1611141305-0a78c1521f65e236f66120852de34a0c (Конспек лекций 2016)

Âîïðîñû ê ýêçàìåíó ïî ëèíåéíîé àëãåáðåâ îñåííåì ñåìåñòðå 2015 2016 ó÷.ã.äëÿ ñòóäåíòîâ I êóðñà ÔÔ ÍÃÓ1. Ìàòðèöûîïðåäåëåíèå, âèäû ìàòðèö. Äåéñòâèÿ ñ ìàòðèöàìèñðàâíåíèå, ñëîæåíèå, óìíîæåíèå íà ÷èñëî. Óìíîæåíèå ìàòðèö. Òðàíñïîíèðîâàíèå.2. Îïðåäåëèòåëè êâàäðàòíûõ ìàòðèö 2-ãî è 3-ãî ïîðÿäêîâ,òåîðåìà î ðàçëîæåíèè ïî ñòðîêåèëè ñòîëáöó. Ôîðìóëû Êðàìåðà äëÿ ñèñòåìû äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè.3.

Ãåîìåòðè÷åñêèé âåêòîð êàê íàïðàâëåííûé îòðåçîê. Äëèíà âåêòîðà. Íóëåâîé âåêòîð. Îïåðàöèè ñ íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè: ñðàâíåíèå, ñëîæåíèå è óìíîæåíèå íà ÷èñëî.4. Îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà âåêòîðîâ, ñâîáîäíûé âåêòîð. Ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îïåðàöèé ñ âåêòîðàìè.5. Êîëëèíåàðíûå è êîìïëàíàðíûå âåêòîðû. Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü è íåçàâèñèìîñòü âåêòîðîâ. Òåîðåìû î ëèíåéíî çàâèñèìûõ âåêòîðàõ.6. Áàçèñ íà ïðÿìîé, íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå. Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà ïî áàçèñó. Îïðåäåëåíèå îðòîãîíàëüíîãî è îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà.7. Êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèå âåêòîðîâ.

Äåéñòâèÿ ñ âåêòîðàìè â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè âåêòîðîâ â êîîðäèíàòíîìïðåäñòàâëåíèè.8. Îáùàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ðàäèóñâåêòîðè êîîðäèíàòû òî÷êè. Íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû.9. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ïðåäñòàâëåíèå ñêàëÿðíîãîïðîèçâåäåíèÿ â êîîðäèíàòàõ. Âûðàæåíèå äëèíû è óãëà ìåæäó âåêòîðàìè ÷åðåç ñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèå.10.

Îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ òî÷êè íà ïðÿìóþ. Îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà îñü è ååñâîéñòâà.11. Ëåâàÿ è ïðàâàÿ òðîéêè âåêòîðîâ. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå è åãî ñâîéñòâà.12. Ãåîìåòðè÷åñêîå ïîñòðîåíèå âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèå âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå.13. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òðîéêè âåêòîðîâ . Ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ.14. Êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå.Äâîéíîå âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå. Òîæäåñòâî Ëàãðàíæà.

Òîæäåñòâî ßêîáè.15. Ïðåîáðàçîâàíèå äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå. Ìàòðèöàïåðåõîäà. Ôîðìóëû ïåðåõîäà. Ïîâîðîò íà ïëîñêîñòè â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.16. Âåêòîðíîå è îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè. Ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè.17. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè òî÷êè. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â îòðåçêàõ.

Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè.118. Ïàðàìåòðè÷åñêèå è êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå òî÷êè. Ïðÿìàÿ êàê ïåðåñå÷åíèå äâóõ ïëîñêîñòåé.19. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïëîñêîñòåé. Óãîë ìåæäó ïðÿìûìè. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ.

Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ.20. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé. Ðàññòîÿíèå ìåæäóïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ.21. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè. Îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð ê äâóì ñêðåùèâàþùèìñÿ ïðÿìûì.22. Êðèâûå âòîðîãî ïîðÿäêà êàê êîíè÷åñêèå ñå÷åíèÿ. Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ïîëÿðíûåóðàâíåíèÿ êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà: ýëëèïñà, ãèïåðáîëû, ïàðàáîëû. Ôîêóñû è äèðåêòðèñû, ýêñöåíòðèñèòåò.23. Ýëëèïñêàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå, ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà.24. Êàñàòåëüíàÿ ê ýëëèïñó, îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ýëëèïñà.25. Ãèïåðáîëàêàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå, ôîêàëüíîå ñâîéñòâî. Êàñàòåëüíàÿ ê ãèïåðáîëå, îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî.26.

Ïàðàáîëàêàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå, ôîêàëüíîå ñâîéñòâî. Êàñàòåëüíàÿ ê ïàðàáîëå, îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ïàðàáîëû.27. Êðèâûå âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðèâåäåíèå îáùåãî óðàâíåíèÿ êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó.28. Êîìïëåêñíûå ÷èñëàîïðåäåëåíèå, îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.29. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà.30. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ è ïîêàçàòåëüíàÿ ôîðìû êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.

Ôîðìóëà Ýéëåðà, ôîðìóëà Ìóàâðà.31. Èçâëå÷åíèå êîðíÿ èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.32. Êîëüöà è ïîëÿîïðåäåëåíèå, ïðèìåðû.33. Ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé. Äåëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ. Òåîðåìà Áåçó.34. Êîðíè ìíîãî÷ëåíà. ×èñëî êîðíåé ìíîãî÷ëåíà. Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû.35. Ôîðìóëû Âèåòà .36. Ðàöèîíàëüíûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè.37. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.Ïðèìåðû ñîâìåñòíûõ è íåñîâìåñòíûõ ñèñòåì.38. Ìåòîä Ãàóññà ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ñòóïåí÷àòûå ìàòðèöû.Çàâèñèìîñòüêîëè÷åñòâà ðåøåíèé îò êîëè÷åñòâà íåíóëåâûõ ñòðîê ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû è ðàñøèðåííîéìàòðèöû. Ñâîáîäíûå è áàçèñíûå ïåðåìåííûå.39. Âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà ñòðîê è ñòîëáöîâ.

Ëèíåéíûå êîìáèíàöèè. Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà.40. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü è íåçàâèñèìîñòü ñòðîê è ñòîëáöîâ. Êðèòåðèé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè.241. Îïðåäåëåíèå áàçèñà ïðîñòðàíñòâà ñòðîê(ñòîëáöîâ).Òåîðåìà î êîëè÷åñòâå âåêòîðîâ â áàçèñå è ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìå âåêòîðîâ. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè áàçèñà. Ðàçìåðíîñòüïðîñòðàíñòâà ñòðîê(ñòîëáöîâ). Òåîðåìà î äîïîëíåíèè äî áàçèñà.42. Ðàíã ìàòðèöû ïî ñòðîêàì è ïî ñòîëáöàì. Òåîðåìà î ðàâåíñòâå ðàíãà ïî ñòðîêàì è ïîñòîëáöàì.43. Òåîðåìà ÊðîíåêåðàÊàïåëëè.44. Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé.45.

Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ðåøåíèÿíåîäíîðîäíîé ñèñòåìû.46. Ïîäñòàíîâêè è ïåðåñòàíîâêè. Îïðåäåëåíèå îïðåäåëèòåëÿ.47. Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ 16.48. Òåîðåìà Ëàïëàñà î ðàçëîæåíèè îïðåäåëèòåëÿ.49. Ñâîéñòâà 8-10 îïðåäåëèòåëÿ( îïðåäåëèòåëü âåðõíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöû,îïðåäåëèòåëüìàòðèöû ñ óãëîì íóëåé).50. Òåîðåìà îá îïðåäåëèòåëå ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö.51.

Îáðàòíàÿ ìàòðèöàîïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà. Ïðèñîåäèíåííàÿ ìàòðèöà. Íàõîæäåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû ÷åðåç ïðèñîåäèíåííóþ.52. Íàõîæäåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèö.53. Ðåøåíèå ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé. Ôîðìóëû Êðàìåðà.54. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìûîïðåäåëåíèå, ìàòðè÷íàÿ çàïèñü, ðàíã êâàäðàòè÷íîé ôîðìû. Ïðåîáðàçîâàíèå êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ïðè ïåðåõîäå ê äðóãîìó áàçèñó. Êàíîíè÷åñêèé âèä. Ìåòîä Ëàãðàíæà.55. Çàêîí èíåðöèè êâàäðàòè÷íûõ ôîðì.56.

Ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü êâàäðàòè÷íûõ ôîðì, êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà.57. Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà: âèä è êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû:[1]Âèíáåðã Ý. Á.[2]Êîñòðèêèí À. È.[3]Óìíîâ À. Å.[4]Óëüÿíîâ À. Ï.[5]Äîëãóíöåâà È. À., Óëüÿíîâ À. Ï.àëãåáðå.Êóðñ àëãåáðû.Ââåäåíèå â àëãåáðó. ×àñòü I.Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ è ëèíåéíàÿ àëãåáðà.Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèè.Ïðàêòèêóì ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîéËåêòîð Êóäðÿâöåâà Íàòàëüÿ Àíàòîëüåâíà.30 äåêàáðÿ 2015 ã.3fn'"'l)'''"'iP"''t:r:"tiilf'r"I,,[lc,nr.11"""1".,ltsIr4 t,r./t tu.'-LLLrtt'",r1 fr;,.,C.r"i.Lu"r'):.o., J'tl)c'ij/'"c, ^ ',,' 1,..I!L\,,rC""!).,:;- -(if;ti,riiiCi..;1(u.cti,r , r i .

