1610912332-55c8b34afc514a9f02c988c750967f05 (Никольский С. М. Курс математического анализа Том 2 (3-е_издание) 1983)

С.М.НикольскийКУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗАТОМ 2Учебникдлястудентовфизическихимеханико-математическихспециальностей вузов. Написан на основе курса лекций, читаемого автором вМосковском физико-техническом институте. Фактически принят кап учебноепособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.Второй том содержит кратные интегралы, теорию поля, ряды Фурье иинтеграл Фурье, обобщенные функции, дифференцируемые многообразия,дифференциальные формы, интеграл Лебега — Стилтьеса.СодержаниеПредисловие ко второму изданию7Предисловие к третьему изданию8Глава 12.

Кратные интегралы912.1. Введение912.2. Квадрируемые по Жордану множества1112.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств1812.4. Еще один критерий измеримости множества. Полярные координаты1912.5. Измеримые по Жордану трехмерные и n-мерные множества2012.6. Понятие кратного интеграла2412.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема2712.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измеримом33множестве.

Другие критерии12.9. Множество лебеговой меры нуль3412.10. Доказательство теоремы Лебега. Интегрируемость и ограниченность36функции12.11. Свойства кратных интегралов3812.12. Сведение кратного интеграла к интегралам по отдельным переменным 4112.13. Непрерывность интеграла по параметру4712.14. Геометрическая интерпретация знака определителя4912.15. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай5112.16. Замена переменных в кратном интеграле5312.17. Доказательство леммы 1 §12.165612.18. Полярные координаты в плоскости5912.19.

Полярные в цилиндрические координаты в пространстве6112.20. Общие свойства непрерывных операций6312.21. Дополнение к теореме о замене переменных в кратном интеграле6412.22. Несобственный интеграл с особенностями вдоль границы области.Замена переменных12.23. Площадь поверхностиГлава 13.

Теория поля. Дифференцирование и интегрирование попараметру. Несобственные интегралы13.1. Криволинейный интеграл первого рода13.2. Криволинейный интеграл второго рода13.3. Поле потенциала13.4. Ориентация плоской области13.5. Формула Грина. Выражение площади через криволинейный интеграл13.6.

Интеграл по поверхности первого рода13.7. Ориентация поверхностей13.8. Интеграл по ориентированной плоской области13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса—Остроградского13.11. Ротор вектора. Формула Стокса13.12. Дифференцирование интеграла по параметру13.13. Несобственный интеграл13.14.

Равномерная сходимость несобственного интеграла13.15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной области13.16. Равномерно сходящийся интеграл с псременнои особой точкойГлава 14. Линейные нормированные пространства. Ортогональныесистемы14.1. Пространство С непрерывных функций14.2. Пространства L', L'p, L и lp66687575767986879093979910210911311512212813414214214414.3. Пространство L12 (L2)14814.4. Приближение финитными функциями14.5. Сведения из теории линейных множеств и линейных нормированныхпространств14.6.

Ортогональная система в пространстве со скалярным произведением14.7. Ортогонализация системы15116417514.8. Свойства пространств L12 (Ω) и L2 (Ω)17814.9. Полнота системы функций в С, L'2 и L'(L2, L)180Глава 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами15.1. Предварительные сведения18218215715.2. Сумма Дирихле15.3. Формулы для остатка ряда Фурье15.4. Леммы об осцилляции15.5. Критерии сходимости рядов Фурье. Полнота тригонометрическойсистемы функций15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье15.8.

Оценка остатка ряда Фурье15.9. Явление Гиббса15.10. Сумма Фейера15.11. Сведения из теории многомерных рядов Фурье15.12. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева15.13. Теорема Вейерштрасса15.14. Многочлены ЛежандраГлава 16. Интеграл Фурье.

Обобщенные функции16.1. Понятие интеграла Фурье16.2. Лемма об изменении порядка интегрирования16.3. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его функции16.4. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус и синуспреобразования Фурье16.5. Производная и преобразование Фурье16.6. Пространство S16.7. Пространство S' обобщенных функций16.8. Многомерные интегралы Фурье и обобщенные функции16.9. Ступенчатые финитные функции. Квадратические приближения16.10. Теорема Планшереля. Оценка сходимости простого интеграла16.11. Обобщенные периодические функцииГлава 17. Дифференцируемые многообразия и дифференциальныеформы17.1.

Дифференцируемые многообразия17.2. Край дифференцируемого многообразия и его ориентация17.3. Дифференциальные формы17.4. Формула СтоксаГлава 18. Дополнительные сведения18.1. Обобщенное неравенство Минковского18819119319720520721021121521822822923023323323623723924424525025926727227728428429430531532132118.2. Усреднение функции по Соболеву18.3. Свертка18.4.

