1611141305-7f1143a6985669faf6b24b542f487874 (Ульянов 2009 Конспект лекций по алгебре и геометрии), страница 3

Ñèñòåìà êîîðäèíàò âûáèðàåòñÿ ïðåæäå âñåãî, íî ìû íåáóäåì íàïîìèíàòü ïðî ýòîò ýòàï â êàæäîé ñèòóàöèè.Óðàâíåíèÿ ïðÿìîé ëèáî ïëîñêîñòè çàïèñûâàþò â ðàçëè÷íûõ ôîðìàõ. Âûäåëèì ÷åòûðå ñïîñîáà: ïàðàìåòðè÷åñêèé, íîðìàëüíûé, îáùèé,ïîòî÷å÷íûé; ïðè ýòîì ïåðâûå äâå ôîðìû èñïîëüçóþò ðàäèóñ-âåêòîðû,à ïîñëåäíèå äâå êîîðäèíàòû.  âåêòîðíûõ óðàâíåíèÿõ îáåèõ ôîðì,áóäü òî íà ïëîñêîñòè èëè â ïðîñòðàíñòâå, îáîçíà÷èì ÷åðåç r ðàäèóñâåêòîð ïðîèçâîëüíîé (íåèçâåñòíîé) òî÷êè. Îñòàëüíûå ó÷àñòâóþùèå âóðàâíåíèÿõ âåêòîðû ïðåäïîëàãàåì èçâåñòíûìè.Âîçüì¼ì íà äàííîé ïðÿìîé ` òî÷êó è îáîçíà÷èì å¼ ðàäèóñ-âåêòîð÷åðåç r0 .

Äàëåå, âîçüì¼ì ïàðàëëåëüíûé ` âåêòîð v. Òîãäà äëÿ êàæäîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëà t âåêòîð r0 + tv åñòü ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè íàïðÿìîé `. Ïîýòîìór = r0 + tv,ãäå t ïåðåìåííûé ïàðàìåòð, íàçûâàþò ïàðàìåòðè÷åñêèì çàäàíèåì ïðÿìîé. Ïîñòîÿííûé âåêòîð v íàçûâàþò íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì ýòîé ïðÿìîé, à òî÷êó (ñîîòâåòñòâóþùóþ) r0 å¼ íà÷àëüíîé òî÷êîé.

Êîãäà t ïðîáåãàåò âñå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, êîíåö ðàäèóñ-âåêòîðà r ïðîáåãàåò âñåòî÷êè ïðÿìîé `. Ôèçè÷åñêè ìîæíî òðàêòîâàòü r0 è v êàê íà÷àëüíîåïîëîæåíèå è ñêîðîñòü ¾ìàòåðèàëüíîé òî÷êè¿. Âñÿêàÿ ïðÿìàÿ èìååòáåñêîíå÷íî ìíîãî ïàðàìåòðè÷åñêèõ çàäàíèé ñ ðàçíûìè r0 è v.vrrvr0wr0Ãëàâà 2. Ïðÿìûå è ïëîñêîñòèâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.17Âîçüì¼ì íà äàííîé ïëîñêîñòè Π òî÷êó è îáîçíà÷èì å¼ ðàäèóñ-âåêòîð÷åðåç r0 . Äàëåå, âîçüì¼ì â Π äâà íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðà v, w. Òîãäàäëÿ ëþáûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë t, s âåêòîð tv + sw ëåæèò â ýòîé æåïëîñêîñòè Π, ïðè÷¼ì âñå âåêòîðû â íåé èìåþò òàêîå ïðåäñòàâëåíèå, àr0 + tv + sw åñòü ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè íà Π.

