1611141305-7f1143a6985669faf6b24b542f487874 (Ульянов 2009 Конспект лекций по алгебре и геометрии), страница 5

(1) Âûáåðåì íà ýëëèïñå òî÷êó Pè ïðîâåä¼ì â íåéêàñàòåëüíóþ. Âñÿêàÿ òî÷êà K 6= P êàñàòåëüíîé ëåæèò ñíàðóæè ýëëèïñà, à ïîòîìó íà ñîôîêóñíîì ýëëèïñå ñ áîëüøåé áîëüøîé ïîëóîñüþ,òàê ÷òîd(K, F1 ) + d(K, F2 ) > d(P, F1 ) + d(P, F2 ).30Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÒåïåðü çàáóäåì ïðî ýëëèïñ, îñòàâèâ òîëüêî åãî ôîêóñû è êàñàòåëüíóþ.Èç ïîëó÷åííîãî íåðàâåíñòâà ãåîìåòðè÷åñêè âûâîäèòñÿ (óïðàæíåíèå),÷òî ñðåäè òî÷åê ýòîé ïðÿìîé èìåííî â òî÷êå P ðåàëèçóåòñÿ îïòè÷åñêèéçàêîí ¾óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ¿.(3) Ñëåäñòâèå îðòîãîíàëüíîñòè è îïòè÷åñêîãî ñâîéñòâà ýëëèïñà.(2) Âìåñòå ñ ïàðàáîëîé ðàññìîòðèì ýëëèïñû è ãèïåðáîëû (b) ñ òåìèæå ôîêóñîì è äèðåêòðèñîé.

Âûïóñòèì ëó÷ èç ôîêóñà. Åñëè åù¼ äîïàðàáîëû îí îòðàçèòñÿ îò êàêîãî-òî ýëëèïñà, åìó ñóæäåíî ïåðåñå÷ü îñüâî âòîðîì ôîêóñå. Åñëè ëó÷ ïðîéä¼ò ñêâîçü ïðîçðà÷íóþ ïàðàáîëó, íîîòðàçèòñÿ îò êàêîé-òî ãèïåðáîëû, òî îí ïðîäîëæèò óäàëÿòüñÿ îò îñè.×òî îñòà¼òñÿ äåëàòü ëó÷ó, åñëè îí îòðàçèòñÿ èìåííî îò ïàðàáîëû? 3.2.Ñìåíà êîîðäèíàò è ìàòðè÷íûé ÿçûêÍåîáõîäèìî çíàòü ïðàâèëà ïåðåñ÷¼òà êîîðäèíàò òî÷åê è âåêòîðîâèç îäíîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû â äðóãóþ.