. , ' . c(. r , f , i . i . c , .trtiu'1cc"i:L.c'6'!Td;i.."'T ;'i;:-,-:::,r,:it'{i.,"f ,t.;t);i,r"i=,J;f/_:;;li'f , , ^\t , . - \,'l'r,\ verv,prc L(r\)iir*r,lX,f! i *,"p.u',10;:;ot,"-'^'y-fr,,,,:r",f:.,;,",.u'lttt,tt,,u., r)r lh.iv urlu3cp.,,ac,...-.-r,tcc"ri,..,1rt_/.f,c,r"<1.L,.crrrr.i.1i-r'1,".lLfi'rlwL1'*J1",.;,.rf,/.{r.<,rur!.{..r r.r';:,: u;:"-*'t (*:t:l),u- r!\ ,r,,,,ri,,,./rnr. ,r,^-lLufdr"r-,, rli - 'y, fr.r.c *f"{r1a,.c,; rif' l L c ' Y 1 le' i' l " " * Pr.l,r' \ r ,,f,r,""'::*f(u^t'lcJ,1,,.,tII'iclr'-1,ri.,,'iirutrJ /\c,"i:w"ct"iXt.v.**f,",(i'Ill:",i,,,{.t#!:,;,irI,*,rr,,,,1,iL _(q,uL;)'t.(l'dl:=\<-<q-{u6t^,.TJ )v-':S9 s dJ - < v^d'\a(l.

{ ^{-- 4S*'o\x*-< J - \__,:_s-> d-\3rf\S\:sC4\\dA-€6\E\o^F|v)3ag.-d55Q/F - <-\)- s J=a)l,e'--Jv.1-::a<,_J>o <ln | 'v\*{5 t t1-t > 57i-.1.: t. l lo - e\(5 1- t 5> Q{..J 5vi= - ?--=\|-I -:l d l- iJi€:\3t4J|:\l+}.c4N"J"'"-cti<a':aaIa'<.\&<152 .4.ga-stEE.4<<=r<=s--t\-a-,,.\t---1J- ? = _ --ld\.>:5.\q5- ->= a -v' =€_-+5-5,!)333.-,,2P(s )6 +-?-Yat:-or ,'_-->c\oq >>5a1l1-Lr?{ 6) f -=a+e_ <l6 i :ii-->'>s-aq>v;'1 :_lC:J3._2-9.s -c\d d 1'-,,"(->)_t:r <.a-<9:t;S, &L- --tr .

+4,{-+= d-=tJ -3^ '::r l 5t B)2<,-L'€ - ] . 'J.-lert3r<>e-.5i9=E'd---7T->td.---__*'\qq,I$l.a'-s-{i*i\to{it.--.r-ltkjr._-t-\'----zllg.\-3--.--.--.\c.ts ,-c c<1tcr--ql\vt Vri..(7.''oi. r < v l V J-i-1 -tsq.i->-r.l5c.a:}:'-o (,rg=;x,-9i.s sr s'\-\>"sqs,d) <d33EE:ttL{L{l,:\,.s".{\Y*---;ia.*-'---1 ^ ds; d"\J- ? Rags t,\s=l..----l*{i!^/-------\t/ -3_Q,* e C,i+-:5 ( ) 4g_-€. <-^1<1.J<")--.-.:tl-------"\-t .qrt Co Sr\'+_ (-o .o\-..--_?r^al \o '.J-i.l G, ,.-Vo;;-F-ld 55s-.- 6=4r^:;7' .? <\a-s?-7-.o-Y-a l5.---'Q=q-)=-.?3_< "?_-E-.SF,---'----.\-- *? ..) ,k)r_,"-l:.1rlE!EzV\a- .--r.-< .r.-€aaa5s+-=-=+<J=.st-<r' .o:J5-==\--:'-'/--\"F-&-=\2' ) s 5 c ,sL<v?F"-t€=->^'q*-L:t''.""-J2<-;€5e-a;iEIi^)<s(sfi) < :- s t&F_<> < :vF','.+J:=-)\A'\\.{Z-\ca <s<s s'11--__r\.Y,_.4,\-'-'/,--\xx\.---..2d ,qa5:=.:! , bL et- cJ*5\<.)5fJ A< -.t=*-\5,5'lJr-Pc i3.J JG< J : 3rC S:FUJsJt ?5r:i ql 6+,< s-:t-'l\\f.,oAo.E.5.<-E3ii/ =q-('{e+-5q J :;LVo'B, 4&;,--.