Ïîýòîìór = r0 + tv + sw,ãäå t è s ïåðåìåííûå ïàðàìåòðû, íàçûâàþò ïàðàìåòðè÷åñêèì çàäàíèåì ïëîñêîñòè. Ïîñòîÿííûå âåêòîðû v è w íàçûâàþò íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè ýòîé ïëîñêîñòè, à òî÷êó r0 å¼ íà÷àëüíîé òî÷êîé. Êîãäà t è s íåçàâèñèìî ïðîáåãàþò âñå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, êîíåöðàäèóñ-âåêòîðà r ïðîáåãàåò âñå òî÷êè ïëîñêîñòè Π.nr0rnr0nvvrrr0mÍîðìàëüþ ê ïðÿìîé èëè ê ïëîñêîñòè íàçûâàþò âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé êàæäîìó âåêòîðó, ëåæàùåìó â ýòîé ïðÿìîé/ïëîñêîñòè. Íîðìàëüíûå óðàâíåíèÿ n · (r − r0 ) = 0 â ñëó÷àÿõ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè è ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå îòðàæàþò òîò ôàêò, ÷òî îäíà òî÷êà r0 íà ïðÿìîé/ïëîñêîñòè è íîðìàëü n ê íåé îïðåäåëÿþò ïðÿìóþ/ïëîñêîñòü.

Ïîñêîëüêó çäåñü n è r0 èçâåñòíû, ìîæíî ïîäñòàâèòü èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â óðàâíåíèå è ïîëó÷èòü åãî âàðèàíò n · r = D.Äëÿ ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå ðåäêî ãîâîðÿò î íîðìàëüíîì óðàâíåíèè,õîòÿ ìîæíî âûáðàòü äâàíîðìàëüíûõ âåêòîðà n, m èçàïèñàòü ñèñòåìón · (r − r0 ) = 0,íåêîëëèíåàðíûõm · (r − r0 ) = 0.Îíà ðàâíîñèëüíà óðàâíåíèþ v × (r − r0 ) = 0, â êîòîðîì v = n × mÿâëÿåòñÿ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì ïðÿìîé.

Çäåñü òîæå ìîæíî ïîäñòàâèòü a = v × r0 è ïîëó÷èòü âàðèàíò v × r = a. Îäíàêî îäíî óðàâíåíèåñ âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì ëèøü íà ïåðâûé âçãëÿä ýêîíîìè÷íåå ñèñòåìû èç äâóõ ñêàëÿðíûõ, âåäü â êîîðäèíàòàõ îíî ïðåâðàùàåòñÿ â òðèóðàâíåíèÿ, à çíà÷èò, îäíî èç íèõ âñåãäà îêàçûâàåòñÿ ëèøíèì. êîîðäèíàòàõ îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîãî áàçèñà(1) â ïðîñòðàíñòâå âñÿêàÿ ïëîñêîñòü çàäà¼òñÿ óðàâíåíèåì âèäàÒåîðåìà.Ax + By + Cz + D = 0;18Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèè(2)íà ïëîñêîñòè âñÿêàÿ ïðÿìàÿ çàäà¼òñÿ óðàâíåíèåì âèäàAx + By + D = 0;(3)â ïðîñòðàíñòâå âñÿêàÿ ïðÿìàÿ çàäà¼òñÿ ñèñòåìîé âèäàA1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.Èõ íàçûâàþò îáùèìè óðàâíåíèÿìè ïðÿìîé èëè ïëîñêîñòè. Çà ñàìâèä áåç ïðîèçâåäåíèé è ñòåïåíåé ïåðåìåííûõ òàêèå óðàâíåíèÿíàçûâàþò ëèíåéíûìè.Äîêàçàòåëüñòâî.

