1610912303-08eeedc298b00fd6069023945bd87407 (Правило Лопиталя Старовойтов)

Правило Лопиталя.Теорема. (Правило Лопиталя) Пусть функции f : (a, b) → R и g : (a, b) → R дифференцируемы на интервале (a, b) (−∞ 6 a < b 6 +∞), причҷм g(x) ̸= 0 и g ′ (x) ̸= 0 приx ∈ (a, b). Еслиf ′ (x)→ A ∈ R при x → a+g ′ (x)и выполняется одно из следующих двух условий:1. limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0,2.

|g(x)| → ∞ при x → a+,тоf (x)→ A при x → a+.g(x)•Доказательство.Шаг 1. Согласно формуле конечных приращений Коши между произвольными точкамиx и y из (a, b) существует такая точка ξx,y , чтоf (x) − f (y) =)f ′ (ξx,y ) (g(x)−g(y).g ′ (ξx,y )Разделив это равенство на g(x), мы получим:f (x)f (y) f ′ (ξx,y ) (g(y) )=+ ′1−.g(x)g(x) g (ξx,y )g(x)Нам необходимо показать, что(∗)f (x)→ A при x → a+. Для этого мы воспользуемсяg(x)теоремой Гейне.Зафиксируем произвольную убывающую последовательность точек {xk }, сходящуюсяк a. Если {yk } — какая-либо сходящаяся к a последовательность точек, то, как следуетиз принципа двух полицейских, любая последовательность точек ηk , лежащих между xkи yk , тоже будет стремиться к a.

Мы возьмҷм ηk = ξxk ,yk . Тогда из (∗) следует, чтоf (xk )f (yk ) f ′ (ηk ) (g(yk ) )=+1−.g(xk )g(xk ) g ′ (ηk )g(xk )(∗∗)f ′ (ηk )→ A при k → ∞. Нам осталось показать, что мы можем такg ′ (ηk )подобрать последовательность {yk }, чтоПо условию теоремыf (yk )→0 иg(xk )g(yk )→ 0 при k → ∞.g(xk )(∗ ∗ ∗)Шаг 2. Рассмотрим случай, когда limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0. Это означает, что длялюбого ε > 0 существует aε > a, такое, что |f (x)| < ε и |g(x)| < ε для всех x ∈ (a, aε ). Возьмҷм произвольное k ∈ N и положим ε = |g(xk )|/k.

Этому ε соответствует некоторое числоaε > a. В качестве yk возьмҷм произвольную точку из (a, aε ). Тогда |f (yk )| < |g(xk )|/k и1|g(yk )| < |g(xk )|/k, откуда следует (∗ ∗ ∗). Из (∗∗), в силу произвольности последовательности {xk } следует утверждение теоремы.Шаг 3. Рассмотрим случай, когда |g(x)| → ∞ при x → a+, то есть |g(xk )| → ∞ приk → ∞. Отсюда следует, что для каждого n ∈ N найдҷтся такое Mn ∈ N, что|f (xn )|1<|g(xk )|nи|g(xn )|1<|g(xk )|nдля всех k > Mn .Заметим, что в этом утверждении вместо найденного Mn можно взять любое большее Mnнатуральное число (но, вообще говоря, не меньшее). Поэтому последовательность {Mn }можно считать возрастающей: Mn < Mn+1 .

При этом Mn → ∞ при n → ∞. Для каждогоk ∈ N существует единственное натуральное число nk , такое, что Mnk < k 6 Mnk +1 . Приэтом nk → ∞ при k → ∞. Определим yk = xnk . Тогда|f (xnk )|1|f (yk )|=<|g(xk )||g(xk )|nkи|g(yk )||g(xnk )|1=<|g(xk )||g(xk )|nkОтсюда следует (∗ ∗ ∗).Таким образом, теорема полностью доказана.для всех k ∈ N.Замечание. На третьем шаге доказательства мы, фактически, по заданной последовательности {xk }, стремящейся к a, построили последовательность {yk }, которая стремитсяк a «медленнее», чем {xk }.

В последовательности {yk } каждый элемент последовательности {xk } повторялся несколько раз. Поясним это построение на примере. Пусть a = 0 иxk = 1/k. Возьмҷм в качестве {yk } следующую последовательность:1,1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ,...2 2 3 3 3 4 4 4 4То есть, в этой последовательности каждое число 1/k повторяется k раз. Ясно, что xk /yk →0 при k → ∞. Поэтому если, например, g(x) = 1/x, то g(yk )/g(xk ) → 0 при k → ∞.•2.