1610912330-16504bbcb8e885441c8c6d287cff3c60 (Никольский С. М. Курс математического анализа Том 1 (3-е_издание) 1983)

С.М.НикольскийКУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗАТОМ 1Учебникдлястудентовфизическихимеханико-математическихспециальностей вузов написал на основе курса лекций, читаемого автором вМосковском физико-техническом институте. Фактически принят как учебноепособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.Первый том содержит дифференциальное исчисление функций одной имногих переменных, ряды и интегральное исчисление для функций однойцеремонной.СодержаниеПредисловие к первому изданию8Предисловие ко второму изданию11Предисловие к третьему изданию12Глава 1.

Введение131.1. Вступление131.2. Множество. Интервал, отрезок131.3. Функция161.4. Понятие непрерывности функции271.5. Производная301.6. Первообразная. Неопределенный интеграл361.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной фигуры38Глава 2. Действительное число432.1.

Рациональные n иррациональные числа432.2. Определение неравенства482.3. Определение арифметических действий492.4. Основные свойства действительных чисел522.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел. Длина55отрезка, физические величины2.6. Дополнение612.7. Неравенства для абсолютных величин632.8. Точные верхняя и нижняя грани множества64Глава 3. Предел последовательности663.1. Понятие предела последовательности663.2.

Арифметические действия с пределами703.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины723.4. Существование предела у монотонной ограниченнойпоследовательности3.5. Число e3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней множестваи сечения во множестве действительных чисел3.7. Подпоследовательности. Верхний и нижний пределы3.8.

Критерий Коши существования предела3.9. Теорема Вейерштрасса3.10. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел.Несчетность множества действительных чиселГлава 4. Предел функции4.1. Понятии продела функции4.2. Непрерывность функции в точке4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция4.4. Функции, непрерывные на отрезке4.5. Обратная функция4.6.

Показательная и логарифмическая функции4.7. Степенная функция xb4.8. Еще о числе esin x4.9. limx →0x4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика)Глава 5. Дифференциальное исчисление для функции одной переменной5.1. Производная5.2. Дифференциал функции5.3. Производная функции от функции5.4. Производная обратной функции5.5. Таблица производных простейших элементарных функций5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка5.7.

Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Локальныйэкстремум5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убыванияфункции на ннтервале. Достаточные критерии локальных экстремумов5.9. Формула Тейлора5.10. Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций5.11. Ряд Тейлора7476777986888992921001051091131161201211221231271271311331351381391431451501581625.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба5.13. Выпуклость кривой на отрезке5.14. Раскрытие неопределенностей5.15. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функцииГлава 6. n-мерное пространство.

Геометрия кривой6.1. n-мерное пространство. Линейное множество6.2. Евклидово n-мерное пространство. Пространство со скалярнымпроизведением6.3. Линейное нормированное пространстве6.4. Вектор-функция в n-мерном евклидовом пространстве6.5. Кривая в n-мерном пространстве6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции6.7. Длина дуги кривой6.8. Касательная. Нормаль к плоской кривой6.9. Кривизна и радиус кривизны кривой. Плоская кривая. Эволюта иэвольвента6.10. Соприкасающаяся плоскость и подвижный триэдр кривой6.11.

Асимптота6.12. Замена переменныхГлава 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных7.1. Открытое множество7.2. Предел функции7.3. Непрерывная функция7.4. Частные производные и производная но направлению7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость7.6. Производная сложной функции; производная по направлению; градиент7.7. Независимость от порядка дифференцирования7.8. Дифференциал функции.

Дифференциал высшего порядка7.9. Предельная точка. Теорема Вейерштрасса. Замкнутые и открытыемножества7.10. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутомограниченном множестве7.11. Продолжение равномерно непрерывной функции. Частная производнаяна границе области7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля7.13. Формула Тейлора1661681691741771771781811821851911921941962022072092112112142172212232272332352392452502512527.14. Формула Тейлора с остатком в форме Пеано.

Единственность7.15. Локальный (абсолютный) экстремум функции7.16. Теоремы существования неявной функции7.17. Теорема существования решения системы уравнений7.18. Отображения7.19. Гладкая поверхность7.20. Гладкая поверхность, заданная параметрически. Ориентируемаяповерхность7.21. Пример неориентируемои поверхности. Лист Мёбиуса7.22. Локальный относительный экстремум7.23. Особые точки кривой7.24. Кривые на поверхности7.25. Криволинейные координаты в окрестности гладкой границы области7.26.

