1610912307-9f7772a343c0215dd287111d82495c07 (Ряды от Кузнецова)

Числовые рядыОпределение сходящегося ряда. Если последовательность Sn =∞∑дел lim Sn = S, то рядn→∞n∑ak имеет конечный пре-k=1an называется сходящимся, а S – сумма ряда.n=1Определение расходящегося ряда. Ряд∞∑an называется расходящимся, если последова-n=1тельность частичных сумм {Sn } расходится.∞∑Критерий Коши сходимости ряда. Рядan сходится ⇐⇒ последовательность частичныхn=1сумм {Sn } является фундаментальной, т.е. ∀ε > 0 ∃Nε ∀n > Nε ∀p ∈ N : |Sn+p − Sn | = |an+1 +an+2 + .

. . + an+p | < ε. Если выполнено отрицательное условие Коши, т.е. ∃ε > 0 ∀N > 0 ∃n > N∃p : |Sn+p − Sn | = |an+1 + an+2 + . . . + an+p | ≥ ε, то ряд расходится.∞∑Необходимый признак сходимости ряда. Если рядan сходится, то lim an = 0. Еслиlim an ̸= 0, то рядn→∞∞∑n→∞n=1an расходится. Легко видеть, что этот признак следует из критерияn=1Коши.Остаток ряда есть rn =∞∑lim rn = 0, то рядn→∞∞∑ak .

Если {rn } – бесконечно малая последовательность, т.е.k=n+1an сходится. Легко видеть, что rn = lim (Sn+p − Sn ).p→∞n=1Числовые ряды c неотрицательными членамиПризнак сравнения. Рядan ≤ bn , где∞∑∞∑an , an ≥ 0, сходится, если ∃n0 ∀n ≥ n0 выполнено неравенствоn=1bn – сходящийся ряд. Если ряд∞∑an расходится, то и расходится рядbn .n=1n=1n=1∞∑∞∞∑∑bnПризнак сравнения в предельной форме.

Если ∃ lim abnn =an и̸ 0, то рядыn→∞n=1n=1сходятся или расходятся одновременно.∞∑αan сходится. Если an > constЗамечание. Если an < constили∃liman≠0,α>1,торядnnαnαn→∞или ∃ lim an n ̸= 0, α < 1, то рядαn→∞∞∑an расходится.n=1Признак Даламбера. Если для рядаan+1an≤ q, то рядn=1∞∑an ∃q ∈ (0, 1) ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 выполнено неравенствоn=1∞∑an сходится.

Если ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 :n=1an+1anПризнак Даламбера в предельной форме. Если ∃ lim∞∑Если λ > 1, то рядan+1n→∞ anПризнак Коши. Если для рядаan ≤ q, то ряд∞∑an сходится. Если ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 :n=1Признак Коши в предельной форме. Если ∃ limЕсли λ > 1, то ряд∞∑an расходится.n=1= λ < 1, то ряд∞∑an сходится.n=1an ∃q ∈ (0, 1) ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 выполнено неравенствоn=1∞∑∞∑an расходится.n=1√n≥ 1, то рядn→∞∞∑√n a ≥ 1, то рядan расходится.n√nn=1an = λ < 1, то ряд∞∑an сходится.n=1an расходится.n=1Прореживающий признак Коши. Пусть {an } – невозрастающая последовательность поло∞∑жительных чисел: a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . .

. ≥ 0. Рядan сходится тогда и только тогда, когдаn=1сходится ряд∞∑2k a2k .k=0Интегральный признак Коши. Пусть функция f = f (x) монотонно стремится к нулю∞∫ +∞∑при x → +∞. Тогда рядf (n) сходится ⇐⇒ конечен интеграл A f (x) dx, A > 0. Например∞∑n=11,n lnα nn=21−α1(ln A)α−1α > 1, – сходящийся ряд, т.к.∫ +∞A1dxx lnα x=∫ +∞Ad ln xlnα x=1(ln x)1−α |+∞x=A1−α=< ∞, при A > 1.Абсолютно и условно сходящиеся ряды∞∑Определение абсолютно сходящегося ряда. Рядan сходится абсолютно, если сходитсяn=1∞∑ряд|an |.

К абсолютно сходящимся и абсолютно расходящимся рядам применяются те жеn=1признаки, что и к рядам с неотрицательными членами.∞∞∑∑an схоan сходится условно, если рядОпределение условно сходящегося ряда. Ряддится, а ряд∞∑n=1n=1|an | расходится.n=1Признак Лейбница. Если {an } – монотонно убывающая последовательность, сходящаяся∞∑(−1)n−1 an сходится. Причемк нулю, т.е. 0 ≤ an+1 ≤ an , ∀n ∈ N и lim an = 0, то рядn→∞|S − Sn | ≤ an+1 .Признак Дирихле. Ряд∞∑n=1an bn сходится, если частичные суммы Bn ряда∞∑bn ограничены,n=1n=1т.е. ∃M > 0, ∀n ∈ N : |Bn | < M , а последовательность {an } монотонно стремится к нулю.∞∑an bn сходится, если {an } – монотонная и ограниченная последоваПризнак Абеля. Рядтельность, а ряд∞∑n=1bn сходится.n=1Теорема Римана.

Если рядпереставить члены рядаТеорема. Если ряд∞∑∞∑∞∑an сходится условно, то каким бы не было число A, можно такn=1an , что сумма полученного ряда будет равна A.n=1an сходится абсолютно, то ряды∞∑n=1n=1∞∑(an + bn ) иbn одновременно либоn=1абсолютно сходятся, либо условно сходятся, либо расходятся.Тригонометрические рядыУтверждение.

Тригонометрические ряды∞∑n=1an sin nα, α ∈ R, и∞∑an cos nα, α ̸= 2πm, m ∈ Z,n=1сходятся, если последовательность {an } монотонно стремится к нулю.Справедливы формулыn∑sin nαsin (n+1)α22,sin kα =αsin2k=1n∑cos (n+1)αsin nα22cos kα =при α ̸= 2πm, m ∈ Z;αsin2k=1sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos2 α−sin2 α = 2 cos2 α−1 = 1−2 sin2 α, sin 3α = 3 sin α−4 sin3 α;cos 3α = 4 cos3 α−3 cos α; sin(α±β) = sin α cos β ±cos α sin β; cos(α±β) = cos α cos β ∓sin α sin β;α±βα∓βα+βα−βsin α ± sin β = 2 sincos; cos α + cos β = 2 coscos;2222β−αα+βcos α − cos β = 2 sinsin.22.