1611141305-7f1143a6985669faf6b24b542f487874 (Ульянов 2009 Конспект лекций по алгебре и геометрии)

ôåäåðàëüíîå àãåíòñòâî ïî îáðàçîâàíèþíîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÔèçè÷åñêèé ôàêóëüòåòÀ. Ï. ÓëüÿíîâÊîíñïåêò ëåêöèéïî ëèíåéíîé àëãåáðå è ãåîìåòðèè×àñòü IÓ÷åáíîå ïîñîáèåïî êóðñó ëèíåéíîé àëãåáðû è ãåîìåòðèèÍîâîñèáèðñê2009Ãëàâà 1. Âåêòîðíàÿ àëãåáðàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.3Ãëàâà 1. ÂÅÊÒÎÐÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ1.1.Âåêòîðû â ïðîñòðàíñòâåÎïðåäåëåíèå âåêòîðà. Çíàêîìÿñü ñ âåêòîðàìè, ìû îïèðàåìñÿ íà èç-âåñòíûå èç ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè ïîíÿòèÿ: ïðîñòðàíñòâî ñ ñîäåðæàùèìèñÿ â í¼ì òî÷êàìè, ïðÿìûå, ïëîñêîñòè. Åäèíèöó èçìåðåíèÿ äëèíáóäåì ñ÷èòàòü âûáðàííîé ðàç è íàâñåãäà.Îïðåäåëåíèå.Âåêòîðîì íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà òî÷åê. Ïåðâàÿòî÷êà åñòü íà÷àëî âåêòîðà, à âòîðàÿ åãî êîíåö.

Åñëè íà÷àëî è êîíåöâåêòîðà ñîâïàäàþò, òî ýòî íóëåâîé âåêòîð; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âåêòîðìîæíî ïðåäñòàâèòü íàïðàâëåííûì îòðåçêîì.Ðàññòîÿíèå ìåæäó íà÷àëîì è êîíöîì âåêòîðà íàçûâàþò åãî äëèíîé,ìîäóëåì, ëèáî àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé.Ïðèìåð.Ìíîãèå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ âåêòîðàìè: ïåðåìåùåíèå, ñêîðîñòü, óñêîðåíèå, ñèëà. . .Âåêòîðû îáîçíà÷àþò ñòðåëî÷êàìè íàä áóêâàìè (~a, íà ïèñüìå) ëèáîæèðíûì øðèôòîì (a, â êíèãàõ è ýòîì êîíñïåêòå). Äëèíó âåêòîðà aîáîçíà÷àþò |a|.Íà÷àëî âåêòîðà òàêæå íàçûâàþò åãî òî÷êîé ïðèëîæåíèÿ. Ðàçëè÷àþòâåêòîðû ïðèëîæåííûå è ñâîáîäíûå. Ñâîáîäíûìè âåêòîðàìè ïîëüçóþòñÿ, êîãäà íàïðàâëåíèå è äëèíà ñóùåñòâåííû, à òî÷êà ïðèëîæåíèÿ áåçðàçëè÷íà.

Ýòî îáû÷íàÿ ñèòóàöèÿ â ìàòåìàòèêå, ãäå ïîýòîìó ïðèíÿòîíàçûâàòü âåêòîðàìè èìåííî ñâîáîäíûå âåêòîðû, à ïðè ðàññìîòðåíèèïðèëîæåííîãî âåêòîðà ââîäèòü óòî÷íåíèå îáîðîòîì ¾âåêòîð, îòëîæåííûé îò òî÷êè¿.  ýòîì êóðñå ìû ñëåäóåì ìàòåìàòè÷åñêîìó óïîòðåáëåíèþ. Èòàê, âåêòîð ìîæíî ñâîáîäíî ïåðåíîñèòü îò îäíîé òî÷êèïðèëîæåíèÿ ê äðóãîé, à.ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ïåðåíîñà âåêòîðñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì èñõîäíîìóÎïåðàöèè ñ âåêòîðàìè. Ñëîæåíèå äâóõ âåêòîðîâ a è b âûïîëíÿåòñÿïî ïðàâèëó òðåóãîëüíèêà: îòêëàäûâàåì b îò êîíöà a, è òîãäà íà÷àëîì èêîíöîì a + b áóäóò íà÷àëî a è êîíåö b.

