1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (Ульянов Действтельный анализ в числах)

УДКББК517.522.16Д27Действительный анализ в задачах/п. л.М. и. Дьяченко, К. с. Казарян, п. Сифуэнтес.416с. --Ульянов,А. Н.Бахвалов,М.: ФИЗМАТЛИТ,2005. -ISBN 5-9221-0595-7.Книга является учебным пособием по действительному анализу. Все основ­ные утверждения курса изложены в виде системы задач, снабженных полнымирешениями. Основное содержание книги составляет изложение теории меры иинтеграла Лебега.Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей, в томчисле для самостоятельного изучения курса действительного анализа, а такжедля преподавателей, ведущих по этому курсу семинарские занятия.Библиогр.15назв.Учебное изданиеУЛЬЯНОВ Петр ЛаврентьевичБАХВАЛОВ Александр НиколаевичДЬЯЧЕНКО Михаил ИвановичКА3АРЯН Казарос СогомоновичСИФУЭНТЕС ПатрисиоДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХРедактор Н.Б.

Бартошевич-ЖагельОригинал-макет:В.В. ХудяковОформление переплета:ЛРNQ071930от06.07.99.А.Ю. АлехинаПодписано в печать05.05.05. Формат 60x90j16.26. Уч.-изд. л. 28,6. Заказ NQБумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л.Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «НаукаjИнтерпериодика»Москва, ул. Профсоюзная, 90fizmat@maik.ru.fmlsale@maik.ru;http://www.fml.ru117997,ISBN 5-9221-0595-7E-таН:Отпечатано с готовых диапозитивовв ОАО «Чебоксарская типография428019,NQ 1»г. Чебоксары, пр. И.

Яковлева,159 785922 105958©©ФИЗМАТЛИТ,2005п. Л. Ульянов, А. Н. Бахвалов,М. И. Дьяченко, К. с. Казарян,ISBN 5-9221-0595-7п. Сифуэнтес,2005ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие................... .4глава1.Операции над множествами.7ГлаваГлава2.3.Мощности множеств . . . . .nМножества в IR и других метрических пространствах.1330Глава4.Непрерывные функции на метрических пространствах68ГлаваСистемы множеств.Глава5.6.Меры на системах множествГлава7.Продолжение меры.Глава8.Измеримые функции.Глава9.Сходимость по мере и почти всюду.180Глава10.Интеграл Лебега200Глава11.Сравнение интегралов Лебега и Римана.241Глава12.Теорема Фубини261Глава13...

. . . . .8597. . . . . .113. . . . .160. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .ПространстваГлаваL p и некоторые другиеЛебега. . . . . . . . . . . . . . . . . . .14. Функции ограниченной вариации .Глава15.Абсолютно непрерывные функции.347Глава16.Интеграл Римана-Стилтьеса384Список литературы. . .Предметный указатель..приложения интеграла272315414415ПредисловиеЕсливимеющиеXIXклассическомопределённуюанализестепеньизучались,гладкости,втоосновном,функции,сополовинывторойвека возникли новые постановки задач, которые требовали совер­шенно других способов решения. В это время создавалась теория мно­жеств, на базе которой в начале ХХ века была построена теория мерыи найдено чрезвычайно плодотворное определение интеграла Лебега.Родоначальниками этого направления были французские математикиБорель,Лебег,Бэр.Такоеразвитиесобытийпривелокнеобходи­мости по-новому решать различные задачи, связанные с проблемамипредставления и приближения функций, с понятиями первообразнойи интеграла, с вопросами интегрирования и дифференцирования рядов,изучениемсвойствфункций,полученныхврезультатепредельногоперехода и др.

Исследования в этих областях заложили фундаментметрической теории функций действительного переменного (действи­тельного анализа). Совершенно очевидно, что действительный анализявляется продолжением классического анализа.В Москве действительным анализом занимались различные мате­матики, но наибольшего успеха добился Н. Н. Лузин, который С1914г.стал читать в Московском университете факультативный курс по тео­риифункцийдействительногопеременного,атакжевестиразлич­ные исследовательские семинары, где обсуждались актуальные науч­ные вопросы.К исследованиям былипривлечены многие студенты.На семинарах происходил широкий обмен идеями, обсуждались новыезадачи и подходы к их решению.

Тем самым была создана научнаяшкола, оказавшая большое влияние на весь дальнейший ход развитияматематики.Эту школу Н. Н. Лузина прошли крупнейшие математики СССР(п. С. Александров, А. Н. Колмогоров, М. А. Лаврентьев, п. С. Но­виков, Н. К. Бари, Л. В. Келдыш, Л. А.

