1611141305-7f1143a6985669faf6b24b542f487874 (Ульянов 2009 Конспект лекций по алгебре и геометрии), страница 10

(1) Áëàãîäàðÿ ñèììåòðèè â îïðåäåëåíèè èíâåðñèè.Ëåììà.(1)(2)(3)(3) Âñòàíåì ñ êîìïàñîì â ñòðîêó i è ñòîëáåö j . Ñåâåðíåå (âûøå)ðàñïîëîæåíî i − 1 êðåñòèêîâ, à çàïàäíåå (ëåâåå) ðàñïîëîæåíî j − 1êðåñòèêîâ. Ïðè òîì, åñëè ê ñåâåðî-çàïàäó íàõîäèòñÿ k êðåñòèêîâ, òîê ñåâåðî-âîñòîêó èõ i − k − 1, à ê þãî-çàïàäó j − k − 1. Çíà÷èò, âñåãîêðåñòèê â êëåòêå (i, j) âõîäèò â i + j − 2(k + 1) èíâåðñèîííûõ ïàð.• •• •• •• •• •• •x• •• •(2) Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî åñëè âûáðàííàÿ äëÿ îáìåíà ïàðàñòðîê ñîäåðæèò èíâåðñèîííóþ ïàðó êðåñòèêîâ, òî îáìåí äåëàåò å¼ íåÃëàâà 6. Îïðåäåëèòåëèâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.61èíâåðñèîííîé, è íàîáîðîò. Îñòà¼òñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî ÷¼òíîñòü ÷èñëàïðî÷èõ èíâåðñèé íå ìåíÿåòñÿ.Íóæíî ðàññìîòðåòü âñå âîçìîæíûå ñëó÷àè ðàñïîëîæåíèÿ îäíîãîíåïîäâèæíîãî êðåñòèêà îòíîñèòåëüíî îáìåíèâàþùåéñÿ ïàðû.

Âîçüì¼ìïàðó êðåñòèêîâ, íå îáðàçóþùèõ èíâåðñèþ, à â îñòàëüíûõ êëåòêàõ îòìåòèì ðàçíûìè êðóæêàìè, ñêîëüêî èíâåðñèé ñ îáìåíèâàþùåéñÿ ïàðîéäàñò êðåñòèê, ïîìåù¼ííûé òóäà.• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •x••••x====• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •x0 èíâåðñèé1 èíâåðñèÿ1 èíâåðñèÿ2 èíâåðñèèx• •• •• •• •Ñðàâíèì ñ àíàëîãè÷íîé êàðòèíêîé ïîñëå îáìåíà ñòðîê. Âñåãî âèäèìäåâÿòü ñëó÷àåâ, íî ëèøü â ¾öåíòðàëüíîé ÷àñòè¿ èññëåäóåìîå ÷èñëîìåíÿåòñÿ, ïðè÷¼ì íà 2.6.2.Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåéÇäåñü ìû òðèæäû ïðîâåä¼ì ðàññóæäåíèÿ ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:(ℵ) Ðàñïèøåì îïðåäåëèòåëè â îáåèõ ÷àñòÿõ äîêàçûâàåìîãî ðàâåíñòâà ïî îïðåäåëåíèþ, êàê ñóììû ìîíîìîâ.(i) Óáåäèìñÿ, ÷òî ñïèñêè ìîíîìîâ ñëåâà è ñïðàâà îäèíàêîâû.(‫ )ג‬Ñðàâíèì çíàêè êàæäîãî ìîíîìà ñ äâóõ ñòîðîí ïðè ïîìîùè ëåììû î ñâîéñòâàõ ÷¼òíîñòè ïåðåñòàíîâîê.Ïîâòîðÿþùèåñÿ ïðè ýòîì ïðîñòûå øàãè óïîìèíàòü ÿâíî íå áóäåì.Ëåììà.Äëÿ âñÿêîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû, det A = det A>.Ââèäó ýòîé ëåììû âñå ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé, ôîðìóëèðóåìûå èëèäîêàçûâàåìûå äëÿ ñòðîê, âåðíû è äëÿ ñòîëáöîâ.Äîêàçàòåëüñòâî.