Èíîãäà óäîáíåå ðàâíîñèëüíîåïðàâèëî ïàðàëëåëîãðàììà: a + b åñòü äèàãîíàëü ïàðàëëåëîãðàììà ñîñòîðîíàìè a è b.ba+babaaa+bb+cbc4Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÑëîæåíèå âåêòîðîâ îáëàäàåò àëãåáðàè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè, àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàì îáû÷íîãî ñëîæåíèÿ ÷èñåë:(1) (a + b) + c = a + (b + c) äëÿ âñåõ âåêòîðîâ a, b, c;(2) a + b = b + a äëÿ âñåõ âåêòîðîâ a, b;(3) åñòü òàêîé âåêòîð 0, ÷òî a + 0 = a äëÿ êàæäîãî âåêòîðà a;(4) äëÿ êàæäîãî a åñòü òàêîé âåêòîð −a, ÷òî a + (−a) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. (1) Àññîöèàòèâíîñòü ãåîìåòðè÷åñêè î÷åâèäíà.Óòâåðæäåíèå.(2) Êîììóòàòèâíîñòü ãåîìåòðè÷åñêè î÷åâèäíà.(3) Ýòî íóëåâîé âåêòîð.(4) Âåêòîð −a ïîëó÷àåòñÿ èç a ïåðåñòàíîâêîé íà÷àëà è êîíöà.Óìíîæåíèå âåêòîðà a íà âåùåñòâåííîå ÷èñëî λ âûïîëíÿåòñÿ óìíîæåíèåì äëèíû a íà |λ|, à òàêæå èçìåíåíèåì íàïðàâëåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíîå â ñëó÷àå λ < 0.

Ïîýòîìó 1a = a è (−1)a = −a.Óìíîæåíèå âåêòîðîâ íà ÷èñëà îáëàäàåò àëãåáðàè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè, àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàì îáû÷íîãî óìíîæåíèÿ÷èñåë, ãäå âñå âåêòîðû è ÷èñëà ïðîèçâîëüíû:(1) 1a = a;(2) (λµ)a = λ(µa);(3) (λ + µ)a = λa + µa;(4) λ(a + b) = λa + λb.Äîêàçàòåëüñòâî. Âñ¼ ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî.Óòâåðæäåíèå.1.2.Áàçèñ è êîîðäèíàòûÄâà âåêòîðà, ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ò.

å. èìåþùèå îäèíàêîâûåèëè ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ, íàçûâàþò êîëëèíåàðíûìè. Òðè âåêòîðà, ëåæàùèå â îäíîé ïëîñêîñòè, íàçûâàþò êîìïëàíàðíûìè.Åñëè âåêòîðû a, b íå êîëëèíåàðíû, òî êàæäûé âåêòîð d, ëåæàùèé â îäíîé ïëîñêîñòè ñ íèìè, ïðåäñòàâëÿåòñÿ èõ êîìáèíàöèåé: d = αa + βb.Äîêàçàòåëüñòâî. ×åðåç íà÷àëî è êîíåö âåêòîðà d ïðîâåä¼ì ïî ïðÿ-Óòâåðæäåíèå.ìîé, ïàðàëëåëüíîé êàæäîìó èç âåêòîðîâ a è b. Ñòîðîíû îáðàçîâàííîãî ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû αa è βb, ãäå êîýôôèöèåíòû íàõîäÿòñÿêàê îòíîøåíèÿ äëèí ñ ó÷¼òîì íàïðàâëåíèÿ.Åñëè âåêòîðû a, b, c íå êîìïëàíàðíû, òî êàæäûéâåêòîð d ïðåäñòàâëÿåòñÿ èõ êîìáèíàöèåé: d = αa + βb + γc.Óòâåðæäåíèå.Ãëàâà 1.

Âåêòîðíàÿ àëãåáðàbâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.5d = 54 b − 34 aaÄîêàçàòåëüñòâî. ×åðåç íà÷àëî è êîíåö âåêòîðà d ïðîâåä¼ì ïî ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé êàæäîé ïàðå âåêòîðîâ èç òðîéêè {a, b, c}. Ñòîðîíûîáðàçîâàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíû αa, βb è γc.Èòàê, âûáðàâ òðè íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðà, ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòüëþáîé âåêòîð ïðîñòðàíñòâà èõ êîìáèíàöèåé. Ïîýòîìó òàêóþ óïîðÿäî÷åííóþ òðîéêó {a, b, c} íàçûâàþò áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà. Êîýôôèöèåíòû α, β , γ ðàçëîæåíèÿ d = αa + βb + γc ïî ýòîìó áàçèñó íàçûâàþòêîîðäèíàòàìè âåêòîðà d îòíîñèòåëüíî âûáðàííîãî áàçèñà.Êîìïëàíàðíîñòü è ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü.

