1610914832-f5278c7b2b130001fbeed8bbb9a3c57d (2018 - программа курса)

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗАЛектор — Иван Викторович ПодвигинПрограмма курса лекций(1-й семестр, 32 лекции, 32 семинара, экз.)I. Одномерный вещественный анализВведениеПредпосылки возникновения математического анализа. Три важнейшие задачи (задача о касательной, задача о площади, приближённые вычисления). Общематематические понятия (числа, функции иотображения, графики и их преобразования, непрерывность и производные, интегралы). Логическая символика. Высказывания. Кванторы.

Математическая индукция. Бином Ньютона. Неравенство Бернулли.I.1. Предел и непрерывность функций одной переменнойВещественные числа. Аксиома полнота. Принцип вложенных отрезков. Точные границы. Наибольший элемент. Существование точных границ. Расширенная числовая прямая. Критерий точной верхней границы.Предел последовательности. Сходящиеся последовательности. Последовательности, стремящиеся к бесконечности. Предел и неравенство. Теорема о зажатой последовательности.

Предел и ограниченность. Предел и арифметические операции. Подпоследовательностии частичные пределы. Теорема Больцано — Вейерштрасса. ТеоремаВейерштрасса о монотонной последовательности. Фундаментальныепоследовательности. Критерий Коши.Предел функции. Предельные точки. Определение предела функции. Окрестности и проколотые окрестности. Определение предельной точки и предела на языке окрестностей.

Эквивалентность определений предела по Гейне и по Коши. Предельный переход в неравенстве. Пределе и алгебраические операции. Предел композиции. Критерий Коши.1Асимптотические сравнения. Сравнения o-малое и O-большое.Преобразование выражений с o-малыми и O-большими. Главная частьфункции.Элементарные функции и замечательные пределы.

Существование предела последовательности (1 + x/n)n . Показательная функцияи ее свойства. Число e. Натуральный логарифм и его свойства. Степенная функция и ее свойства. Тригонометрические функции. Замечательные пределы. Сравнение степенной, показательной и логарифмической функций.Непрерывность. Классификация разрывов. Непрерывность суммы, разности, произведения, отношения, композиции. Теорема Больцано — Коши о промежуточных значениях.

Теорема Вейерштрасса онаибольшем и наименьшем значениях.I.2. Дифференциальное исчисление функций однойпеременнойДифференцируемые функции. Определение производной функции.Физический и геометрический смысл производной. Определение дифференциала. Геометрическая интерпретация дифференциала. Связьпроизводной и дифференциала. Дифференцирование и алгебраические операции. Производная композиции, обратной функции. Производные элементарных функций.Приращения дифференцируемых функций. Локальный экстремум.Теорема Ферма о необходимых условиях экстремума.

Теоремы Ролля,Лагранжа, Коши о приращении.Формула Тейлора. Определение старших производных. ФормулаТейлора с остатком в форме Лагранжа и Пеано. Разложения Тейлораосновных элементарных функций.Исследование функции. Монотонность. Достаточное условие локального экстремума. Выпуклые функции. Точки перегиба. Асимптоты. Правила Бернулли — Лопиталя.Первообразная. Интегрирование по частям для первообразной.

Замена и подстановка для первообразной. Первообразная рациональнойфункции. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.I.3. Интеграл Римана2Определение интеграла Римана и его свойства. Разбиения и интегральные суммы. Определение интеграла Римана. Суммы Дарбу.Критерий Дарбу. Критерий интегрируемости в терминах колебанияфункции.

Необходимое условие интегрируемости. Интегрируемостьнепрерывной и монотонной функции. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла. Первая теорема о среднем.Интеграл и первообразная. Связь интеграла и первообразной. Формула Ньютона — Лейбница. Формула дифференцирования интегралас переменными пределами. Формула Тейлора с интегральным остаточным членом.Несобственный интеграл. Определение несобственного интеграла для бесконечной и конечной точки. Критерий Коши сходимостинесобственного интеграла.

Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Интегрирование степенных особенностей. Теорема сравнения. Признаки Абеля и Дирихле. Сходимость в смыслеглавного значения.Эйлеровы интегралы. Определение Γ-функции и B-функции и ихосновные свойства. Интеграл Эйлера — Пуассона.Приложения интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Площадь эллипса.

Объем тел вращения. Длина кривой. Площадь поверхности вращения. Независимость длины пути от параметризации. Масса и центр масс однородного стержня.I.4. Числовые и функциональные рядыСходимость ряда. Определение ряда, частичных сумм, сходящегося ряда. Критерий Коши. Необходимое условие сходимости ряда.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.Абсолютная сходимость рядов. Теорема сравнения для рядов. Интегральный признак сходимости. Сходимость эталонных рядов. Гармонический ряд.

Признаки Коши и Даламбера.Условная сходимость рядов. Признаки Абеля и Дирихле. ПризнакЛейбница.Равномерная сходимость последовательностей. Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей. Непрерывность предела функциональной последовательности. Равномерная норма.Равномерная сходимость рядов. Поточечная и равномерная сходимость функциональных рядов. Непрерывность суммы ряда. Почлен3ное интегрирование и дифференцирование ряда.

Критерий Коши. Признак Вейерштрасса. Признаки Абеля и Дирихле.Степенные ряды. Определение степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда. Сходимость на границе области сходимости. Равномерная сходимость степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Ряд Тейлора основных элементарных функций.Литература1. Зорич В. А. Математический анализ.2.

Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления.3. Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих и е„ приложения к физике.4. Зельдович Я. Б., Яглом И. М. Высшая математика для начинающих физиков и техников.5. Смирнов В. И. Курс высшей математики.6. Фихтенгольц Г. М.

Курс дифференциального и интегрального исчисления.7. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.8. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.9. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическомуанализу.10. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И.Сборник задач по математическому анализу.План семинаров1-ый семинар: Графики элементарных функций. Преобразованияграфиков.2-ой семинар: Математическая индукция. Бином Ньютона.3-ий семинар: Верхние и нижние грани последовательностей.

Определение предела последовательности. Верхние и нижние пределы.4-5-ый семинары: Вычисление пределов последовательностей.6-ой семинар: Определение предела функции. Непрерывность иточки разрыва.7-ой семинар: o-малое и O-большое. Техника асимптотических разложений.

Замечательные пределы.48-9-ый семинары: Вычисление пределов функций (неопределенности 1∞ , 00 , ∞∞ , 0 · ∞).10-11-ый семинары: Производная и дифференциал. Дифференцирование обратной, неявной и параметрически заданной функции.12-ый семинар: Теорема Лагранжа. Правило Бернулли–Лопиталя.13-ый семинар: Исследование функций на монотонность и выпуклость. Неравенство Йенсена14-ый семинары: Построение графиков функций по характеристическим точкам.15-16-ый семинары: Производные высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Коши и Лагранжа. Приближенные вычисления значений функций.17-18-ый семинары: Нахождение простейших неопределенных интегралов (линейность, замена переменных, интегрирование по частям)19-ый семинар: Интегрирование рациональных функций. Простейшие иррациональности20-ый семинар: Интегрирование тригонометрических функций.21-22-ый семинары: Вычисление определенных интегралов.

Дифференцирование интеграла с параметром.23-24-ый семинары: Несобственный интеграл Римана. ИнтегралыЭйлера24-25-ый семинары: Сходимость числовых рядов. Условная и абсолютная сходимость. Признаки Коши и Даламбера, интегральныйпризнак, признаки Абеля и Дирихле.25-26-ый семинары: Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Признак Вейерштрасса.26-ой семинар: Степенные ряды.