Äâå òàêèõ ñèñòåìû K è K0ìîãóò îòëè÷àòüñÿ ðàñïîëîæåíèåì íà÷àëà, åäèíèöåé äëèíû, íàïðàâëåíèÿìè îñåé è îðèåíòàöèåé ïàðàëëåëîãðàììà íà îðòàõ. Ïðîùå âñåãîñâÿçàòü ñèñòåìû, îòëè÷àþùèåñÿ ëèøü â îäíîì èç ýòèõ àñïåêòîâ.Âûïèøåì ïðàâèëà ïåðåñ÷¼òà (x, y) 7→ (x0 , y 0 ) êîîðäèíàò êàæäîé òî÷êè â òàêèõ ñëó÷àÿõ. Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ïðè ñäâèãå íåèçìåííû, à ïðèîñòàëüíûõ ïåðåõîäàõ âåäóò ñåáÿ èäåíòè÷íî êîîðäèíàòàì òî÷åê.Ãëàâà 3. Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêàÏåðåõîä Kâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.31Îòëè÷èå K0 îò KK0Ñäâèã (ïåðåíîñ)Ðàñïîëîæåíèå íà÷àëàÐàñòÿæåíèå èëè ñæàòèåÅäèíèöà äëèíûÏîâîðîòÍàïðàâëåíèÿ îñåéÎòðàæåíèåÎðèåíòàöèÿ• Ïðè ñäâèãå, åñëè íà÷àëî ñèñòåìû K èìååò êîîðäèíàòû (u, v) âñèñòåìå K0 :x0 = x + u,y 0 = y + v;• ïðè ðàñòÿæåíèè èëè ñæàòèè:x0 = cx,y 0 = cy;• ïðè ïîâîðîòå îñåé íà óãîë α ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè:x0 =x cos α + y sin α,y = − x sin α + y cos α;0• ïðè îòðàæåíèè, ìåíÿþùåì îñè ìåñòàìè:x0 = y,y 0 = x. ïîñëåäíèõ òð¼õ ñëó÷àÿõ ¾ñòàðàÿ¿ ñèñòåìà K è ¾íîâàÿ¿ ñèñòåìà K0èìåþò îáùåå íà÷àëî, à òðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðàâèëà ìîæíî îáúåäèíèòü â îäíî:x0 = ax + by,y 0 = cx + dy,ñ ïîäõîäÿùèìè çíà÷åíèÿìè êîýôôèöèåíòîâ.e02e02e2e1e01e2e2e01e10e2e1e1e01e1 e02e20ñäâèãðàñòÿæåíèåïîâîðîòîòðàæåíèå32Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÏîñêîëüêó ñèñòåìû K0 è K ñîâåðøåííî ðàâíîïðàâíû, òàêóþ æå ôîðìó äîëæíî èìåòü âûðàæåíèå ñòàðûõ êîîðäèíàò ÷åðåç íîâûå:(♠)x = a0 x0 + b0 y 0 ,y = c0 x0 + d0 y 0 .Äàëåå ìû áóäåì èçó÷àòü ôîðìóëû ïåðåõîäà èìåííî â ýòîé ôîðìå.Ïóñòü òåïåðü èìååòñÿ òðè ñèñòåìû êîîðäèíàò K, K0 è K00 ñ îáùèìíà÷àëîì.

Öåïî÷êà èç äâóõ ïåðåõîäîâ KK0K00 äà¼ò òîò æå ðåçóëüòàò, ÷òî è íåïîñðåäñòâåííûé ïåðåõîä KK00 . Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèÿ (♠) äëÿ ïåðåõîäà KK0 àíàëîãè÷íûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðåõîäàK0K00 , ìû ïîëó÷àåì ñâÿçü êîýôôèöèåíòîâ íåïîñðåäñòâåííîãî ïåðåõîäà ñ êîýôôèöèåíòàìè äâóõ øàãîâ ýêâèâàëåíòíîé åìó öåïî÷êè:(♣)x = (a0 a00 + b0 c00 )x00 + (a0 b00 + b0 d00 )y 00 ,y = (c0 a00 + d0 c00 )x00 + (c0 b00 + d0 d00 )y 00 .Òóïî çàïîìèíàòü ïîäîáíûå ôîðìóëû îïàñíî, íî ê ñ÷àñòüþ, íå íóæíî,ïîòîìó ÷òî äëÿ íèõ åñòü áîëåå óäîáíûé ÿçûê.Ëþáîé ïðÿìîóãîëüíûé ìàññèâ ÷èñåë íàçûâàþò ìàòðèöåé. Ïåðâûåõàðàêòåðèñòèêè ìàòðèöû êîëè÷åñòâî å¼ ñòðîê è êîëè÷åñòâî å¼ ñòîëáöîâ. Âûïèñûâàÿ âñþ ìàòðèöó èëè óïîìèíàÿ å¼ îòäåëüíûå ýëåìåíòû,íîìåðà ñòðîê è ñòîëáöîâ óêàçûâàþò äâîéíûìè èíäåêñàìè, íàïðèìåð:a11 a12 a13A=.a21 a22 a23Äâå ìàòðèöû ñîâïàäàþùèõ ðàçìåðîâ ñêëàäûâàþò, ïðîñòî ñêëàäûâàÿ ýëåìåíòû â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîçèöèÿõ: a11 a12b11 b12a11 + b11 a12 + b12+=a21 a22b21 b22a21 + b21 a22 + b22Ìàòðèöû íåñîâïàäàþùèõ ðàçìåðîâ áåç êðàéíåé íóæäû íå ñêëàäûâàþò.