Åñëè âåêòîðû a, bè c êîìïëàíàðíû, òî õîòÿ áû îäèí èç íèõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êîìáèíàöèåé äâóõ äðóãèõ: c = αa + βb. Åñëè ñðåäè äàííûõ âåêòîðîâ íåòêîëëèíåàðíûõ, òî êàæäûé èç íèõ ïðåäñòàâëÿåòñÿ êîìáèíàöèåé äâóõäðóãèõ.Ñëåäóþùàÿ ðàâíîñèëüíàÿ ôîðìóëèðîâêà èçáåãàåò óñëîâíîñòåé è èñêëþ÷åíèé: âåêòîðû a, b, c êîìïëàíàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàíàéäóòñÿ òàêèå ÷èñëà α, β , γ , íå âñå ðàâíûå íóëþ, ÷òî êîìáèíàöèÿαa + βb + γc ðàâíà íóëåâîìó âåêòîðó.

Òàêàÿ ôîðìóëèðîâêà ëåãêî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ïðîèçâîëüíîå êîëè÷åñòâî âåêòîðîâ è îêàçûâàåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî óäîáíîé ïðè äàëüíåéøåì èçó÷åíèè ëèíåéíîé àëãåáðû.Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî {u1, . . . , un} âåêòîðîâ íàçûâàþò ëèíåéíî íåçà-âèñèìûì,åñëèα1 u1 + . . . + αn un = 0 =⇒ âñå αi ðàâíû íóëþ.ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàþò â ïðîòèâíîì ñëó÷àå: åñëèñóùåñòâóþò òàêèå êîýôôèöèåíòû α1 , . . . , αn , íå âñå ðàâíûå íóëþ, ÷òîËèíåéíî çàâèñèìûìα1 u1 + . .

. + αn un = 0.Îðèåíòàöèÿ ïðîñòðàíñòâà. Âñå áàçèñû â ïðîñòðàíñòâå äåëÿòñÿ íàäâà êëàññà. ×òîáû óëîâèòü ðàçëè÷èå ìåæäó êëàññàìè, ïðåäñòàâèì,÷òî ïåðâûå äâà âåêòîðà, e1 è e2 , óæå âûáðàíû. Ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåçíèõ ïëîñêîñòü äåëèò ïðîñòðàíñòâî íà äâå ÷àñòè, à òðåòèé âåêòîð e3 ,îòëîæåííûé îò òîé æå òî÷êè, ÷òî è ïåðâûå äâà, äîëæåí ëåæàòü ïîîäíó ñòîðîíó îò ýòîé ïëîñêîñòè. Ïîâåðí¼ì e1 â íàïðàâëåíèè e2 ÷åðåçìåíüøèé èç îáðàçîâàííûõ èìè äâóõ óãëîâ. Ñ êîíöà e3 ýòî âðàùåíèå6Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèe3e2e1e3e2e1áóäåò êàçàòüñÿ èäóùèì ëèáî ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, ëèáî ïðîòèâ. Áàçèñ{e1 , e2 , e3 } ïðèíÿòî íàçûâàòü ëåâûì â ïåðâîì ñëó÷àå è ïðàâûì âîâòîðîì.Äëÿ íåêîòîðûõ ïîñòðîåíèé íåîáõîäèìî ðåøèòü, áàçèñû êàêîãî èçäâóõ êëàññîâ ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûìè, à êàêîãî îòðèöàòåëüíûìè.Ýòîò âûáîð íàçûâàåòñÿ âûáîðîì îðèåíòàöèè ïðîñòðàíñòâà, à êîãäà îíñäåëàí, ïðîñòðàíñòâî íàçûâàþò îðèåíòèðîâàííûì.

Êàê ïðàâèëî, ïîëîæèòåëüíûìè ñ÷èòàþòñÿ ïðàâûå áàçèñû. îðèåíòèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå ïîíÿòèå îáú¼ìà äîïîëíÿþò áîëååòîíêèì ïîíÿòèåì îðèåíòèðîâàííîãî îáú¼ìà. Äîñòàòî÷íî ââåñòè åãî äëÿïàðàëëåëåïèïåäîâ. Åñëè áàçèñ ïîëîæèòåëåí, òî îðèåíòèðîâàííûé îáú¼ì ïîñòðîåííîãî íà í¼ì ïàðàëëåëåïèïåäà ïîëîæèòåëåí è ðàâåí îáû÷íîìó îáú¼ìó; äëÿ îòðèöàòåëüíûõ áàçèñîâ îðèåíòèðîâàííûé îáú¼ì îòëè÷àåòñÿ îò îáû÷íîãî ñâîèì îòðèöàòåëüíûì çíàêîì.1.3.Ñêàëÿðíîå, ñìåøàííîå è âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèÿ ýòîì ðàçäåëå ãåîìåòðè÷åñêè îïðåäåëåíû íàçâàííûå îïåðàöèè èîòìå÷åíû èõ ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà: ïîâåäåíèå ïðè ïåðåñòàíîâêàõ àðãóìåíòîâ, ïðè óìíîæåíèè îäíîãî àðãóìåíòà íà ÷èñëî, à òàêæå äèñòðèáóòèâíîñòü îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ, âåäóùàÿ ê ëèíåéíîñòè ïî êàæäîìóàðãóìåíòó.Âî âñåõ òð¼õ ñëó÷àÿõ íåñëîæíî ïðîâåðèòü ãåîìåòðè÷åñêè ïåðâûåäâà ñâîéñòâà.

