 )tn−1 + (ìëàäøèå ïî t).Ñëåäîâàòåëüíî, s = −an−1 /nan .Íà ïðàêòèêå ìîæíî ñîêðàòèòü âû÷èñëåíèÿ, äåëàÿ ñäâèã âïåð¼ä ïîâîðîòà è ïðèáåãàÿ ê äîïîëíèòåëüíûì òàáëèöàì ñ ðàçëè÷íûìè ñëó÷àÿìè. Îáîñíîâàíèå ýòîãî ìåòîäà ñóùåñòâåííî äëèííåå.Ïîëó÷åííûå â òåîðåìå êëàññû óðàâíåíèé ìîãóò ðàñïàäàòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò çíàêîâ êîýôôèöèåíòîâ íà íåñêîëüêî òèïîâ, óêàçàííûõ âñëåäóþùåé òàáëèöå. Óìíîæåíèå óðàâíåíèÿ íà íåíóëåâóþ êîíñòàíòó íåìåíÿåò ôèãóðû, ïîýòîìó ó áîëüøèíñòâà òèïîâ åñòü äâà âàðèàíòà êîìáèíàöèè çíàêîâ êîýôôèöèåíòîâ, îäèí èç êîòîðûõ âêëþ÷¼í â òàáëèöó.Êëàññ è òèï ëèíèè2+Ìíèìûé ýëëèïñÃèïåðáîëàÝëëèïñ1+Ïàðàëëåëüíûå ìíèìûå ïðÿìûåÏàðàëëåëüíûå ïðÿìûåÇíàêèλ1 λ2p+−−+−++−00+++++2−Ïàðàáîëà+−00++2Ìíèìûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèåñÿ++0−++000â âåùåñòâåííîé òî÷êåÏåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå1Äâîéíàÿ ïðÿìàÿÃëàâà 3.

Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà3.4.âåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.37Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé çàêëþ÷åíèå âûâåäåì óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà, ïðèìåíèâ ê å¼ óðàâíåíèþ â ôîðìå X >A X = 0 îáùèé ðåöåïòðåøåíèÿ òàêîé çàäà÷è (ëèíåàðèçàöèþ) äëÿ ëèíèè C .• Âîçüì¼ì äâå áëèçêèå òî÷êè P = (x0 , y0 ) è Q = (x0 + δu, y0 + δv)íà ëèíèè òàê ÷òî u = x − x0 è v = y − y0 , à δ ìàëî;• ïîäñòàâèì êîîðäèíàòû Q â óðàâíåíèå;• âûäåëèì òðè ãðóïïû ñëàãàåìûõ ñìîòðÿ ïî ñòåïåíè âõîæäåíèÿ δ ;• ãðóïïà ñëàãàåìûõ, íå ñîäåðæàùèõ δ , ðàâíà íóëþ, èáî P ∈ C ;• ãðóïïó ñëàãàåìûõ, ñîäåðæàùèõ âûñîêèå ñòåïåíè δ , îòáðîñèì;• îñòàâøàÿñÿ ãðóïïà ïîñëå äåëåíèÿ íà δ è äà¼ò èñêîìîå óðàâíåíèå:0 = (X0 + δU )>A (X0 + δU )= X0>A X0 + δ U >A X0 + X0> A U + δ 2 U >A U≈ δ (X − X0 )>A X0 + X0>A (X − X0 )= δ X >A X0 + X0>A X − 2δ X0>A X0= 2δ X0>A X .Îñòàâøèåñÿ ñëàãàåìûå ñîâïàäàþò ââèäó ñèììåòðè÷íîñòè ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ, A = A> .