(1) Ïîäñòàâèì ðàçëîæåíèå r = xe1 + ye2 + ze3 íåèç-âåñòíîãî ðàäèóñ-âåêòîðà â íîðìàëüíîå óðàâíåíèå n·(r−r0 ) = 0 è ñðàçóïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ èñêîìîãî îáùåãî óðàâíåíèÿ:(n · e1 )x + (n · e2 )y + (n · e3 )z + (−n · r0 ) = 0.(2) Àíàëîãè÷íî ïåðâîìó ñëó÷àþ, íî r = xe1 + ye2 .(3) Àíàëîãè÷íî ïåðâîìó ñëó÷àþ, íî íîðìàëåé äâå.Òåîðåìà.  êîîðäèíàòàõ îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîãî áàçèñà êàæäîå ëèíåéíîå óðàâíåíèå, â êîòîðîì õîòÿ áû îäèí êîýôôèöèåíò ïðèíåèçâåñòíûõ íåíóëåâîé, çàäà¼ò ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå ëèáî ïðÿìóþ íà ïëîñêîñòè. ñëó÷àå ñèñòåìû èç äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé óñëîâèå, ïðè êîòîðîì îíà çàäà¼ò ïðÿìóþ â ïðîñòðàíñòâå, áîëåå ñëîæíîå: ýòî óñëîâèå,÷òî äâå ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ ïî ïðÿìîé.Äîêàçàòåëüñòâî.Òåïåðü, íàîáîðîò, íóæíî ïî ëèíåéíîìó óðàâíåíèþAx + By + Cz + D = 0 íàéòè íîðìàëü ê ãèïîòåòè÷åñêè çàäàâàåìîé èìïëîñêîñòè.

Èç-çà ïðîèçâîëüíîñòè áàçèñà {e1 , e2 , e3 } îòâåò ìåíåå î÷åâèäåí, ÷åì áûë áû â ÎÍÁ. Ïîýòîìó âîçüì¼ì âåêòîðAe2 × e3 + Be3 × e1 + Ce1 × e2.n=(e1 , e2 , e3 )Äëÿ r = xe1 + ye2 + ze3 ïîëó÷èì n · r = Ax + By + Cz , èáî â ÷èñëèòåëåîáðàçóþòñÿ 9 ñìåøàííûõ ïðîèçâåäåíèé, èç êîòîðûõ 6 ñîäåðæàò ïîâòîðÿþùèåñÿ âåêòîðû, à îñòàëüíûå ðàâíû çíàìåíàòåëþ. Äàëåå, âîçüì¼ìnr0 = −D n·n; òîãäà D = −n · r0 , òàê ÷òî èñõîäíîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî íîðìàëüíîìó óðàâíåíèþ ïëîñêîñòè n · (r − r0 ) = 0.Ê óðàâíåíèþ Ax + By + D = 0 ïîñòàðàåìñÿ ïðèìåíèòü òîò æå òðþê,ñ÷èòàÿ, ÷òî îíî èìååò âèä Ax + By + Cz + D = 0, íî C = 0.