Äîêàçàòåëüñòâà äèñòðèáóòèâíîñòè êàæäîãî ïðîèçâåäåíèÿ îòñðî÷åíû â öåëÿõ ñêîðåéøåãî äîñòèæåíèÿ êîîðäèíàòíûõ ôîðìóëäëÿ ðàáîòû ñ ýòèìè ïðîèçâåäåíèÿìè.Îïðåäåëåíèå.Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a è b, óãîë ìåæäóêîòîðûìè ðàâåí ϕ, íàçûâàþò ÷èñëî |a| · |b| cos ϕ. õîäó íåñêîëüêî îáîçíà÷åíèé äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. ×àùåâñåãî ýòî a · b ëèáî (a, b).Êîãäà a = √b, ïîëó÷àåì ñâÿçü ñêàëÿðíîãî êâàäðàòà âåêòîðà ñ åãîäëèíîé: |a| = a · a.Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè, ãäå âñå âåêòîðû è ÷èñëà ïðîèçâîëüíû:Óòâåðæäåíèå.Ãëàâà 1. Âåêòîðíàÿ àëãåáðà(1)(2)(3)(4);âåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.a·b=b·a(λa) · b = λ(a · b)(a1 + a2 ) · b = a1 · b + a2 · b(λ1 a1 + λ2 a2 ) · b = λ1 (a1 · b) + λ2 (a2 · b);;Äîêàçàòåëüñòâî.7.(1) Ôîðìóëà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íå ÷óâñòâèòåëüíà ê ïåðåñòàíîâêå âåêòîðîâ.(2) Ïðè óìíîæåíèè âåêòîðà a íà λ > 0 íà ýòî æå ÷èñëî óìíîæèòñÿåãî äëèíà.

Ïðè óìíîæåíèè íà λ < 0 èçìåíèòñÿ òàêæå íàïðàâëåíèå, òàê÷òî âìåñòî óãëà ϕ áóäåò óãîë π − ϕ. Ïîñêîëüêó cos(π − ϕ) = − cos ϕ,òðåáóåìîå ðàâåíñòâî ñîõðàíèòñÿ.(3) Äîêàçàòåëüñòâî äèñòðèáóòèâíîñòè íåñêîëüêî äëèííåå. Îòëîæèìåãî äî ñëåäóþùåé ëåêöèè.(4) Íóæíî ïðèìåíèòü (3) è (2).Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî â óòâåðæäåíèè óêàçûâàåò íà ïîâåäåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, êîãäà â ïåðâûé åãî àðãóìåíò ïîäñòàâëåíà ëèíåéíàÿêîìáèíàöèÿ: îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ïðîâåñòè âû÷èñëåíèÿ îòäåëüíîäëÿ êàæäîãî ñëàãàåìîãî, âûíîñÿ êîýôôèöèåíòû. Ýòî î÷åíü óäîáíîåè âàæíîå ñâîéñòâî íàçûâàþò ëèíåéíîñòüþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ(ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó).