Разбиение единицыГлава 19. Интеграл Лебега19.1. Мера Лебега19.2. Измеримые функции19.3. Интеграл Лебега19.4. Интеграл Лебега па неограничениом множества19.5. Обобщенная производная по Соболеву19.6. Пространство обобщенных функций D'19.7. Неполнота пространства L'p32332733033333334335038739040340619.8. Обобщение меры Жордана40819.9. Интеграл Римана—Стилтьеса41319.10. Интеграл Стилтьеса41419.11. Обобщенный интеграл Лебега42219.12. Интеграл Лебега—Стилтьеса42319.13.

Продолжение функции. Теорема Вейерштрасса431Глава 20. Линейные операторы и функционалы43520.1. Линейные операторы43520.2. Линейные функционалы43720.3. Сопряженное пространство43720.4. Линейный функционал в пространстве С непрерывных функций43720.5.

Линейный функционал в пространстве L интегрируемых функций44120.6. Линейный функционал в гильбертовом пространстве442Предметный указатель445Предметный указательАбсолютно непрерывная функцияБернулли многочлен 210396Бесконечномерное линейное- сходящийся интеграл 118множество 158Аддитивность интеграла Лобега 360Брауэра теорема 64- - Римана 33Буняковского неравенство 147- полная интеграла Лебега 365Бэта-функция 127Амплитуды гармоника 187Вейерштрасса теорема 125, 199, 229,Аппроксимация функции из Lp431Верхний интеграл Римана 29непрерывной финитной 151Верхняя интегральная сумма Лебега- - из h кусочно постоянной 151350Банахово пространство 142- - - Римана 27Вихрь (ротор) 81Внутренняя мера Жордана 13- - Лебега 338Второго рода криволинейныйинтеграл 78Гамма-функция 130Гармоника функции 186, 187Гаусса—Остроградского теорема 102Геометрическая интерпретация знакаопределителя 49Гёльдера неравенство 147Гиббса явление 211Гильбертово пространство 170Градиент функции 79Грина формула 87Двумерная мера 8Двойной интеграл Римана 8Дельта-функция 252Диаметр множества 7Дивергенция вектора 102Дирихле интеграл 189- сумма 188- ядро 189Дифференциальная форма 305- - (внешний дифференциал) 306Дифференциальный элементориентированной поверхности95Дифференцирование гамма-функции131- интеграл по параметру, 113, 124- ряда Фурье 207Дифференцируемые многообразия284Жорданова мера множества 13Замена переменных в интегралеЛебега 379- - в кратном интеграле 51—59- - в несобственном интеграле 66Замкнутость ортонормированнойсистемы 170Измеримость функции 343- множества по Жордану 15, 20- - по Лебегу 338- по Лебегу пересечения 339- - - суммы 339Инвариантное свойство интеграла помногообразию 311, 314Интеграл абсолютно сходящийся 118- Дирихле 189- криволинейный второго рода 76- - первого рода 75- Лебега 350- - на неограниченном множество 387- Лебега—Стилтьеса 423- несобственный 115- по ориентированной плоскойобласти 97- по поверхности первого рода 90- Римана верхний 29- - нижний 29- Римана—Стилтьеса 413- Стилтьеса 415- сходящийся равномерно 122, 134- Фурье 233, 259Интегрирование по параметру 123- ряда Фурье 207Интегрируемость модуля 39- непрерывной функции 33- произведения 39Интегрируемость суммы 39- частного 39Квадратичное приближение 267Квадрируемое по Жорданумножество 11, 18, 19Колмогорова пример 203Комплексная форма ряда Фурье 205,219Косинус преобразования Фурье 239Коши неравенство 147Коэффициент Фурье 165, 186, 263,278Край дифференцируемогомногообразия 294Криволинейный интеграл второгорода 76- - первого рода 75Кусочно постоянная функция 151Лежандра многочлены 230Лемма об осцилляции 193Линейно зависимая система 157- независимая система 157- - - элементов 157Линейное множество 157- нормированное пространство 142,157- - - полное 142- свойство интеграла Лебега 359- - - Римана 39Линейный функционал над D(обобщенная функция) 403- - над S 250- - над S* 278Липшица условие 197Лист Мебиуса 291Логарифмический потенциал 135,140Локально интегрируемая функция239- кусочно гладкая функция 240Мера Жордана 15, 408- Жордана открытого ограниченногомножества 334- Лебега 333, 338- Лебега замкнутого ограниченногомножества 334Минковского неравенство 148Многомерная сумма Фейера 219- - Фурье 218Многообразие, заданноепараметрически 285- ориентированное 291- ориентируемое 291Многочлены Бернулли 210- Лежандра 230- Чебышова 228Множество измеримое по Жордану15- - по Лебегу 338- лебеговой меры пуль 34- линейное бесконечномерное 158- плотное 159- полное 159Независимость криволинейногоинтеграла первого рода оториентации кривой 7- - - - - от ориентации поверхности 91Неполнота L'p 406Непрерывность кратного интегралапо параметру 47- равномерно