1610912303-24cbdaed0d8cee9134492a0e77d01611 (Пределы функций)

Пределы функцийПусть функция f (x) определена в проколотой δ0 -окрестности точки x0 , т.е. на множестве U̇δ0 (x0 ) =αxx{x : 0 < |x − x0 | < δ0 }. Примеры: f (x) = sinx x , f (x) = e x−1 , f (x) = (1±x)x −1 , f (x) = 1−cos,x21arctg xarcsin xlnxf (x) = x , f (x) = x , x0 = 0; f (x) = x x−1 , x0 = 1; f (x) = x−1 , x0 = 1; .Определение предела функции по Коши.lim f (x) = a ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ U̇δ (x0 ) : |f (x) − a| < ε;x→x0lim f (x) ̸= a ⇔ ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ U̇δ (x0 ) : |f (x) − a| ≥ ε.x→x0Определение предела функции по Гейне. Число a называется пределом (по Гейне) функции f (x) в т.

x0 , если ∀{xn } ⊂ U̇δ0 (x0 ), xn → x0 : f (xn ) → a = lim f (x).x→x0@ lim f (x) означает, что либо ∃{xn } ⊂ U̇δ0 (x0 ), xn → x0 : @ lim f (xn ), либо ∃{xn }, {yn } ⊂ U̇δ0 (x0 ),x→x0n→∞xn → x0 , yn → x0 : lim f (xn ) ̸= lim f (yn ).n→∞n→∞Некоторые замечательные пределы.sin x1loga (1 + x)1lim= 1; lim (1 + x)1/x = lim (1 + )x = e; lim=, a > 0, a ̸= 1;x→0 xx→0x→∞x→0xxln aax − 1ln(1 + x)ex − 1(1 + x)α − 1lim= ln a, a > 0; lim= 1; lim= 1; lim= α, α ∈ R.x→0x→0x→0x→0xxxxТеорема о пределе "зажатой"функции. Если в некоторой U̇δ0 (x0 ) выполняются неравенства g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), и если lim g(x) = lim h(x) = a, то lim f (x) = a.x→x0x→x0x→x0Теорема о пределе суммы, произведения и частного.

Если lim f (x) = a, lim g(x) = b,x→x0то lim (f (x) ± g(x)) = a ± b; lim (f (x)g(x)) = ab;x→x0x→x0lim f (x)x→x0 g(x)=a,bx→x0b ̸= 0.Теорема о пределе сложной функции. Если существуют lim φ(x) = a, lim f (y), причемx→x0y→aв U̇δ (x0 ) определена сложная функция f (φ(x)) и φ(x) ̸= a, то сложная функция f (φ(x)) имеетпредел в точке x0 и справедливо равенство lim f (φ(x)) = lim f (y).x→x0y→aПредел слева. Пусть область определения функции f (x) содержит интервал (x0 − δ0 , x0 ).Число a называется пределом слева функции f (x) в точке x0 (или при x → x0 − 0), если для∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (x0 − δ, x0 ) : |f (x) − a| < ε.

Обозначение: a = lim f (x).x→x0 −0Предел справа. Пусть область определения функции f (x) содержит интервал (x0 , x0 + δ0 ),δ0 > 0. Число a называется пределом справа функции f (x) в точке x0 (или при x → x0 + 0),если для ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (x0 , x0 + δ) : |f (x) − a| < ε. Обозначение: a = lim f (x).x→x0 +0Эквивалентные функции. Символ o(g). Пусть функция g(x) не обращается в нуль в некоторой проколотой окрестности точки x0 . Тогда:• если limf (x)x→x0 g(x)= 1, то говорят, что функция f (x) эквивалентна функции g(x) при x → x0 ,и пишут f (x) ∼ g(x) при x → x0 ;• если limf (x)x→x0 g(x)= 0, то говорят, что f (x) есть o малое от g(x) при x → x0 , и пишут f (x) =o(g(x)), x → x0 ; Примеры: x2 = o(x), cos x sin2 x = o(x), tg3 x sin x1 = o(x), x → 0.Примеры эквивалентных функций.

Если f (x) ∼ Ax при x → 0, то f −1 (x) ∼ Ax при x → 0.x ∼ sin x ∼ arcsin x ∼ tg x ∼ arctg x ∼ ex − 1 ∼ ln(1 + x) при x → 0.(1 + x)α − 1 ∼ αx, ax − 1 ∼ x ln a, loga (1 + x) ∼ x ln a.Критерий эквивалентности функций. Для того чтобы f (x) ∼ g(x) при x → x0 , необходимо и достаточно, чтобы f (x) = g(x) + o(g(x)), x → x0 .2Примеры: sin x = x + o(x), arcsin x = x + o(x), 1 − cos x = x2 + o(x2 ).Замена функций эквивалентными при вычислении пределов. Пусть функции g(x) ̸=0 и g1 (x) ̸= 0 в некоторой проколотой окрестности точки x0 , f (x) ∼ f1 (x), g(x) ∼ g1 (x) при(x)(x)(x)(x)x → x0 , ∃ lim fg11 (x).

Тогда существует lim fg(x)и справедливо равенство lim fg(x)= lim fg11 (x).x→x0x→x0x→x0x→x0.