Ââèäó âîçìîæíîñòè ïåðåñòàâëÿòü àðãóìåíòû, èìååòñÿ ëèíåéíîñòü è ïî âòîðîìó àðãóìåíòó. Ïîýòîìó ãîâîðÿò, ÷òîñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå áèëèíåéíî.Îïðåäåëåíèå. Ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì òð¼õ âåêòîðîâ a, b, c íàçûâà-þò ÷èñëåííîå çíà÷åíèå îðèåíòèðîâàííîãî îáú¼ìà ïàðàëëåëåïèïåäà íàýòèõ âåêòîðàõ.  êîìïëàíàðíîì ñëó÷àå îíî ðàâíî íóëþ.Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå îáîçíà÷àþò ÷åðåç (a, b, c).Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè, ãäå âñå âåêòîðû è ÷èñëà ïðîèçâîëüíû:(1) ïðè ïåðåñòàíîâêàõ ìåíÿåòñÿ çíàê, òî åñòüÓòâåðæäåíèå.(a, b, c) = −(b, a, c) = (b, c, a) = −(c, b, a) = (c, a, b) = −(a, c, b);;(2) (λa, b, c) = λ(a, b, c)(3) (a1 + a2 , b, c) = (a1 , b, c) + (a2 , b, c)(4) (λ1 a1 + λ2 a2 , b, c) = λ1 (a1 , b, c) + λ2 (a2 , b, c);.8Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÄîêàçàòåëüñòâî.(1) Òàêèå ïåðåñòàíîâêè íå ìåíÿþò ïàðàëëåëåïèïåä,íî ïîðÿäîê âåêòîðîâ îïðåäåëÿåò ¾ïðàâîñòü¿ èëè ¾ëåâîñòü¿ ñîñòàâëåííîãî èç íèõ áàçèñà.(2) Ïðè óìíîæåíèè îäíîé ñòîðîíû íà λ, îáú¼ì ïàðàëëåëåïèïåäàóìíîæàåòñÿ íà |λ|.

Åñëè λ < 0, òî îðèåíòàöèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíóþ.(3) Îòëîæèì äîêàçàòåëüñòâî è ýòîé äèñòðèáóòèâíîñòè.(4) Íóæíî ïðèìåíèòü (3) è (2).Ââèäó âîçìîæíîñòè ïåðåñòàâëÿòü àðãóìåíòû, ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíî ïî âñåì òð¼ì àðãóìåíòàì (òðèëèíåéíî).a×babÎïðåäåëåíèå.Âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a è b íàçûâàþò âåêòîð, îáîçíà÷àåìûé ÷åðåç a × b ëèáî [a, b], äëèíà è íàïðàâëåíèå êîòîðîãî îïðåäåëåíû ñëåäóþùèìè ïðàâèëàìè: åñëè a è b êîëëèíåàðíû, òîa × b = 0; èíà÷å äëèíà ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà ñîñòîðîíàìè a, b, òî åñòü |a × b| = |a| · |b| sin ϕ, à íàïðàâëåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî îáîèì âåêòîðàì a è b è òàêîâî, ÷òî a, b, a × b ÿâëÿåòñÿïîëîæèòåëüíûì áàçèñîì.Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè, ãäå âñå âåêòîðû è ÷èñëà ïðîèçâîëüíû:(1) a × b = −b × a;(2) (λa) × b = λ(a × b);(3) (a1 + a2 ) × b = a1 × b + a2 × b;(4) (λ1 a1 + λ2 a2 ) × b = λ1 (a1 × b) + λ2 (a2 × b).Äîêàçàòåëüñòâî.

(1) Âåêòîð a × b îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè, õàðàêÓòâåðæäåíèå.òåðèçóþùèìè ïðîèçâåäåíèå b × a, çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî b, a, a × ba×bab− 23 a × b− 23 aÃëàâà 1. Âåêòîðíàÿ àëãåáðàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.c9a×babîáðàçóþò îòðèöàòåëüíûé áàçèñ. Ïîýòîìó äëÿ b × a íå îñòà¼òñÿ äðóãîéâîçìîæíîñòè, êðîìå êàê ðàâíÿòüñÿ −a × b.(2) Ïðè λ > 0 íàáëþäàþòñÿ ëèøü èçìåíåíèå äëèíû è ñîîòâåòñòâóþùåå èçìåíåíèå ïëîùàäè, à ïðè λ < 0 íàáëþäàåòñÿ òàêæå èçìåíåíèåíàïðàâëåíèé ïåðâîãî ñîìíîæèòåëÿ è âñåãî ïðîèçâåäåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûå.(3) Îòëîæèì.(4) Íóæíî ïðèìåíèòü (3) è (2).Óòâåðæäåíèå.íîå è âåêòîðíîå:Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñêàëÿð(a, b, c) = a · (b × c) = (a × b) · c.Ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ òåðìèí ¾ñìåøàííîå¿.Äîêàçàòåëüñòâî.  íåêîìïëàíàðíîì ñëó÷àå, ïðåäñòàâèâ îáú¼ì ïàðàëëåëåïèïåäà êàê ïðîèçâåäåíèå ïëîùàäè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó:|a × b| · |c| cos θ,ãäå θ åñòü óãîë ìåæäó a × b è c, ïîëó÷àåì ñîâïàäåíèå àáñîëþòíûõâåëè÷èí |(a, b, c)| = |(a × b) · c|.