(‫ )ג‬Òðàíñïîíèðîâàíèå îòðàæàåò êàðòèíêó, ñîõðàíÿÿ÷¼òíîñòü. Ïîýòîìó ìîíîìû äâóõ ñèììåòðè÷íûõ êàðòèíîê, íàïðèìåð,2a116 a2166 a3164 a41a51a12a22a32a42a52a13a23a33a43a53a14a24a34a44a543a15a25 77a35 77a45 5a552èa116 a1266 a1364 a14a15a21a22a23a24a25a31a32a33a34a35a41a42a43a44a453a51a52 77a53 77,a54 5a5562Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèâõîäÿò ñ îäèíàêîâûìè çíàêàìè â det A è det A> .Îïðåäåëåíèå. Ìèíîðîì ïîðÿäêà k ïðîèçâîëüíîé (íå îáÿçàòåëüíî êâàä-ðàòíîé) ìàòðèöû A íàçûâàþò îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ñîñòàâëåííîéèç ýëåìåíòîâ A, ñòîÿùèõ íà ïåðåñå÷åíèè êàêèõ-òî âûáðàííûõ â íåéðàçëè÷íûõ k ñòðîê è ðàçëè÷íûõ k ñòîëáöîâ:2a116 a2166 a3164 a41a51a12a22a32a42a52a13a23a33a43a53a14a24a34a44a543a15a25 77a35 77.a45 5a55Ïðèìå÷àòåëüíû ìèíîðû ïîðÿäêà n − 1 êâàäðàòíîé ìàòðèöû ðàçìåðà n × n.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç Mij (A) ìèíîð, ïîëó÷àåìûé âû÷¼ðêèâàíèåìèç A ñòðîêè i è ñòîëáöà j : Çíà÷åíèå (−1)i+j Mij (A) íàçûâàþò àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà aij ìàòðèöû A. Îòêóäà òàêîå íàçâàíèå?Çàâèñèìîñòü îïðåäåëèòåëÿ îò êëåòêè (i, j) èìååò âèäXdet A = (−1)i+j aij Mij (A) +(ìîíîìû áåç aij ).Äîêàçàòåëüñòâî. (i) Âíèìàíèå ñîñðåäîòî÷åíî íà êàðòèíêàõ ïåðåñòàËåììà.íîâîê σ ∈ Sn ñ êðåñòèêîì â êëåòêå (i, j). Óäàëåíèå ñòðîêè i è ñòîëáöà jäà¼ò êàðòèíêè âñåõ ïåðåñòàíîâîê â Sn−1 , êîòîðûå è íóæíû ïðè ðàñêðûòèè ìèíîðà Mij . Ðàçáåðèòå ñëó÷àé n = 3 êàê óïðàæíåíèå.(‫ )ג‬Òðåòüå óòâåðæäåíèå â ëåììå îá èíâåðñèÿõ è êîìïåíñèðóþùèéìíîæèòåëü (−1)i+j îáåñïå÷èâàþò ïðàâèëüíûå çíàêè ìîíîìîâ.Äëÿ êàæäîé ñòðîêè ìàòðèöû A îïðåäåëèòåëü det A ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ â ýòîé ñòðîêå íàèõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ; àíàëîãè÷íî äëÿ êàæäîãî ñòîëáöà:Xdet A =(−1)i+j aij Mij (A) äëÿ âñåõ 1 6 i 6 n;Òåîðåìà (Leibniz, Laplace).16j6ndet A =X(−1)i+j aij Mij (A)äëÿ âñåõ 1 6 j 6 n.16i6nÄîêàçàòåëüñòâî.