сходящегося интеграла123Непрерывные операции 63Неравенство Буняковского 147- Гельдера 147- Коши 147- Парсеваля 167Неравномерно сходящийся интеграл125Несобственные интегралы 66, 73, 115Нижний интеграл Рима на 29Нижняя интегральная сумма Лебега350- - - Римана 27- ступенчатая функция 354Норма L' 144- L'p 144- lp 144Носитель функции 151- - компактный 151Ньютонов потенциал 135Обобщенная производная поСоболеву 390- функция над D 403- - над S 250- - над S* 278- - P1/x, 253Обобщенное неравенствоМинковского 321Обобщенные периодическиефункции 277Обратное преобразование Фурье 240Объем 9Объемный потенциал 135, 140Ограниченность интегрируемой поРиману функции 36Операция интегрирования по Риману10Описание поверхности 68, 69, 285Определенный интеграл Римана 10Ориентация плоской области 86- поверхности 93Ориентированное многообразие 291Ориентируемое многообразие 291Ортогонализация 175Ортогональная система элементов164Ортонормироваиная системаэлементов 164- - - замкнутая 176- - - полная 168Особенность интеграла 116Оценка остатка ряда Фурье 210, 225Парсеваля неравенство 167- равенство 167Планшереля теорема 272Площадь в полярных координатах 59- поверхности 68- - тора 73- - шара 73Поверхностный интеграл первогорода 90Повторное интегрирование 41Повторный интеграл Фурье 240Полигональная функция 159Полная аддитивность интегралаЛебега 365- система в пространстве 159Полное линейное нормированноепространство 142Полнота системытригонометрических функций197, 221Полярные координаты впространстве 61, 119- - на плоскости 19, 59Потенциал логарифмический 135,140- объемный 135, 140- простого слоя 135, 141Потенциальная функция вектора 79Поток вектора черезориентированную поверхность99Правило согласования ориентации301Преобразование ппремеппых вдифференциальной форме 307- Фурье 239- - обратное 240, 256- - прямое 240, 256Приближение в L'p непрерывнымифункциями 151- в L' непрерывными кусочнопостоянными функциями 151Признак Вейерштрасса равномернойсходимости несобственногоинтеграла 125Пример Колмогорова 203- неизмеримого по Жорданумножества 17Продолжение функции в метрике С431Произведение дифференциальныхформ 300Производная по Соболеву 244- преобразования Фурье 244Пространство Банаха 142- полное 142- сепарабельные 159- С 142- D' 403- L'(L) 144- - L1p (Lp) 144- L12 (L2) 148, 178- lp 144- S 245- S' 250- C*, L'*p (L*p) 185Процесс ортогонализаций системыэлементов 175Пуассона интеграл 134Равенство Парсеваля 167Равномерная сходимость интегралаФурье 234- - несобственного интеграла 122- - ряда Фурье 199Разбиение единицы 330Разность дифференциальных форм306- элементарных фигур 12Ротор вектора 81, 100Ряд Фурье 165, 182, 185- - в комплексной форме 205, 219- - многомерный 218- - расходящийся всюду 203Свертка 249, 282, 327Сепарабельное пространство 159Синус-преобразование Фурье 241Система элементов оргогональная164- - полная 159, 180Скалярное произведение 149Согласованность ориентации 281Спектр функции 186Стилтьеса интеграл 415Стокса формула 109, 315Ступенчатая функция 267Сумма Дирихле 188- дифференциальных форм 306- Фейера 215- Фурье 188- элементарных фигур 12Сходимость среднеквадратическая150Сходимость по мере 348- простого интеграла Фурье 238- равномерная несобственногоинтеграла 122Теорема Брауэра 64- Вейерштрасса 125, 229, 433- Гаусса—Остроградского 102- Лебега 34, 418- о полноте Lp (Е) 377- основная (для кратного интеграла)29- о среднем (интегральная) 40- Планшереля 272- Фубини 370, 389Трехмерные множества, измеримыепо Жордану 20Тригонометрический полином 184- ряд 190Тройной интеграл Римана 10Усреднения по Соболеву 323Фаза гармоники 187Фейера сумма 215Фигура 11Формула Грина 87- для остатка Фурье 191- Стокса 109, 315Фубини теорема 370, 389Функция абсолютно непрерывная396- бэта 127- гамма 130- измеримая 343Функция интегрируемая по Лебегу351- интегрируемая по Риману 26, 349- кусочно постоянная 151- локально абсолютно непрерывная397- кусочно гладкая 240- периодическая 182- полигональная 159- ступенчатая 351- суммируемая 352- финитная 151- Хевисайда 253- δ(x) 252Фурье интеграл 233- коэффициент 165, 186- преобразование 239- ряд 182, 185- (частичная) сумма 189Цилиндрические координаты 63Циркуляция вектора 78Частичная сумма Фурье 189Частота гармоники 187Чебышева многочлен 226Член ряда Фурье 186Элемент нормальный 164- (поверхности) дифференциальный72Элементарная фигура 11Явление Гиббса 188, 211Ядро Дирихле 189- Фейера 216.