Èòàê, óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ëèíèè âòîðîãîïîðÿäêà X >A X = 0 â òî÷êå X0 åñòü X0>A X = 0. Êðàñèâî!Ê ýòîìó æå ðåçóëüòàòó ïðèâîäèò ðàññìîòðåíèå x è y êàê ôóíêöèéîò t è äèôôåðåíöèðîâàíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ ïî t, êîòîðûì ïîëüçóþòñÿ ÷àùå. Âîò ïîïóëÿðíûå îòâåòû â êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:ÔèãóðàÊàíîíè÷åñêîåóðàâíåíèåÓðàâíåíèåêàñàòåëüíîéÝëëèïñx2y2+=1a2b2x0 xy0 y+ 2 =1a2bÏàðàáîëày 2 − 2px = 0y0 y − p(x + x0 ) = 0Ãèïåðáîëàx2y2−=1a2b2x0 xy0 y− 2 =1a2b38Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÃëàâà 4. ÊÎÌÏËÅÊÑÍÛÅ ×ÈÑËÀ4.1.Êîìïëåêñíûå ÷èñëà è äâèæåíèÿ ïëîñêîñòèÎ÷åíü ýôôåêòèâíûé ñïîñîá îïèñàíèÿ äâèæåíèé ïëîñêîñòè ïîÿâëÿåòñÿ ñ ââåäåíèåì íà ðàäèóñ-âåêòîðàõ å¼ òî÷åê îñîáîé îïåðàöèè óìíîæåíèÿ. Âìåñòå ñ èõ ñëîæåíèåì êàê âåêòîðîâ îáðàçóåòñÿ çàìå÷àòåëüíàÿñòðóêòóðà êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, âî ìíîãîì ïîõîæèõ íà äåéñòâèòåëüíûå,à êîå â ÷¼ì äàæå áîëåå óäîáíûõ.Îáîçíà÷èì íà÷àëî êîîðäèíàò ÷åðåç 0, à êîíöû îðò ÷åðåç 1 è i.Òåïåðü òî÷êå (a, b) ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóåò êîìïëåêñíîå ÷èñëî a + ib;{òî÷êè ïðÿìîé} ↔ R,{òî÷êè ïëîñêîñòè} ↔ C,à ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå âûïîëíÿþòñÿ ïî ôîðìóëå(a1 + ib1 ) ± (a2 + ib2 ) = (a1 ± a2 ) + i(b1 ± b2 ).Îïðåäåëèì íà íèõ óìíîæåíèå à ïîçæå è äåëåíèå òàê, ÷òîáû:• âûïîëíÿëèñü ïðèâû÷íûå ÷èñëîâûå çàêîíû àññîöèàòèâíîñòè, êîììóòàòèâíîñòè, äèñòðèáóòèâíîñòè (â øêîëå èõ íàçûâàþò ¾ñî÷åòàòåëüíûé¿, ¾ïåðåìåñòèòåëüíûé¿, ¾ðàñïðåäåëèòåëüíûé¿), íóëÿ è åäèíèöû;• ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè 0 è 1, ïðåäñòàâëÿëà R ⊂ C.Ââèäó òðåáîâàíèÿ äèñòðèáóòèâíîñòè äîñòàòî÷íî íàó÷èòüñÿ ïåðåìíîæàòü îðòû, à ñâîéñòâà åäèíèöû1·1=1 è 1·i=i·1=iîñòàâëÿþò íåÿñíûì ëèøü çíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ i2 = i · i.

Ñòîÿùóþçàäà÷ó ðåøàåò âûáîði2 = −1.Ëþáîïûòíûå ìîãóò ñàìîñòîÿòåëüíî èññëåäîâàòü, ê ÷åìó âåäóò äðóãèåâàðèàíòû îíè ëåæàò ÷óòü â ñòîðîíå îò íàøåãî ñåãîäíÿøíåãî ïðåäìåòà. Èòàê, ïîëó÷àåì ïðàâèëî óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:(a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a2 b1 + a1 b2 ).Ôàêòè÷åñêè, ïðè óìíîæåíèè íóæíî ïðîñòî ðàñêðûâàòü ñêîáêè, à çàòåìçàìåíÿòü i2 íà −1. ïîèñêàõ ôîðìóëû äëÿ äåëåíèÿ, ðàññìîòðèì ñíà÷àëàa − iba−b1== 2+i 2.2a + ib(a + ib)(a − ib)a +ba + b2Ãëàâà 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.39Ïîýòîìó, äåëåíèå âîçìîæíî íà ëþáîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî a + ib 6= 0 èâûïîëíÿåòñÿ ïî ôîðìóëåa2 b1 − a1 b2a1 + ib1a1 a2 + b1 b2+i,=22a2 + ib2a2 + b2a22 + b22÷òî âåñüìà íåóäîáíî äëÿ çàïîìèíàíèÿ.

Ïðîùå ïîìíèòü ïðè¼ì, ïðèìåí¼ííûé â ïðåäûäóùåì ðàâåíñòâå äëÿ èçáàâëåíèÿ îò i â çíàìåíàòåëå èíàçûâàåìûé äîìíîæåíèåì íà ñîïðÿæ¼ííîå.b = Im zz = ρeiϕz = a + ibϕ = arg(z)ρ = |z|a = Re zÏîëÿðíûå êîîðäèíàòû, ñâÿçàííûå ñ ïðÿìîóãîëüíûìè ôîðìóëàìèx = ρ cos ϕ,y = ρ sin ϕ,äàþò äðóãóþ óäîáíóþ ôîðìó çàïèñè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:• ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà ↔ àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà z = a + ib;• ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà ↔ ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ôîðìà z = ρeiϕ ,ãäå eiϕ èç ôîðìóëû Ýéëåðà (Cotes, 1714; Euler, 1748)eiϕ = cos ϕ + i sin ϕïîêà ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîñòî óäà÷íûì îáîçíà÷åíèåì.