Âû÷èòàíèå ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî ñëîæåíèþ.Áîëåå õèòðî óñòðîåíî óìíîæåíèå ìàòðèö. Âåñü ñìûñë õèòðîñòè âòîì, ÷òî ôîðìóëû (♠) è (♣) ïåðåïèñûâàþòñÿ â âèäå 0 0 0xa bx= 0 0 · 0 ,yc dy 0 0 00 00 00 xa ba bx= 0 0 · 00 00 · 00 .yc dc dyÇäåñü êîîðäèíàòû òî÷åê çàïèñàíû ñòîëáöàìè, à èíôîðìàöèÿ î ïåðåõîäàõ, ñîõðàíÿþùèõ íà÷àëî êîîðäèíàò, ñîáðàíà â êâàäðàòíûå ìàòðèöûÃëàâà 3. Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.33ïåðåõîäà,êîòîðûå îò ñàìèõ òî÷åê íå çàâèñÿò.

Ýòî ïîçâîëÿåò èçó÷àòüòàêèå ïåðåõîäû öåëüíî, àáñòðàãèðóÿñü îò êîíêðåòíûõ òî÷åê. Êîìïîçèöèÿ òàêèõ ïåðåõîäîâ ñîîòâåòñòâóåò ïðîèçâåäåíèþ èõ ìàòðèö.Âûïèøåì ïðàâèëî ïåðåìíîæåíèÿ â èíäåêñíûõ îáîçíà÷åíèÿõ: a11 a12b11 b12a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22·=.a21 a22b21 b22a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22Èíñïåêòèðóÿ ýòî ïðàâèëî, ñëåäóåò çàêëþ÷èòü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ìàòðè÷íîå ïðîèçâåäåíèå AB îïðåäåëåíî, òîëüêî êîãäà êîëè÷åñòâî ñòîëáöîâ A ðàâíî êîëè÷åñòâó ñòðîê B . Òîãäà AB èìååò ñòîëüêî æå ñòðîê,ñêîëüêî A, è ñòîëüêî æå ñòîëáöîâ, ñêîëüêî B . Èòàê,(ìàòðèöà m × s) · (ìàòðèöà s × n) = (ìàòðèöà m × n),à ýëåìåíò ìàòðèöû AB , ñòîÿùèé â ñòðîêå i è ñòîëáöå j , âû÷èñëÿåòñÿïî ôîðìóëåX(AB)ij =aik bkj .16k6sÅñëè ïðîèçâåäåíèå AB îïðåäåëåíî, òî âîâñå íå îáÿçàòåëüíî ïðîèçâåäåíèå BA òàêæå äîëæíî áûòü îïðåäåëåíî.

Äëÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèöñèòóàöèÿ ïðîùå; òåì íå ìåíåå, ñðàçó íóæíî çàïîìíèòü, ÷òî è äëÿ íèõîáû÷íî AB 6= BA.Ïðèìåð.Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî îïåðàöèè ïîâîðîòà è îòðàæåíèÿ ïðÿìîóãîëüíûõ ñèñòåì êîîðäèíàò íå ïåðåñòàíîâî÷íû. Ïðè ïîâîðîòå íàóãîë ϕ âîêðóã íóëÿ è ïðè îòðàæåíèè îòíîñèòåëüíî îñè Ox êîîðäèíàòû ñâÿçàíû ñîîòâåòñòâåííî ïðàâèëàìè»xy»–=– » 0–cos ϕ − sin ϕx·,sin ϕ cos ϕy0»xy–»=– » 0–1 0x·.0 −1y0Ïåðåìíîæàÿ ìàòðèöû ïåðåõîäîâ õîòÿ áû äëÿ ϕ =»– »– »–0 −11 00 1·=,1 00 −11 03.3.Îïðåäåëåíèå.2»π2,ïîëó÷àåì– »– »–1 00 −10 −1·=.0 −11 0−1 0Îáùåå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêàËèíèåé âòîðîãî ïîðÿäêà íàçûâàþò ôèãóðó íà ïëîñêîñòèR , óðàâíåíèå êîòîðîé çàäà¼òñÿ êâàäðàòè÷íûì ìíîãî÷ëåíîì:Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,èëè â èíäåêñíûõ îáîçíà÷åíèÿõ,a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a1 x + 2a2 y + a = 0.34Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÀíàëîãè÷íî, ïîâåðõíîñòüþ âòîðîãî ïîðÿäêà íàçûâàþò ôèãóðó â ïðîñòðàíñòâå R3 , óðàâíåíèå êîòîðîé çàäà¼òñÿ êâàäðàòè÷íûì ìíîãî÷ëåíîì:a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a1 x + 2a2 y + 2a3 z + a = 0.Âûáîð òàêèõ îáîçíà÷åíèé äëÿ êîýôôèöèåíòîâ, âìåñòå ñ äâîéêàìè,ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî ýòè ìíîãî÷ëåíû ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå ìàòðè÷íûõïðîèçâåäåíèé.

Äëÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ïîëó÷èì îáùåå óðàâíåíèå3 2 3xa11 a12 a1x y 1 · 4 a12 a22 a2 5 · 4 y 5 = 0,a1 a2 a12ˆ˜ñèììåòðè÷íîéãäå ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ ìîæíî âûáðàòü: A> = A.Àíàëîãè÷íî äëÿ ïîâåðõíîñòè, íî ñ 4 × 4 ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ.Îáîçíà÷èì îäíîé áóêâîé êàæäûé áëîê â ïðåäûäóùåé çàïèñè:hX>1i"·A2 A1A>A01# "·X1#= 0.Ýòîò áîëåå êîìïàêòíûé âàðèàíò ïðèãîäåí è äëÿ ëèíèé, è äëÿ ïîâåðõíîñòåé, è äàæå äëÿ ìíîãîìåðíûõ êâàäðàòè÷íûõ ãèïåðïîâåðõíîñòåé.Ðàñêðûâàÿ ìàòðè÷íûå ïðîèçâåäåíèÿ, ïðèâåä¼ì åãî êX >A2 X + X >A1 + A>1 X + A0 = 0,ïðè÷¼ì ñëàãàåìûå X >A1 è A>1 X âñåãäà ñîâïàäàþò. Íàêîíåö, åñëè ðàñøèðèòü ñòîëáåö ïåðåìåííûõ, âêëþ÷èâ òóäà êîíñòàíòó 1, òî ïîëó÷èòñÿñàìàÿ êîìïàêòíàÿ çàïèñü îáùåãî óðàâíåíèÿ êâàäðèêè:X >A X = 0.Àêòóàëüíà ñëåäóþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à:îïðåäåëèòü âèä èðàñïîëîæåíèå ëèíèè èëè ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà, çàäàííîé îá-.

Äëÿ ýòîãî íóæíî ïî îáùåìó óðàâíåíèþ íàéòè êàíîíè÷åñêîå è ñâÿçü êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ èñõîäíîé. çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñêîëüêî èíôîðìàöèè î êâàäðèêå íåîáõîäèìî óçíàòü, ïðèìåíÿþòñÿ ðàçëè÷íûå ìåòîäû. Íàèáîëåå ðåçîê êîíòðàñòìåæäó òåìè, ãäå ñèñòåìà êîîðäèíàò ïîäâåðãàåòñÿ ëèøü ïîâîðîòàì èñäâèãàì, è òåìè, ãäå âìåñòå ñî ñäâèãàìè äîïóñêàþòñÿ ïðîèçâîëüíûåëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ (äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîìèìî ïîâîðîòîâïîçâîëÿòü ðàñòÿæåíèå âäîëü îäíîé èç îñåé).