Äîñòàòî÷íî ïðèìåíÿòü ëåììó, äâèãàÿñü ïî ñòðîêå iëèáî ñòîëáöó j . Êàæäûé ìîíîì îïðåäåëèòåëÿ ïîïàä¼ò ðîâíî â îäíóãðóïïó ñëàãàåìûõ, âûäåëÿåìûõ ëåììîé äëÿ êëåòîê, ïîòîìó ÷òî â íåãîâõîäèò ðîâíî îäèí ýëåìåíò ýòîé ñòðîêè (ëèáî ñòîëáöà).Ãëàâà 6. Îïðåäåëèòåëèâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.63Îïðåäåëåíèå.Êâàäðàòíóþ ìàòðèöó A = [aij ], ó êîòîðîé aij = 0 ïðèi > j , ò. å. âñå ýëåìåíòû íèæå ãëàâíîé äèàãîíàëè íóëåâûå, íàçûâàþòâåðõíåòðåóãîëüíîé. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþò íèæíåòðåóãîëüíûå ìàòðèöû.Îïðåäåëèòåëü âåðõíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöû ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòîâ íà å¼ ãëàâíîé äèàãîíàëè, det A = a11a22 .

. . ann;òàêæå è äëÿ íèæíåòðåóãîëüíîé.Ïåðâîå äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè â êàðòèíêå íåò êðåñòèêîâ íèæå äèàãîÑëåäñòâèå.íàëè, òî è âûøå äèàãîíàëè èõ òàì òîæå áûòü íå ìîæåò: íåò ìåñòà. Çíà÷èò, åäèíñòâåííûé íåíóëåâîé ìîíîì ñóììû (]) äèàãîíàëüíûé.Âòîðîå äîêàçàòåëüñòâî. Ïî èíäóêöèè, âñ¼ âðåìÿ ðàñêðûâàÿ îïðåäåëèòåëü ïî ïåðâîìó ñòîëáöó (äëÿ âåðõíåòðåóãîëüíîé) èëè ïåðâîé ñòðîêå(äëÿ íèæíåòðåóãîëüíîé). ÷àñòíîñòè, îïðåäåëèòåëü åäèíè÷íîé ìàòðèöû ðàâåí åäèíèöå; íàçîâ¼ì ýòî ñâîéñòâîì (D1).Îïðåäåëèòåëèáëî÷íî-òðåóãîëüíûõ ìàòðèö"#"#A BA 0è C D ,0 Dãäå ìàòðèöû A è D êâàäðàòíûå, ðàâíû det A · det D.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ñêîìáèíèðîâàòü èäåþ ïåðâîãî äîêàçàòåëüñòâà ïðå-Ñëåäñòâèå.äûäóùåãî ñëåäñòâèÿ è èäåþ äîêàçàòåëüñòâà òðåòüåãî óòâåðæäåíèÿ âëåììå îá èíâåðñèÿõ. Íåíóëåâûå ìîíîìû áîëüøîãî îïðåäåëèòåëÿ íåçàòðàãèâàþò áëîêè B è C , à èíâåðñèé ìåæäó áëîêàìè A è D íåò, òàê÷òî îíè ðàñêðûâàþòñÿ íåçàâèñèìî è âîçíèêàåò ïðîèçâåäåíèå.Ïðèìåð.Ðàññìîòðèì ñëó÷àé n = 4 ñ áëîêàìè 2 × 2. Çäåñü âñåãî ÷åòûðåïîòåíöèàëüíî íåíóëåâûõ ìîíîìà:2a116 a1264002a116 a126400a21a2200a31a32a33a34a21a2200a31a32a33a343 2a41a116a42 77 , 6 a12a43 5 4 0a4403 2a41a116a42 77 , 6 a12a43 5 4 0a440a21a2200a31a32a33a34a21a2200a31a32a33a343a41a42 77,a43 5a443a41a42 77.a43 5a44Ðàçíîñòü äâóõ âåðõíèõ ìîíîìîâ ðàâíà (det A)a33 a44 , à ðàçíîñòü äâóõíèæíèõ (det A)a34 a43 .

