matan (Неопределенный интеграл)

1) (опр. первообразной. Сформулировать свойствапервообразной и неопределенного интеграла)Опр. Пусть f(x) и F(x)- заданы на пром.I F(x) назывпервообразной ф-ции f(x) если ∀ x ϵ I (F(x))’=f(x)Св-ва П 1)Если F(x)-первооб. f(x) то и F(x)+c явл.первооб. f(x) где С ϵ IR.2)Если ф-ции F(x) и G(x) –первообр одной и той же фции f(x) то F(x)-G(x)=C CϵIRСвойства НИ:1)Если F(x) первообр f(x), то и = + гдеС – произвольная константа2) ( )′ = ,3) = 4) 1() = + 5) = ∀ a ϵ IR, α ≠ 06) 1 + 2 = 1 + 2 4 (Св-ва опр. интеграла. Доказать теорему об оценкеопр. интеграла)- Св-ва : 1 Линейность: Пусть 1 () и 2 ()интегрируемы на *a,b], 1 и 2 – произвольн.числа.Тогда 1 1 ()+ 2 2 () так же интегр. на *a,b];А1 1 + А2 2 = А12)(Разложение правильной рациональной дроби напростейшие.

Интегрирование простейших дробей)-Любую правильн. рац.дробь вида . = ( −1 ) 1 ( − 2 ) 2 … ( − ) ∙ ( 2 + 1 + 1 )1 ( 2 +1 + 2 )2 … ( 2 + + ) можно представить в виде суммы простейших рац.дробей +… 1 + 1−− 0∆=1|∆||1 0 + ∆0 0 + ∆ + ∆ − (0 ) 000 + ∆| 0( − (0 ))| ≤|∆|01 + ∆| 0| − (0 )|||∆| 0E| −1 | =2x0-, x0+) выполняется:E|f(t)-f(x0)|< 2|f t − f(x0)| |= |∆x|при|∆x|<:21 E∆ 2x0+∆ 2x02E|∆x|= <EE>0 >02такое, что при |∆x|< 0+∆ −(0)∆log ∆→0 |− (0)|<E  0+∆ −(0)∆− (0)|=09.

(Сформулировать и доказать теорему обинтегрировании подстановкой для определенногоинтеграла.)Пусть f(x) непрерывна на *a;b+, пусть ф(t) непрерывнодиф-ма на *α, β+ , тогда если a = ф(α) и b=ф(β), тосправедливо равенствоβ = α ф ф′().Док-во: Пусть F(x) первообразн. ф-ии f(x) на [a;b]эта первообр сущ-ет, поскольку f9x0 непрер. на[a;b]. Тогда F(ф(t))’ = F (ф(t)) ф’(t) = f(ф(t)) ф’(t).Применим формулу Ньютона-Лейбница: = − . Но также иf ϕ tϕ′ ⅆt =βα= ф | ф β − ф α = − ()следовательно : − = = ф ф′().+ ⋯+( 2 + + )2) ( 2 + +) =−2( 2 + +)= 2 + +2( 2 + +)+ − 1 + , = 1 = − 1 − 1−() ≥ 0-Доказательство( ) ≥ 0 поскольку=1 > 0 и f( )≥ 0∀ [a,b+, Переходя к пределу λ(τ)->0 получимтребуемое () ≥ 05.

Теорема (об интегрир. нерав.)Пусть функции 1 () и 2 () интегрируемы на отрезке+ , = 2,3. .−11 +тогда 2 + + = 2 = - Пусть функция f(x)интегрируема на отрезках *a, b+ тогда верно равенство4.Теорема (о сохранении определенным интеграломзнака подынтегральной функции)Пусть f(x) интегрируема на *a, b+ и f(x) ≥0 и ∀x Є*a,b],+ , = 2,3 … . .−12 + −+22( 2 + + )А1 1 + А2 2 = А1А2 2 2.Аддитивность.

Пусть функция f(x) интегрируема наотрезках *a, c+ и *c, b+. Тогда она интегрируема и наотрезке *a, b+, причем = () + ();3.Ориентирован. промежутка интегрир.[a, b], f1(x) ≤ f2(x) ∀x Є*a,b] . Тогда=( 2 + + )=2k 2 + 2 2 + 2 +1 2 + 2 2 + 2 2 + 2 =2 2= 2 + 2 2 − 4 )=+2==22 = − > 04( −4− 1 2 + 2 + 2k ( 2 + 2 +1= 2 + 2 2−+ 2 + 2 +1)dt =1+ 2k − 22 + 1=> +1 = 2 2 ∗+ 2 2 1( − ) ≤t5 (Св-ва опр.