Люстерник, Д. Е. Меньшов,М. я. Суслин, А. я. Хинчин, А. А. Ляпунов, п. С. Урысон, В. С. Фёдо­ров, Л. г. Шнирельман, В. В. Немыцкий и др.).Идеииприменениеметодывисследованийразличныхдействительногообластяхматематикианализанашли(комплексныйана­лиз, функциональный анализ, теория вероятностей, дифференциальныеуравнения,вариационноеисчисление,теориячисел,вычислительнаяматематика и др.).Основам действительного анализа посвящено много книг, где да­ются общие понятия меры множества, определение интеграла Лебегаи его обобщений. Мы упомянем здесь первые книги на русском языкеА. Лебегазина[3],[1],п. С.

Александрова и А. Н. КолмогороваН. Н. Лу­а также некоторые из более поздних изданий: С. Саксп. Халмош[5],Ф. Рисс и Б. Сёкефальви-НадьА. Н. Колмогоров и С. В. Фоминнедавно[2],изданнуюкнигу М. и.[8],[6],г. п. ТолстовДьяченкоии. п. Натансон[9].п. Л.[4],[7],Отметим такжеУльянова«Мера5Предисловиеи интеграл»[1 О].Авторами предпринята попытка создания учебника,содержание которого близко к курсу, читаемому студентам-математи­кам МГУ по действительному анализу. Книга уже была переизданавРоссии,аеё перевод на«Аддисон - Весли»испанскийязык вышелвиздательстве.Здесь уместно напомнить, что с начала пятидесятых годов ХХ векана механико-математическом факультете МГУ стал читаться большойкурс «Анализ111»,который включал в себя теорию меры, теорию функ­ций, функциональный анализ, интегральные уравнения и вариационноеисчисление.

Аналогичные курсы вводились и В других университетахстраны.Освоение столь большого курса было достаточно трудным,и зачастую студенты плохо овладевали основными понятиями. Так,например,многиеневиделиразличиямеждуинтегрируемостьюпоРиману, по Лебегу и по Риману в несобственном смысле даже дляпростейших функций, не говоря о более сложных вопросах.

Всё этопривело к тому, что из курса «Анализ111»читаться отдельно курсы «Теория функций»лиз», а более10были выделены и сталиИ «Функциональный ана­лет назад стал читаться «Действительный анализ» (4-йсеместр, со сдачей экзамена) для математиков в МГУ. Практика чтенияданного курса показала его несомненную полезность.

В то же времявыявились и определённые проблемы. Прежде всего к ним можно от­нести отсутствие так называемых типовых задач (таких, например, каквычисление интегралов от рациональных функций в математическоманализе или решение линейных уравнений в курсе дифференциальныхуравнений). В действительном анализе, как правило, каждая задачаносит индивидуальный характер, хотя, разумеется, существуют и об­щие методы решения. Другая проблема не является специфической длякурса действительного анализа, но от этого её острота не снижается.Речь идёт о том, что зачастую студенты не улавливают тесной вза­имосвязимеждулекционнымматериаломизадачами,решаемыминасеминарах.В связи с этим, по мнению авторов, возникла необходимость в на­писании книги, которая помогла бы хотя бы частично разрешить упо­мянутые проблемы.

Предлагаемая книга «Действительный анализ в за­дачах» состоит более чем из900задач и составлена новым способом посравнению с традиционными пособиями такого типа. В каждой главепосле перечисления основных определенийидёт изложение свойстврассматриваемых понятий путём решения системы следующих друг задругом задач и таким образом излагается теория, составляющая курс«Действительный анализ», а также приводятся другие задачи, углуб­ляющие эту теорию. Многие задачи просты, но имеются и достаточносложные, решение которых требует серьёзных размышлений. В концекаждой главы приведено решение всех задач, и если у использующегоэтот задачник нет возможности прорешать все задачи, он может позна­комится с их решениями.Предисловие6Большинство из приведённых в книге задач предлагалось студентами аспирантам-математикам МГУ на протяжении многих лет.

Следуетотметить, что по рассматриваемой тематике уже написан ряд задач­ников, пользующихся заслуженной популярностью. Наиболее извест­ными из них являются[11] - [ 15].Многие из приведённых там задачвошли и в нашу книгу. Однако мы надеемся, что наш задачник будетболее подходящим для студентов, изучающих действительный анализ,по следующим причинам. Задачник А. А. Кириллова и А. Д. Гвиши­аниориентирован прежде всего на изучение функционального[11]анализа, задач из действительного анализа там не очень много и онине охватывают всех его разделов.

Задачник С. А. Теляковского[12]содержит много интересных задач и весьма близок по набору задачк предлагаемой вниманию читателей книге,но в нём нет решений,что существенно затрудняет его использование в качестве пособия дляизучения действительного анализа. Лишь небольшая часть решенийприведена и в задачнике[13].В задачнике ю.