Ðàçíîñòü ýòèõ ðàçíîñòåé ðàâíà (det A)(det D).64Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÎïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ìåíÿåò çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé ïðè îáìåíå ìåñòàìè ëþáîé ïàðû å¼ ñòðîê. Èíà÷å ãîâîðÿ, detåñòü êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñòðîê ìàòðèöû.Äîêàçàòåëüñòâî. (‫ )ג‬Êàðòèíêè ïåðåñòàíîâîê, äàþùèå îäèí è òîò æåÒåîðåìà. (D2)ìîíîì äî è ïîñëå îáìåíà ñòðîê, íàïðèìåð,2a116 a2166 a3164 a41a51a12a22a32a42a52a13a23a33a43a53a14a24a34a44a543a15a25 77a35 77a45 5a552èa116 a4166 a3164 a21a51a12a42a32a22a52a13a43a33a23a53a14a44a34a24a543a15a45 77a35 77,a25 5a55îòëè÷àþòñÿ êàê âî âòîðîì óòâåðæäåíèè ëåììû îá èíâåðñèÿõ.Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû åñòü ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ýëåìåíòîâ ëþáîé ñòðîêè. Èíà÷å ãîâîðÿ, det åñòü ïîëèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿñòðîê ìàòðèöû.Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî åñëè êâàäðàòíûå ìàòðèöû A, BÒåîðåìà.

(D3)è C îòëè÷àþòñÿ ëèøü ñâîèìè i-ìè ñòðîêàìè, ðàâíûìè ñîîòâåòñòâåííîA(i) , B(i) è C(i) = αA(i) + βB(i) , òî det C = α det A + β det B .Äëÿ ïðîâåðêè ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ìèíîðû Mij (A), Mij (B) è Mij (C)èäåíòè÷íû, ïîäñòàâèì cij = αaij + βbij â ôîðìóëó ðàñêðûòèÿ det C ïîñòðîêå i è âûíåñåì ñêàëÿðû α è β èç-ïîä ñóììèðîâàíèÿ.Åñëè ôóíêöèÿ D : Mn(R) → R, êàê ôóíêöèÿ ñòðîê ìàòðèöû, êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ è ïîëèëèíåéíàÿ, òî îíà îòëè÷àåòñÿ îòîïðåäåëèòåëÿ ëèøü ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì, ðàâíûì ñâîåìó çíà÷åíèþ íà åäèíè÷íîé ìàòðèöå: D(A) = D(E) · det A äëÿ âñåõ A.Òåîðåìà.Äîêàçûâàòü ýòó òåîðåìó ìû íå áóäåì.