интеграла. Доказать теорему об оценкемодуля опр. Интеграла)- Св-ва : 1 Линейность: Пусть 1 () и 2 ()интегрируемы на *a,b], 1 и 2 – произвольн.числа.Тогда 1 1 ()+ 2 2 () так же интегр. на *a,b];А1 1 + А2 2 = А11 + А27. Теорема (об оценке модуля определенногоинтеграла)Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке *a, b] .Тогда функция |f(x)| также интегрируема на этомотрезке, и() ≤() А1 1 + А2 2 = А11 + А22 2.Аддитивность. Пусть функция f(x) интегрируема наотрезках *a, c+ и *c, b+.

Тогда она интегрируема и наотрезке *a, b+, причем = ()( − )6 (Св-ва опр. интеграла. Доказать теорему о среднемдля опр. Интеграла)- Св-ва : 1 Линейность: Пусть 1 () и 2 ()интегрируемы на *a,b], 1 и 2 – произвольн.числа.Тогда 1 1 ()+ 2 2 () так же интегр. на *a,b];2 2.Аддитивность. Пусть функция f(x) интегрируема наотрезках *a, c+ и *c, b+.

Тогда она интегрируема и наотрезке *a, b+, причем() ≤ ( − )Однако 1 = 2 + 2 = arctg 4 + С , значит мы легкоможем найти , А в частности11t = 2 + 2 2 = 2 2 2 + 2 2 3 arctg + С1 () ≤ (); 26.Теорема (об оценке) Пусть f(x) интегрир. на *a,b+ иm≤f(X)≤M ∀x Є*a,b]8. Терема( о среднем) Пусть функция f(x) непрерывнана отрезке *a, b+ . Тогда ∃ξ ∈ [a, b+ такая, что2 −1 = () + ();3.Ориентирован. промежутка интегрир.

= () + ();3.Ориентирован. промежутка интегрир.f(x) по усл. непрерывна в x0  >0  >0: t(x0+∆x0E(0 )∆| =|∆|1+1 1 + 1 ) 1 + +….+ +)2 − 1 − 1 + =− (0 )) = 0∆ 0 +∆ −( 0 )β 0 +∆ −( 0α + + ⋯+++ ⋯ + ( 21+1 2 + 1 + 1+ ( 2 +=lim∆→0 (b 21 −2Интегрирование простейших дробей1) − 1 − 1 + , = 17)(Определение интеграла с переменнымверхним пределом.Доказать теорему о производной от интегралапо его верхнему пределу.)Опр.: Пусть f(x) интегр.на *a,b+,тогда x[a,b]опр.интегралом F(x)=x∫af(t)dt,который назыв.интегралом с переменнымверхним пределом.Теорема: Пусть f(x) интегр.на *a,b+ и f(x)непрерывна в некой точке x0[a,b+,тогда F(x)=x∫af(t)dtдиф-ема в x0 и F’(x0)=f(x0)Док-во: Достаточно док-ть, чтоa +( −1 ) 1(− ) 12 +122 = - Пусть функция f(x)интегрируема на отрезках *a, b+ тогда верно равенствоТеорема: Пусть f(x) интегрируема на *а;b+ и m≤f(x)≤Mдля любых х принадлежащих *a;b+, тогда:m(b-a)≤ b∫a f(x)dx≤M(b-a)Док-во: (Из теоремы об интегр.

неравенств) следует,что если m≤f(x)≤M для любых х принадлежащих*a;b+ тоb∫amdx≤b∫af(x)dx≤b∫aMdx -> m(b-a)≤ b∫a f(x)dx≤M(b-a)| 1 1+ ⋯++⋯+ 2 + 2 2 + + = () + ();3.Ориентирован. промежутка интегрир. 1 −+ ⋯+ 2 + 1 + 12.Аддитивность.

Пусть функция f(x) интегрируема наотрезках *a, c+ и *c, b+. Тогда она интегрируема и наотрезке *a, b+, причем 12 −1 2+ −1(−2 ) 211 +111 + А2 11= 1 23) (свойства опр. интеграла. Доказать теорему осохранении определенным интегралом знакаподынтегральной функции)- Св-ва : 1 Линейность: Пусть 1 () и 2 ()интегрируемы на *a,b], 1 и 2 – произвольн.числа.Тогда 1 1 ()+ 2 2 () так же интегр. на *a,b]; = - Пусть функция f(x)интегрируема на отрезках *a, b+ тогда верно равенствоТеорема: Пусть f(x) интегрируема на *a;b+, тогда |f(x)|так же интегрируем на *a;b+ при этом| b∫a f(x)dx|≤ b∫a |f(x)|dxДок-во: Интегрируемость |f(x)| очевидна следует изтого, что если f(x) интегр.