ÏîñêîëüêóÃëàâà 2. Ïðÿìûå è ïëîñêîñòèâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.19ñèòóàöèÿ ïëîñêàÿ è òðåòüåãî áàçèñíîãî âåêòîðà íåò, ìîæíî âûéòè âïðîñòðàíñòâî è âûáðàòü e3 îðòîãîíàëüíûì ê e1 è e2 . Òîãäà çàãàäî÷íàÿôîðìóëà äàñò n = n1 e1 + n2 e2 + 0e3 è î ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ¾çàáûòü¿.nÐàäèóñ-âåêòîð íà÷àëüíîé òî÷êè íàõîäèòñÿ òàê æå: r0 = −D n·n.Ïåðåä òåì, êàê çàíÿòüñÿ óðàâíåíèÿìè ïî òî÷êàì, ñîáåð¼ì â òàáëèöóíàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå ñïîñîáû çàäàíèÿ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé èíåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)îáùåå óðàâíåíèå;íîðìàëüíîå óðàâíåíèå;êîðàçìåðíîñòü;ðàçìåðíîñòü;ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå;óðàâíåíèå ïî òî÷êàì îáû÷íîå;óðàâíåíèå ïî òî÷êàì ÷åðåç îïðåäåëèòåëü/-è;óðàâíåíèå ïî òî÷êàì ÷åðåç ðàíã.Çíà÷êè ♦, M, è O â òàêîì êîíòåêñòå ñîâåðøåííî íåñòàíäàðòíû, íî âýòîé ãëàâå ÿ íàõîæó óäîáíûì ïîëüçîâàòüñÿ èìè äëÿ ññûëîê.M♦Oïëîñêîñòüïðÿìàÿïðÿìàÿâ ïðîñòðàíñòâåíà ïëîñêîñòèAx +By +Cz +D = 0n · (r − r0 ) = 0â ïðîñòðàíñòâåA1 x +B1 y +C1 z +D1 = 0Ax +By +C = 0A2 x+B2 y +C2 z +D2 = 0n · (r − r0 ) = 0n · (r − r0 ) = 0m · (r − r0 ) = 01211r = r0 + tvr = r0 + tv12r=r+tv + sw ˛0˛˛ x −x1 y −y1 z −z1 ˛˛˛˛ x −x y −y z −z ˛ = 0 x −x1 = y −y1˛ 2 1 2 1 2 1˛x2 −x1y2 −y1˛ x −x y −y z −z ˛3 ˛ 1 31 ˛31˛x y z 1˛˛˛˛˛˛x y 1˛˛ x1 y1 z1 1 ˛˛˛˛˛˛x y 1˛ = 0˛x y z 1˛ = 0˛ 1 1 ˛˛ 2 2 2 ˛˛x y 1˛2 2˛x y z 1˛23 3 3323x y z 1x y 16 x1 y1 z1 1 77rk 6rk 4 x1 y1 1 5 = 24 x2 y2 z2 1 5 = 3x2 y2 1x3 y3 z3 1(1)(2)(3)(4)(5)x −x1y −y1z −z1==x2 −x1y2 −y1z2 −z1(6)˛˛˛ ˛˛x y 1˛ ˛y z 1˛˛˛ ˛˛˛x y 1˛ = ˛y z 1˛ = 0˛ 1 1 ˛ ˛ 1 1 ˛˛x y 1˛ ˛y z 1˛2 22 2(7)23x y z 1rk 4 x1 y1 z1 1 5 = 2x2 y2 z2 1(8)20Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÑ âèäîì óðàâíåíèé, çàïèñàííûõ â îñòàëüíûõ ñòðîêàõ òàáëèöû, òåñíî ñâÿçàíû ÷èñëà â ñòðîêàõ (3) è (4): ýòî ñîîòâåòñòâåííî ðàçìåðíîñòüè êîðàçìåðíîñòü ôèãóðû.

Ðàçìåðíîñòü ðàâíà êîëè÷åñòâó ïàðàìåòðîâ, àêîðàçìåðíîñòü ðàâíà êîëè÷åñòâó îáùèõ óðàâíåíèé è äîïîëíÿåò ðàçìåðíîñòü äî îáúåìëþùåé ðàçìåðíîñòè.rr r1r1r2r2×åðåç äâå ðàçëè÷íûå ôèêñèðîâàííûå òî÷êè íà ïëîñêîñòè èëè â ïðîñòðàíñòâå, ñ ðàäèóñ-âåêòîðàìè r1 è r2 , ïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ ïðÿìàÿ.Óðàâíåíèÿ ïî òî÷êàì (6♦) è (6O) ýòîé ïðÿìîé âûðàæàþò êîëëèíåàðíîñòü âåêòîðîâ r − r1 è r2 − r1 êàê ïðîïîðöèîíàëüíîñòü èõ êîîðäèíàò.Àíàëîãè÷íî, óðàâíåíèå ïî òî÷êàì (6M) åäèíñòâåííîé ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè ôèêñèðîâàííûå òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå, íå ëåæàùèåíà îäíîé ïðÿìîé, âûðàæàåò êîìïëàíàðíîñòü âåêòîðîâ r − r1 , r2 − r1 èr3 −r1 êàê çàíóëåíèå èõ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ.