Замена переменных в частных производных7.27. Система зависимых функцийГлава 8. Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрирования по частям8.2. Комплексные числа8.3. Предел последовательности комплексных чисел. Функция комплексногопеременного8.4. Многочлены8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби8.6. Интегрирование рациональных дробей8.7.

Метод Остроградского выделения рациональной части из интеграла8.8. Интегрирование алгебраических иррациональностей8.9. Подстановки Эйлера8.10. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева8.11. Интегрирование тригонометрических выражений8.12. Тригонометрические подстановки8.13. Несколько важных интегралов, не выражаемых в элементарныхфункцияхГлава 9. Определенный интеграл Римана9.1. Вводная часть и определение9.2.

Ограниченность интегрируемой функции9.3. Суммы Дарбу2572582622672722752792842852922963023043123123183223263303363363403413433443483483503503513529.4. Основная теорема9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и монотоннойфункции на [a, b]9.6. Теорема Лебега9.7. Аддитивные и однородные свойства интеграла9.8. Неравенства и теорема о среднем9.9.

Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона—Лейбница9.10. Вторая теорема о среднем9.11. Видоизменение функции9.12. Несобственные интегралы9.13. Несобственные интегралы от неотрицательных функций9.14. Интегрирование по частям9.15. Несобственный интеграл и ряд9.16. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках9.17.

Формула Тейлора с остатком в интегральной форме9.18. Формулы Валлиса и СтирлингаГлава 10. Некоторые приложения интегралов. Приближенные методы10.1. Площадь в полярных координатах10.2. Объем тела вращения10.3. Длина дуги гладкой кривой10.4. Площадь поверхности тела вращения10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа10.6. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций10.7. Общая квадратурная-формула. Функционал10.8. Формула Симпсона10.9. Общий метод получения оценок квадратурных формул10.10.

Еще о длине дуги10.11. Число π. Тригонометрические функцииГлава 11. Ряды11.1. Понятие ряда11.2. Действия с рядами11.3. Ряды с неотрицательными членами11.4. Ряд Лейбница11.5. Абсолютно сходящиеся ряды11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными членами35435735836036236436836937137537838038438838939339339439539739839940140240340941041341341441542142142511.7. Последовательность и ряды функции.