на *a;b+ то и –f(x) интегр.на[a;b]Запишем очевидное нер-во |N∑i=1 f(c)∆xi|≤ N∑i=1|f(c)|∆xiПоскольку для любых а1….аn принадлежащих R|a1+…..+an|≤|a1|+….+|an|Переходя к пределу λ(r)->0 получим : | b∫a f(x)dx|≤ b∫a|f(x)|dx = - Пусть функция f(x)интегрируема на отрезках *a, b+ тогда верноравенствоТеорема: Пусть f(x) непрерывна на *a;b+, тогда существуетс принадлежащие *a;b+ такое что b∫af(x)dx=f(c)(b-a)Док-во: Из свойства ф-ий непрерывных на отр. следует,что f(x) достигает на *a;b+ своего максимума М иминимума m. И принимает все значения на *m;M](m≤f(x)≤M) для любых х принадлежавших *a;b]->(Изтеоремы об интегр. неравенств)m(b-a)≤ b∫a f(x)dx≤M(b-a) --> m≤ b∫a f(x)dx*(1/(b-a))≤M -->существует с принадлежащие *a;b+ такое чтоb∫a f(x)dx*(1/(b-a))=f(c) --> b∫af(x)dx=f(c)(b-a)8.

(Сформулировать свойства определенногоинтеграла. Вывести формулу Ньютона-Лейбница.)- Св-ва : 1 Линейность: Пусть 1 () и 2 ()интегрируемы на *a,b], 1 и 2 – произвольн.числа.Тогда 1 1 ()+ 2 2 () так же интегр. на *a,b];10.(Сформулировать и доказать теорему об интегрир.По частям для опр. интеграла.)Пусть u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на*a;b+, тогда справедливо равенствоА1 1 + А2 2 = А11 +А2 2 2.Аддитивность. Пусть функция f(x) интегрируема наотрезках *a, c+ и *c, b+. Тогда она интегрируема и наотрезке *a, b+, причем =() +();3.Ориентирован.

промежутка интегрир. = - Пусть функция f(x) интегрируема наотрезках *a, b+ тогда верно равенство.Теорема (формула Ньютона-Лейбница)Пусть f(x) непрерывна на отрезке *a,b+ и φ (x) — какаялибо первообразная функции f(x) на отрезке *a,b+. Тогдасправедлива формула Ньютона-Лейбница =φ − φ(a)Док-во: Интеграл с переменным верхним пределом = также будет первообразной функцииf(x) на отрезке *a,b+. Две первообразные отличаются наконстанту φ − = Подставим x=a, получим φ −=> φ(a)=C, имеем φ −Подставим x=b, получим φ −φ()=> = = φ() = φ − φ =bu(x) v’(x)dx =u(x) v(x)Iab aДок-во:bau’(x) v(x)dxbРассмотрим функцию f(x)=u(x) v(x)- a u’(t) v(t)dt.Найдем производную: (F(x))’= u’(x) v(x)+x+u(x)v’(x)-( a u’(t) v(t)dt)’= u’(x)v(x)+u(x)v’(x)-u’(x)v(x)=u(x)v’(x) (по т. о произв.

Интеграла с перем. Верхнимxпределом) : ( a u’(t) v(t)dt)’= u’(x)v(x) => F(x)первообразная функции u(x)v’(x)Применим формулу Ньютона Лейбница :bau(x) v’(x)dx= F(x) Iab = u(x) v(x)Iab -bau’(x) v(x)dx11. (Сформулировать свойства определенногоинтеграла. Интегрирование периодических функций,интегрирование четных и нечетных функций наотрезке, симметричном относительно началакоординат.) Свойства в билетах:3,5,6,8!!Пусть f(x) — периодическая с периодом T функция.Тогда, если f(x) непрерывна на каком-либо отрезкедлины Т, то она непрерывна на всей числовой прямой и +интеграл не зависит от a.Док-во: Докажем первое утверждение от противного.Пусть x0 – точка разрыва f(x). Тогда в силу еёпериодичности x0+Tn — также точка разрыва f(x) ∀ ∈.

Следовательно, не существует отрезка длины Т, накотором f(x) непрерывна. Противоречие: f(x) не имеетточек разрыва. +Запишем очевидное равенство: =0 + + 0 + В последнем интеграле сделаем замену: x=t+T, A=0, +B=a, dx=dT и = 0 + = 0 , +т.к. f(t+T)=f(t)(T—период)=>0 +0 =00 =0 + +Т.е.