ßâíàÿ çàïèñü ñêîñèíóñîì è ñèíóñîì, íàçûâàåìàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìîé, î÷åâèäíîáîëåå ãðîìîçäêà, â îñîáåííîñòè êîãäà âìåñòî ϕ ïîäñòàâëÿåòñÿ î÷åíüáîëüøîå âûðàæåíèå (÷òî òèïè÷íî â ôèçèêå). Ïîýòîìó ðåêîìåíäóåòñÿïðèâûêàòü èìåííî ê ýêñïîíåíöèàëüíîé ôîðìå. a = Re z äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ b = Im z ìíèìîé ÷àñòüþêîìïëåêñíîãîÏðè ýòîì÷èñëà z .ìîäóëåìíàçûâàþò  ρ = |z|ϕ = arg z àðãóìåíòîì×àñòî âñòðå÷àåòñÿ îïåðàöèÿz = a + ib = ρeêîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ:iϕ7→ z̄ = a − ib = ρe−iϕ .40Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÃåîìåòðè÷åñêè ýòî îòðàæåíèå îòíîñèòåëüíî âåùåñòâåííîé îñè.

Ëåãêîïðîâåðèòü, ÷òî ñîïðÿæåíèå óâàæàåò àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè:z1 ± z2 = z 1 ± z 2 ,z1 z2 = z 1 z 2 ,z1 /z2 = z 1 /z 2 .Êðîìå òîãî,2z + z̄ = 2a = 2Re z ∈ R è z · z̄ = a2 + b2 = |z| ∈ R>0 .Îòñþäà ñëåäóåòìóëüòèïëèêàòèâíîñòüìîäóëÿ:|z1 z2 | = |z1 | · |z2 | . îòëè÷èå îò R, â C íåò ïîðÿäêà: çàïèñü z1 < z2 íå èìååò ïîëåçíîãîñìûñëà äëÿ z1 , z2 ∈ C. Ñðàâíèâàòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà ìîæíî òîëüêîïî ìîäóëþ, ïðè÷¼ì âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà|z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 | .z2z1Îöåíèì, íàñêîëüêî óäà÷íî îáîçíà÷åíèå eiϕ , âû÷èñëÿÿ:eiϕ eiψ = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ)= (cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i(sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ)= cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)= ei(ϕ+ψ) .Ïîýòîìó ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë óäîáíàäëÿ óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ:ρ1 eiϕ1 · ρ2 eiϕ2 = ρ1 ρ2 ei(ϕ1 +ϕ2 ) ;ρ1 eiϕ1 /ρ2 eiϕ2 = (ρ1 /ρ2 )ei(ϕ1 −ϕ2 ) .Îòñþäà ïðÿìî ñëåäóåò ïðàâèëî âîçâåäåíèÿ â öåëóþ ñòåïåíü:(ρeiϕ )n = ρn einϕ äëÿ n ∈ Z.Ôîðìóëîé Ìóàâðà (de Moivre) íàçûâàþò áîëåå äëèííûé âàðèàíòn[ρ(cos ϕ + i sin ϕ)] = ρn (cos nϕ + i sin nϕ).Óìíîæåíèå íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî w = eiϕ ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè íà óãîë ϕ = arg w âîêðóã íóëÿ.Òåîðåìà.Ãëàâà 4.

Êîìïëåêñíûå ÷èñëàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.41Ïåðâîå äîêàçàòåëüñòâî. Óìíîæèì z = x + iy íà w = cos ϕ + i sin ϕ:zw = (x cos ϕ − y sin ϕ) + i(x sin ϕ + y cos ϕ).Òåïåðü ñðàâíèì ñ ôîðìóëîé ïîâîðîòà ïëîñêîñòè. Ïðîòèâîïîëîæíîñòüçíàêîâ ïðè ñèíóñàõ îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî çäåñü ìû âåðòèì ñàìèïëîñêîñòè, à â òîé ôîðìóëå ïîâîðîòà ñèñòåìó êîîðäèíàò.òî÷êèÂòîðîå äîêàçàòåëüñòâî. Åñòåñòâåííî, ïîëÿðíûåêîîðäèíàòû óäîáíûiϕäëÿ çàïèñè ïîâîðîòîâ. Ïðåîáðàçîâàíèå z 7→ ze ñîõðàíÿåò íà÷àëî êîîðäèíàò (÷èñëî 0) è âñå äëèíû: zeiϕ = |z| · eiϕ = |z| . Íóæíî òàêæåóáåäèòüñÿ, ÷òî îíî ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ.Ïðåîáðàçîâàíèå ïëîñêîñòè C ÔîðìóëàRÑäâèã (ïåðåíîñ)Ðàñòÿæåíèå èëè ñæàòèåÏîâîðîòÎòðàæåíèå ìíèìîé îñèzzzz7→ z + w, ãäå w ∈ C7→ z a, ãäå a ∈ R>07→ z eiϕ , ãäå ϕ ∈ R7→ z̄RRR R√Íàéä¼ì òåïåðü âñå çíà÷åíèÿ âûðàæåíèÿ n z äëÿ ïîëîæèòåëüíîãîöåëîãî n.