Равномерная сходимость11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядовна отрезке11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом среднихарифметических11.11. Степенные ряды11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов42743343844244344745145446011.13. Степенные ряды функции ez, cos z, sin z комплексной переменнойДополнение. Приближенное вычисление элементарных функцийПредметный указательПредметный указатель- предел 72Абеля преобразование 431Биномиальный дифференциал 343- теорема о сходимости степенногоБином Ньютона 151, 161ряда 446, 451Бинормаль кривой 203- теоремы о рядах 432Бореля лемма (о покрытии) 251Абсолютная величина числа 49, 63Буняковского неравенство 179Абсолютно сходящийся интеграл 374Валлиса формула 389- - ряд 421, 438Вейерштрасса признак равномернойАддитивность интеграла 360сходимости 429Алгоритм Евклида 328- теорема 88Аналитическая функция 164, 453- - об ограниченности непрерывнойАргумент (независимая переменная)функции 11016обэкстремальных значениях- комплексного числа 320непрерывной функции 110Арифметические действия надВектор n-мерный 177числами 49, 319Вектор-функция 182Архимедово свойство чисел 54Величина физическая 61Асимптота 207Верхняя грань точная 64Асимптотическое равенство 124- сумма Дарбу 352Ассоциативный закон сложенияВинтовая линия 205чисел 53Вложенных отрезков лемма 77, 251- - умножения чисел 53Внутренняя точка множества 212Астроида 190, 201Выпуклость кривой в точке 166Бесконечная десятичная дробь 44- - на отрезке 168Бесконечно большая величинаГамильтона оператор (набла) 232(последовательность) 72Гармонический ряд 419- малая величинаГиперболическая точка 299(последовательность) 72Главная нормаль кривой 203Бесконечный интервал 15- полуинтервал 15Главное значение интеграла по Коши387Главные радиусы кривизны 298Главный линейный член приращения132, 224, 236- степенной член функции 126Годограф вектор-функции 185Градиент функции 229Граница множества 244График функции 18Даламбера признак сходимости ряда416Дарбу интегральные суммы 352Дедекинда сечение 77Действительная часть комплексногочисла 318Десятичная дробь 44Дирихле признак 379, 431- функция 357- ядро 322Дифференциал функции 131, 235Дифференциалы высших порядков139, 235Дифференциальный бином 343Дифференцирование рядов 433Дифференцируемое многообразие190Длина дуга кривой 192, 395, 406Допустимые параметры гладкойкривой 186- - - поверхности 281Евклида алгоритм 328Евклидово n-мерное пространство178e (число) 76, 120, 158Зависимая переменная 16, 140, 236Замена переменных 209, 304Замкнутое множество 242Значение интеграла по Коши 387Изолированная точка множества 245Изоморфизм 55, 319Инвариантность формы первогодифференциала 141, 238Интеграл неопределенный 36, 312- несобственный 371- определенный 38, 350- от монотонной функции 357- от непрерывной функции 357- с переменным верхним пределом364- эллиптический 349Интегральная сумма Римана 350- теорема о среднем 362Интегральные суммы Дарбу 353Интегральный признак сходимостирядов 381Интегрирование подстановкой 313- по частям 316, 378- рядов 433- тригонометрических выражений344Интервал 13Интерполяционный многочленЛагранжа 398Иррациональное число 43Касательная 31, 203Колебание функции в точке 248- - на множестве 353Коммутативный закон сложениячисел 53- - умножения чисел 53Комплексное число 318Комплекснозначная функция 324Координаты криволинейные 302- полярные 26Корень (нуль) многочлена 327Коши вид остаточного членаформулы Тейлора 155- критерий для несобственныхинтегралов 372- - для последовательностей 86- - для рядов 413- - для функций 97, 214- - равномерной сходимости 428- неравенство 181- признак сходимости ряда 417- теорема о среднем 146Край поверхности 278Кратный ряд 438Кривая гладкая 174, 180- Жордана 188- замкнутая 189Кривая кусочно непрерывная 188- непрерывная 188- ориентированная 186- плоская 188- самонепересекающаяся 189- спрямляемая 192Кривизна кривой 196Круг сходимости степенного ряда443Кручение кривой 204Куб 211, 213Кусочно гладкая функция 174Лагранжа вид остаточного членаформулы Тейлора 153, 155, 254- теорема о среднем 146Лапласа оператор 306Лейбница формула 140Линейное множество 177- нормированное пространство 181Лист Мёбиуса 284Локальный экстремум 143, 258Лопиталя правило 169Мгновенная скорость 30Мнимая часть комплексного числа319Многообразие одномерное 190Многочлен 150, 219, 326- Тейлора 150Множество 13- замкнутое 242- неограниченное 64- ограниченное 64- - сверху 64- - снизу 64- открытое 212- счетное 89Множителей Лагранжа метод 285Модуль комплексного числа 319- непрерывности 247Набла (оператор Гамильтона) 232Независимая переменная 16, 140, 236Необходимое условиеинтегрируемости функции 351- - сходимости ряда 413Неопределенностей раскрытие 109Непрерывная вектор-функция 183- кривая 185- функция 27, 100- - комплексного переменного 322Неравенство Бернулли 117- Коши 180- Минковского 181- треугольника 181- чисел 48Несчетность действительных чисел89Неявная функция 23, 262Нижний интеграл Дарбу 352- предел последовательности 74Нижняя грань точная 64- сумма Дарбу 352Норма элемента 182Нормаль (к кривой) 194, 203- главная 203Ньютона—Лейбница теорема 42, 366Область определения функции 