Àëãåáðàè÷åñêè ýòèóñëîâèÿ â ñòðîêå (6) òàáëèöû êàæóòñÿ ðàçíîðîäíûìè, íî, ïåðåôîðìóëèðîâàâ èõ, ìîæíî ñäåëàòü èõ ïîõîæèìè âî âñåõ òð¼õ ñëó÷àÿõ. Ýòîìóïîñâÿù¼í (íåîáÿçàòåëüíûé) ñëåäóþùèé ðàçäåë.Êàæäûé èç ïåðå÷èñëåííûõ ñïîñîáîâ çàäàíèÿ ïðÿìîé èëè ïëîñêîñòèâ îïðåäåë¼ííûõ ñèòóàöèÿõ ëó÷øå äðóãèõ, ïîýòîìó ïðè ðåøåíèè çàäà÷ðåãóëÿðíî òðåáóåòñÿ ïåðåõîäèòü îò îäíîãî ê äðóãîìó. Äëÿ áîëüøèíñòâà ïåðåõîäîâ äåéñòâèÿ ñëàáî çàâèñÿò îò âàðèàíòà (M,♦,O).(12) Êàæäàÿ íîðìàëü n âûïèñûâàåòñÿ èç óðàâíåíèÿ: n = (A, B)èëè n = (A, B, C). ×òîáû óãàäàòü òî÷êó r0 , ìîæíî ïîäñòàâèòü,íàïðèìåð, x = 0, à òàêæå y = 0 â ñëó÷àå (1M). Åñëè A = 0,ñëåäóåò çàíóëèòü äðóãóþ êîîðäèíàòó.(16) Óãàäûâàòü ìîæíî òàê, êàê â (1ðàçíûå ïîäñòàíîâêè.(25) Îáîçíà÷åíèå (&.) ïðèçâàíî íàïîìèíàòü ïðîñòîé ñïîñîá íàõîæäåíèÿ âåêòîðîâ, îðòîãîíàëüíûõ äàííîìó: åñëè n = (a, b), òîv = (b, −a); åñëè n = (a, b, c), òî v = (b, −a, 0) è w = (0, c, −b)ïðè b 6= 0, à èíà÷å, âçÿòü (c, 0, −a) çà v èëè w.(52) Ýòîò ïåðåõîä ñèììåòðè÷åí (2(61) Ðàñêðûòü îïðåäåëèòåëü è ñîáðàòü êîýôôèöèåíòû.2), íî èñïîëüçóÿ äâå èëè òðè5).Ãëàâà 2.

Ïðÿìûå è ïëîñêîñòèÏî(1)(2)(5)(6)(1)M♦OM♦OM♦OM♦Oèùåì(5)ïðîéòèñïèñàòü n÷åðåçóãàäàòü r0òî÷êèv, w = (&.)níîðìàëüíîå v = (.&)nv = n× mn = v× wn = (&.)vïàðàìåòðûn, m = (&.)vïðîéòèr0 = r1÷åðåçv = r2 − r1ïàðàìåòðûw = r3 − r1(2)îáùååðàñêðûòüñêîáêèïðîéòè÷åðåçíîðìàëüíîåðàñêðûòüâñ¼2.2.âåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.21(6)óãàäàòüäâå èëè òðèòî÷êèïðîéòè÷åðåçïàðàìåòðûïîäñòàâèòüçíà÷åíèÿïàðàìåòðîâïî òî÷êàìÄîïîëíåíèå îá óðàâíåíèÿõ ïî òî÷êàìÏåðâûì äåëîì ïåðåïèøåì ïðîïîðöèþ (6♦) êàê˛˛˛ x − x1 y − y1 ˛˛˛˛ x2 − x1 y2 − y1 ˛ = 0,÷òî óæå ïîõîäèò íà âûðàæåíèå êîìïëàíàðíîñòè (6M): îòëè÷èå ëèøüâ ïîðÿäêå îïðåäåëèòåëÿ. Äàëåå, çàìåòèì ñîâïàäåíèå (ñ òî÷íîñòüþ äîçíàêà) çíà÷åíèé ýòîãî îïðåäåëèòåëÿ è îïðåäåëèòåëÿ (7♦):˛˛˛ ˛˛ ˛˛x y 1˛ ˛ xy1 ˛˛y1 ˛˛ ˛˛ x˛˛ ˛˛ x1 y1 1 ˛ = ˛ x1y11 ˛˛ = ˛˛ x1 − x y1 − y 0 ˛˛˛˛ ˛˛ x2 y2 1 ˛ ˛ x2 − x1 y2 − y1 0 ˛ ˛ x2 − x1 y2 − y1 0 ˛Àíàëîãè÷íîå ÿâëåíèå çàìåòíî è â ñòîëáöå (M), ãäå ïîÿâëÿåòñÿ îïðåäåëèòåëüïîðÿäêà.