Èç ïðàâèëà âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü îäíî ðåøåíèå î÷åâèäíî:p√nρeiϕ = n ρ eiϕ/n .Õèòðîñòü, îòêðûâàþùàÿ âñå ðåøåíèÿ, â òîì, ÷òî àðãóìåíò ϕ îïðåäåë¼ííå îäíîçíà÷íî, à ëèøü ñ òî÷íîñòüþpäî 2πi, ïîñêîëüêó eiϕ = ei(ϕ+2πk)äëÿ âñåõ öåëûõ k . Ñëåäîâàòåëüíî, n ρeiϕ åñòü √ i(ϕ+2πk)/nnρe| k = 0, 1, . . . , n − 1 .ìíîæåñòâîÊàæäîå íåíóëåâîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî èìååò ðîâíî n ðàçëè÷íûõ êîðíåé ñòåïåíè n. Ýòî âàæíîå ÿâëåíèå, ïîäîáíîãî êîòîðîìó â R íåò.

Íàêîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè êîðíè ñòåïåíè n èç äàííîãî íåíóëåâîãî z ∈ Cðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ñ öåíòðîì â íóëå.Èíòåðåñíûå âåùè âûÿâëÿþòñÿ ïðè äîòîøíîì ðàññìîòðåíèè êîðíåéèç åäèíèöû (¾óíèïîòåíòîâ¿). Ïðîèçâåäåíèå óíèïîòåíòîâ ñòåïåíè n42Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèè√5i+1åñòü òàêîé æå óíèïîòåíò, è äàæå ïðîèçâåäåíèå óíèïîòåíòîâ íåðàâíûõöåëûõ ñòåïåíåé îïÿòü óíèïîòåíò.4.2.Êîìïëåêñíàÿ ýêñïîíåíòàÂåðí¼ìñÿ ê ôîðìóëå eiϕ eiψ = ei(ϕ+ψ) . Ôóíêöèÿ E(x), îáëàäàþùàÿñâîécòâîì E(x1 +x2 ) = E(x1 )E(x2 ), îáÿçàòåëüíî èìååò âèä E(x) = eαx .d(eαx ) = αeαx .Ïðè ýòîì êîíñòàíòó α ìîæíî îïðåäåëèòü èç ïðàâèëà dxÏðèìåíèì ýòî ê ôóíêöèè E(x) = cos x + i sin x:ddx (cos x+ i sin x) = (− sin x + i cos x) = i(cos x + i sin x).Çíà÷èò, â ýòîì ñëó÷àå E(x) ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèåé eix ,÷òî è îïðàâäûâàåò èñïîëüçîâàíèå òàêîãî îáîçíà÷åíèÿ ñðàçó, ñ ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà. ( ëåêöèÿõ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó Â.

Â. Èâàíîâóêàçûâàåò íà ñâÿçü ôóíêöèè eix ñ ðàâíîìåðíûì âðàùåíèåì êàê åñòåñòâåííóþ è ôóíäàìåíòàëüíóþ ïðè÷èíó å¼ ïîëåçíîñòè.)Ê òàêîìó æå âûâîäó ïðèâîäÿò ðàçëîæåíèÿ Òåéëîðà:(ix)2(ix)3(ix)4(ix)5++++ ...2!3!4!5!x3x4x5x2−i ++ i + ...= 1 + ix −2!3!4!5!= cos x + i sin x.eix = 1 + (ix) +Ïîäñòàâëÿÿ â ýêñïîíåíòó çíà÷åíèå àðãóìåíòà π , âûâîäèì çíàìåíèòîåòîæäåñòâî Ýéëåðà:eiπ + 1 = 0.Îòìåòèì â êà÷åñòâå íåîáÿçàòåëüíîãî äîïîëíåíèÿ, ÷òî òåïåðü ëåãêî îïðåäåëèòü ôóíêöèþ ez êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z , îáëàäàþùóþñâîéñòâîìez1 +z2 = ez1 · ez2äëÿ âñåõ zi ∈ C. Äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü äëÿ âñåõ a, b ∈ Rexp(a + ib) = ea+ib ea eib ea (cos b + i sin b).Ãëàâà 4.