Радиус и интервал сходимости.27-28-ой семинар: Интегрируемость и дифференцируемость степенных рядов. Ряд Маклорена элементарных функцийОставшееся время 4 семинаров распределяются на проведение проверочных работ и повторное изучение наиболее трудных тем.Задания по основам математического анализаЗадание 1 (сдать до 6 октября)51. [8 баллов] С помощью элементарных преобразований построить графики функций:(а) f (x) =x+3,2x − 5(б) f (x) = |3x2 + 2x − 1|.2. [5 баллов] Методом математической индукции доказать неравенство1 1111 + + + · · · + 2 ≤ 2 − , n ≥ 1.4 9nn3. [6 баллов] Найти все a, для которых существует такое b, что привсех c выражение 2b2 − ab + 3ac − c2 − b не положительно. Запишитеусловие задачи в терминах кванторов всеобщности и существования.4.

[6 баллов] Для всех a ∈ R найти точные границы последовательности2xn = (−1)n (1 + a/n).5. [10 баллов] Исследовать последовательности на ограниченность имонотонность, и найтиих предел: √√(a) x1 = 3, xn+1 = 7xn ; (б) xn = n n.6. [5 баллов] Доказать, что последовательностьно малой.ann!является бесконеч-7. [12 баллов] Доказать, что последовательность xn = sin n расходится. Однако, для каждого x ∈ [−1, 1] найдется подпоследовательность xnk =sin nk , сходящаяся к x.8. [5 баллов] Используя асимптотические разложения элементарныхфункций, вычислить пределln(1 + 2tg2 x)lim.x→0 (1 + 2x2 )1/2 − 19. [5 баллов] Используя замечательный предел, найти предел (tg x)tg 2xпри x → π4 .10.

[6 баллов] Верно ли, что существуют такие числа a, b, чтоctg x −1 + ax2= O(x5 ) при x → 0.2x(1 + bx )611. [10 баллов] Подобрать функции вида C(x − a)λ , которые лучшевсего аппроксимируют функции (a) tg x при x → π/2; (б) ln cos x приx → 0.Задание 2 (сдать до 7 ноября)1. [5 баллов] Найти производную функцииqsin(e4x ) − 2 cos(ln(2 + tg x2 ))+ 2x arcsin x + 2 + 4 ctg3 x .y=x+12. [7 баллов] Доказать, что существует единственная функция y =y(x), определенная для всех значений переменной x и удовлетворяющая уравнению Кеплера y − ε sin y = x, 0 ≤ ε < 1. Доказать, чтоэта функция бесконечно дифференцируема. Найти ее значение и всепроизводные до третьего порядка включительно при x = 0.3. [5 баллов] Вспоминая неравенство Йенсена, обосновать справедливость неравенстваx + 3y− arctg x ≥ 3arctg y, x, y ≥ 0.4arctg44.

[5 баллов] Определить число действительных корней уравнения 3x4 −4x3 − 6x2 + 12x − 20 = 0 и локализовать их.5. [5 баллов] Используя правило Бернулли–Лопиталя, найти пределxlim x π − 2 arcsin √.x→+∞1 + x26. [6 баллов] Множество вещественных решений уравнения xy = y x состоит из двух кривых. Первая угадывается легко: y = x, вторая задается параметрически: x = (1 + t)1/t , y = (1 + t)1/t+1 , t > −1. Найтиугол, под которым эти кривые пересекаются.7. [7 баллов] Найти разложение функции y = ln(1 + 2 arcsin 3x) поформуле Тейлора в окрестности нуля до x2 с остаточным членом вформе Пеано, Лагранжа и Коши.78. [8 баллов] Построить график функцииrx3.y =1−x+3+x9. [15 баллов] Найти неопределенные интегралыZx(а)dx,2 + 1)(x + 1)2(xZdx(б),3sinx+cosxZx2 dx(в).(x2 + a2 )3/2Задание 3 (сдать до 30 ноября)1.