Ñîîòâåòñòâåííî ãîâîðÿòî ìåòðè÷åñêîé è àôôèííîé êëàññèôèêàöèÿõ ëèíèé è ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà.Ïðè ïðèâåäåíèè ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó äîïóñêàåòñÿ òîëüêî èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ îñåé è íà÷àëà êîîðäèíàò ñ ñîõðàíåíèåì âñåõ óãëîâùèì óðàâíåíèåìÃëàâà 3. Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.35è äëèí. (Òðóäíîñòè èç-çà îðèåíòàöèè â ýòèõ âîïðîñàõ íå âîçíèêàþò.)Ïîýòîìó, êàíîíè÷åñêàÿ è èñõîäíàÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò ñâÿçàíû ïîâîðîòîì è ñäâèãîì, ïðè÷¼ì: ïðè ïîìîùè ïîâîðîòà èç óðàâíåíèÿ âñåãäàóäà¼òñÿ óáðàòü ïðîèçâåäåíèÿ ðàçíûõ ïåðåìåííûõ; ïðè ïîìîùè ñäâèãàóäà¼òñÿ ñîêðàòèòü êîëè÷åñòâî íåêâàäðàòè÷íûõ ñëàãàåìûõ äî îäíîãî.Ïîâîðîòîì è ñäâèãîì îáùåå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ïðèâîäèòñÿ ê îäíîìó èç ïÿòè âèäîâ:Òåîðåìà.Êëàññ Óðàâíåíèå2+22−1+1λ1 x2 + λ2 y 2 + p = 0λ1 x2 + λ2 y 2 = 0λ1 x2 + 2py = 0λ1 x2 + p = 0λ1 x2 = 0Çàìå÷àíèå. ñëó÷àå ïîâåðõíîñòåé òàáëèöà ñîäåðæèò òå æå ñëó÷àè,íî ïîÿâëÿþòñÿ åù¼ òðè (ñàìûå èíòåðåñíûå):Êëàññ Óðàâíåíèå3+33−λ1 x2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 + p = 0λ1 x2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 = 0λ1 x2 + λ2 y 2 + 2pz = 0Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïîâîðîòïëîñêîñòè âñåãäà èìååò âèä(x = x0 cos ϕ − y 0 sin ϕ,y = x0 sin ϕ + y 0 cos ϕ.Ïîäñòàâëÿÿ ýòó ñâÿçü â óðàâíåíèå, ïîëó÷èì ìíîãî íåíóæíûõ ñëàãàåìûõ, íî ïîòðåáóåì ðàâåíñòâà íóëþ êîýôôèöèåíòà ïðè x0 y 0 . Âûõîäèò−2A cos ϕ sin ϕ + 2B(cos2 ϕ − sin2 ϕ) + 2C sin ϕ cos ϕ = 0.Ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè äâîéíîãî óãëà, ïðè óñëîâèè B 6= 0 íàõîäèìA−C.ctg 2ϕ =2BÅñëè æå B = 0, òî ïîâîðîò ñèñòåìû êîîðäèíàò è íå íóæåí.Òåïåðü óðàâíåíèå ëèíèè óïðîñòèëîñü äîA0 (x0 )2 + C 0 (y 0 )2 + 2D0 x0 + 2E 0 y 0 + F 0 = 0,ïðè÷¼ì õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè êâàäðàòàõ íåíóëåâîé: èíà÷å óðàâíåíèå ñòàëî áû ëèíåéíûì è îáðàòíûé ïîâîðîò íèêàê íå ñäåëàë36Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèáû èç íåãî èñõîäíîå êâàäðàòè÷íîå. Ïðèìåíÿÿ íèæåñëåäóþùóþ ëåììó, èçáàâëÿåìñÿ õîòÿ áû îò îäíîãî èç ëèíåéíûõ ñëàãàåìûõ 2D0 è 2E 0 .Îñòàíåòñÿ òîëüêî òî èç íèõ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñòàðøèì ïî ñâîåé ïåðåìåííîé; ýòî ñëó÷àé A0 = 0 ëèáî C 0 = 0.