Îäíàêî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîñâîéñòâà (D1), (D2) è (D3) îäíîçíà÷íî çàäàþò det êàê îòîáðàæåíèåMn (R) → R è ïîòîìó ìîãóò áûòü âçÿòû â êà÷åñòâå àáñòðàêòíîãî îïðåäåëåíèÿ.Ïîëåçíû åù¼ íåñêîëüêî ïðîñòûõ ñëåäñòâèé îñíîâíûõ ñâîéñòâ:(D4) det(λA) = λn det A äëÿ âñåõ n × n ìàòðèö A è ñêàëÿðîâ λ;(D5) îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñ íóëåâîé ñòðîêîé ðàâåí íóëþ;(D6) îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñ äâóìÿ îäèíàêîâûìè ñòðîêàìè ðàâåííóëþ;(D7) îïðåäåëèòåëü íåèçìåíåí ïðè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõñòðîê òèïà (R20 ).Ãëàâà 6. Îïðåäåëèòåëèâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.Òåîðåìà (Binet, Cauchy, 1812).65Äëÿ âñåõ n × n ìàòðèö A è B,det AB = det A · det B.Ïåðâîå äîêàçàòåëüñòâî.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç A(i) ñòðîêó i ìàòðèöû A èàíàëîãè÷íî äëÿ äðóãèõ èñïîëüçóåìûõ ìàòðèö. ÏîñêîëüêóA(i) = ai1 E(1) + . . . + ain E(n)è (AB)(i) = ai1 B(1) + . . . + ain B(n) ,ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê òèïà (R20 ) ëåâàÿ ìàòðèöàïðèâîäèòñÿ ê ïðàâîé:"#"#E BE B.−A 00 ABÏî ñâîéñòâó (D7) îïðåäåëèòåëè ýòèõ ìàòðèö ðàâíû; îñòà¼òñÿ ïðàâèëüíî èõ ïîñ÷èòàòü, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà (D2) è (D4) è ñëåäñòâèå ïðîáëî÷íî-òðåóãîëüíûå ìàòðèöû.Âòîðîå äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì B è îïðåäåëèì îòîáðàæåíèåDB : Mn (R) → R,A 7→ det AB.Äàëåå ïðîâåðèì, ÷òî ýòî êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ è ïîëèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ñòðîê ìàòðèöû A. Òîãäà ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìådet AB = DB (A) = DB (E) · det A = det B · det A.Èäåÿ òðåòüåãî äîêàçàòåëüñòâà. Âîçüì¼ì â Rn ëèíåéíî íåçàâèñèìûåâåêòîðû X1 , .

. . , Xn è îáîçíà÷èì ÷åðåç Vol (X1 , . . . , Xn ) îðèåíòèðîâàííûé îáú¼ì n-ìåðíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà íà íèõ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òîVol (AX1 , . . . , AXn )= det A.Vol (X1 , . . . , Xn )Íåîñîçíàííî, ìû óæå âñòðå÷àëè ýòî ðàâåíñòâî ïðè n = 3, âû÷èñëÿÿñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå â êîîðäèíàòàõ. Îïðåäåëèòåëü îñìûñëèâàåòñÿêàê êîýôôèöèåíò èñêàæåíèÿ îáú¼ìà, à ïðè êîìïîçèöèè ïðåîáðàçîâàíèé òàêèå êîýôôèöèåíòû óìíîæàþòñÿ.6.3.Êðèòåðèé íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöûÐàâíîñèëüíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ íà n × n ìàòðèöó A:(1) det A 6= 0;(2) rk A = n;(3) ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìàòðèöà A−1 , ÷òî AA−1 = A−1 A = E .Òåîðåìà.66Îïðåäåëåíèå.Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÅñëè ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû, òî ìàòðèöó A íàçûâàþòà ìàòðèöó A−1 îáðàòíîé ê A.íåâûðîæäåííîé,Äîêàçàòåëüñòâî.(1 ⇒ 2) Åñëè rk A < n, òî õîòÿ áû îäíà èç ñòðîê Aåñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ äðóãèõ.

Òîãäà ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè òèïà (R20 ) ìîæíî ïîëó÷èòü íóëåâóþ ñòðîêó, ò. å. det A = 0 ïîñâîéñòâàì (D5) è (D7).(3 ⇒ 1) Ñëåäóåò èç òåîðåìû îá îïðåäåëèòåëå ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö.(2 ⇔ 3) Ìû óæå ðàññìîòðåëè (íà ñåìèíàðàõ) ñïîñîá íàõîæäåíèÿA−1 êàê ðåøåíèÿ ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ AX = E ; îí ðàáîòàåò òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà rk A ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé.Èìååòñÿ ÿâíàÿ ôîðìóëà äëÿ îáðàòíîé ìàòðèöû. Îáîçíà÷èì ÷åðåçA∨ òðàíñïîíèðîâàííóþ ìàòðèöó àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé, ò. å. ìàòi+jðèöó ñ ýëåìåíòàìè a∨Mji (A).