17Обобщенная производная 250Образ посредством функции 17Обратная функция 113Обратные тригонометрическиефункции 25, 114Объединение (сумма) множеств 15Объем тела вращения 394Однозначная функция 20Односторонние окрестности 105- пределы 105Окрестность символов ∞ , + ∞ , − ∞105- точки 95, 212Операция дифференцирования 33- интегрирования 39Ориентированная кривая 186Ориентируемая поверхность 279, 282Особая точка кривой 292Остаточный член формулы Тейлора винтегральной форме 256, 388- - - - в форме Коши 154- - - - - - Лагранжа 154, 256- - - - - - Пеано 156, 256, 257Остроградского метод 336Отображение 272Отрезок (числовой) 13, 59Параметр кривой допустимый 186Первообразная 36, 312Переменная (величина) 16- зависимая 16, 140, 230- независимая 16, 140, 236Переместительный (коммутативный)закон сложения 52- - - умножения 53Пересечение множеств 15Плоскость касательная 223- соприкасающаяся 202Площадь в полярных координатах393- криволинейной фигуры 38Поверхность гладкая 275- ориентированная 282- ориентируемая 282- параметрически заданная 279- самопересекающаяся 280Подпоследовательность 79Подстановки Эйлера 341Полином (многочлен) 24, 219, 326Полярные координаты 26Порядок дифференцирования 139,222- переменной 123Последовательность 66- бесконечно большая 72- - малая 72- монотонная 74- неубывающая 74- ограниченная 64- - - сверху 49- равномерно сходящаяся 427- стабилизирующаяся 49- функций (функциональная) 427Правило Лопиталя 169Предел вектор-функции 183- по направлению 215, 227- последовательности 66- - верхний 79- - комплексных чисел 322- - нижний 79- - слева 105- - справа 105- функции 92, 214Предельная точка множества 239Преобразование Абеля 431Признак равномерной сходимостиАбеля 432- - - Вейерштрасса 429- правая 30, 128- суперпозиции (функции отфункции) 17, 133, 227- частная 221Производное множество 240Пространство евклидово (n-мерное)178- со скалярным произведеним 178Прямоугольник 211Равномерная непрерывность 247Равномерно сходящаясяпоследовательность 427- сходящийся ряд 427Радиус кривизны 196- сходимости степенного ряда 443Разность комплексных чисел 318- множеств 15Разрыв второго рода 109- первого рода 109Рациональная функция 24, 330Рациональное число 43Римана интегральная сумма 350Ролля теорема о среднем 145Ряд 413- гармонический 419- кратный 438- Лейбница 421- равномерно сходящийся 427- с неотрицательными членами 415- степенной 162, 443- сходящийся 413- - абсолютно 421- - безусловно 425- - условно 425- Тейлора 162, 453- функций 427Свойство Архимеда вещественныхчисел 54Система зависимых функций 308Скалярное произведение 178Скорость мгновенная 30Сочетательный (коммутативный)закон сложения 53- - - умножения 53Спрямляемая кривая 192Средняя скорость 30Степенная функция 24, 120Степенной ряд 162, 443Стирлинга формула 389Строго возрастающая функция 143- убывающая функция 143Сумма Дарбу интегральная 352- (объединение) множеств 15- Римана интегральная 350- ряда 413- - частичная 413Суммирование рядов 442Суперпозиция функций 17, 219Существование n a 115- решения системы уравнений 267Счетное множество 89Таблица интегралов 313- производных 138Тейлора многочлен 150- ряд 162- формула 150Теорема Вейерштрасса оравномерной сходимости 429Теорема Коши о промежуточныхзначениях непрерывнойфункции 112- - о среднем 146- Лагранжа о среднем 146- Лебега 358- о среднем интегральная 362- - Ролля 145- Ферма 144- Чебышева 343Точка возврата кривой 295- выпуклости кверху 166- - книзу 166- гиперболическая 299- изолированная 245- множества внутренняя 212- - граничная 244- параболическая 299- перегиба 166- разрыва 29, 101- - второго рода 109- - первого рода 108- стационарная 286- устранимого разрыва 108- эллиптическая 299- n-мерного пространства 177Тригонометрическая формакомплексного числа 320Формула Валлиса 389- квадратурная 399- Лейбница 140- Менье 297- Ньютона—Лейбница 42, 366- Остроградского 336- прямоугольников 399- Симпсона 402- Стирлинга 389- Тейлора 150- трапеций 399- Френе 204Фундаментальное решениеуравнения теплопроводности235Функции эквивалентные 124Функционал 401- линейный 401Функция 16- аналитическая 164- бесконечно дифференцируемая 164- гладкая 174- Дирихле 357- дифференцируемая 131, 223- комплексного переменного 322- комплекснозначная отдействительного переменного324- кусочно гладкая 174- - непрерывная 174- логарифмическая 11й- многих переменных 21Функция многозначная 20- монотонная 106- на множестве 245- непрерывная в точке 27, 217- - - - слева 108- - - - справа 108- - на замкнутом ограниченноммножестве 245- нечетная 19- неявная 23, 262- обратная 113- - тригонометрическая 25- показательная 116, 158, 451- постоянная 24- разрывная в точке 27- рациональная 24- сложная 102, 219- степенная 24, 120- тригонометрическая 25, 158, 409,451- четная 19- элементарная 24Центр кривизны 196Циклоида 201Чисел аксиомы 52- свойства 52Число действительное 43- иррациональное 43- комплексное 318- рациональное 43, 47- e 76, 121, 158- π 409Шар 211, 277, 283Эвольвента 198Эволюта кривой 198Эйлера подстановки 341Эквивалентные функции 124Экстремум локальный 143, 258Элемент последовательности 66Эллипс 190, 201Эллиптические интегралы в формеЛежандра 349Ядро Дирихле 322- Пуассона 337Якобиан 267.