Äà, îí áîëüøîé, çàòî ïî ñðàâíåíèþ ñ (6M)ýëåìåíòû åãî çàâèäíî ïðîùå! Ïîëó÷àåì çàäàíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòèè ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå óðàâíåíèåì ¾êðàñèâûé îïðåäåëèòåëü ðàâåííóëþ¿.  ñëó÷àå ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå èç äâóõ ïðîïîðöèé ïîëó÷àåìäâà òàêèõ óðàâíåíèÿ (7O).Îäíàêî ìîæíî ïîéòè äàëüøå. Ðàâåíñòâî îïðåäåëèòåëÿ êâàäðàòíîéìàòðèöû íóëþ, êàê ìû ïîçæå óñòàíîâèì, ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî îäíóèç å¼ ñòðîê ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç äðóãèå, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàíã ýòîéìàòðèöû ìåíüøå ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîãî: ¾ðàíã ïàäàåò¿.

Ñ äðóãîéñòîðîíû, ðàíã íè îäíîé ìàòðèöû â ñòðîêå (8) íå ìîæåò óïàñòü áîëåå÷åòâ¼ðòîãî22Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèè÷åì íà åäèíèöó, èáî ýòî èñêëþ÷åíî ïðåäïîëîæåíèåì îáùåãî ïîëîæåíèÿçàôèêñèðîâàííûõ òî÷åê: åñëè èõ äâå, òî îíè ðàçëè÷íû; åñëè èõ òðè,òî îíè íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. ñàìîì äåëå, äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ ïðÿìûõ óñëîâèÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿïàðû òî÷åê çàïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàíãîâ â âèäå»rkx1 y1 1x2 y2 1–»= 2,rkx 1 y 1 z1 1x 2 y 2 z2 1–= 2.Ýòè ðàâåíñòâà ãàðàíòèðóþò, ÷òî ðàíãè ìàòðèö â êëåòêàõ (8♦) è (8O)íå ìåíüøå äâóõ. Ïîýòîìó óñëîâèå, ÷òî ðàíã òàêîé ìàòðèöû íå ðàâåíòð¼ì, òî åñòü ïàäàåò, çàäà¼ò èñêîìóþ ïðÿìóþ.Óñëîâèå îáùåãî ïîëîæåíèÿ òð¼õ òî÷åê â ïðîñòðàíñòâå òàêæå çàïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàíãà â âèäå23x1 y1 z1 1rk 4 x2 y2 z2 1 5 = 3,x3 y3 z3 1èáî â ñîîòâåòñòâèè ñ óæå îáîñíîâàííûì óðàâíåíèåì ïðÿìîé (8O) ýòîîçíà÷àåò, ÷òî ïåðâàÿ òî÷êà íå ëåæèò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåçâòîðóþ è òðåòüþ.