1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (Гоник Краткий курс в комиксах), страница 9

Вывееите из ,того, что если Х нахоgится в :Т, то1_1f(x)__ l./...1 <2 If(x) -/..2/.. 1П окажuте, как из ,того слеgует, чтоlim _1_. -, f (x)l../..1ГлаваПроизводнаяНэ6uрэем скоростьМы прибыли В самое сеРеце математическоzо аналuза- с е"час мы за"мемся СКОРОСТЬЮИ3МЕНЕНИЯ <рункции. Возьмем, К примеру, <рункцию s ( t ) ~t ' , которая описыва етnеремеще ­ние машины, каmящеQся вниз по нэклонноCi плоскос ти.В се20товы?Мы можем рассмат ривать <рункцию?по мень ше" мере gвумя способам и'1. К ак некое zиnотетическое устрои ­ство, кот орое сьее ает з на чени еtсвр еменнои nрямоu и указ ы вает поло ­2 .

В виее гра<рика У ~ s ( t ) ,в еанном случае ?то у ~t' ,пар абола.жение маши ны s ( t ) на маршруте.( t, s ( t ))s( t ) l -t1.в момент времениt.а скорость v( а)равнаВ от тр" спос оба./imv(a)5(а)5( t )t-t -aрассматриват ь с. коростьамашины в терминах<1'ункцuuКак мы виgели на с .5.60,СРЕДНЯЯ скоростьпо nеремещению на интервале ( а, t) nрuбли­жзеmсЯ к МГНОВЕННОЙ скорости по nереме­ще нию по м ереmozo,кэк интервал соК!'аща ­ется. Как и раньше, возьмемh. t -а и пере ­пишем отношение рэзносmе Ci:5(а+ h) -5(а)hТоща nреgел примет виеv(a ) .1.Е сли мы раама триваем временнуюnf'ям ую, то скорость машины - Э т опросто скорость gвижения КОНЧИКАСТРЕЛКИ по оси?! Стрелка указываетту еа,zgelimh) - s(a)hв еанном случае, коща 5( t ) .

t2,мы можемgаже вычислить е20 :нахоgит ся машuна, п оэ т о мускоро сть у них оg инакова я .v ( a ). /im'-оt~ ~/ '\ !~,,_оцииgвижетсяпо оси S с.о ско\;.\ростью v ( a)nр" t • а.-( а, + hh)2 _а2• /im ( 2ah + h) •Такова скоростьмашинь! в мом ен твремениts(a+,_о594t.а.•3. На Zf'aCPUKe у - s (t) скоростьv (а) в момент времени а равнаНАКЛОНУ ГРАСРИКА В ТОЧКЕа.t -у nрямоti можеmПоn роGуu sзоС1mu побыть наклон, яней н:зsеf'Х, а я нз тебязнаю, но У К?UЕЮt.'i?'t-_ _nо_,_м_оm_?,ю ·_, _ _/гНе веrю!~_/tаЭто потому, что мЫ ОПРЕДЕЛИЛИнаклон крсво" как ПРЕДЕЛ наклоновпрямых линии. Соотношениеs(a+ h) hs(a+ h)s(a)s(a+ h) -s(a)заgает наклон nрямоd, ЩU СЕКУЩЕЙ,соеguняющеu <Эве точки на КPUBoiJ:s(a)hР-(а, s(a))uQ-(а+ h,s(a•+ h)).•a+hаПо мере тоео как h~O , Qскользuт по наnравленuю к Ри наклоны секущuх PQ, PQ ', PQ"u т.n.

nрuблuжаются к оnреgеленному nреgелу, катары" мы и буgем называть нак ло ном кри­во" в точке Р. Еели s(t) - t", мы только что нашлu, что этот наклон равен и(а) - 2.а.v (а) - наклонкасательно!) к Кf'UBoиУ•аае"- s (t)в точке t - а .уВы поняли, '1то именно мЫ l ваминашли? Mbl установили. что на­клон гра<\,ика У ~ f' в точке2( а, ( ) всегеа равен2анезэвuсuмо от того, чему ?эвн о а.наклон ~1-t- 1наклон ~ 1-аРааужgая аналогично, наиеем наклон гра<\,ика лЮбоu СТЕПЕННОЙ q>ункUj.1И У ~t , (щеn-nОAQжuтельное целое число) в точке Р ~ (а, а ') , Секуща я , nровеgенная из Р через близлежа­ЩУЮ точку Q ~ ( а + h, (а + h)'), имеет накАОН(а+ h)' -а"hЕсть ли у 9того выражения nреg ел приh ~ О?Применяя обычные алzебраически е nреобразования,nОЛУ'1UМще К09<\,<\,ициенты С, - констант ы, иСnQльзующиестепени а. Вычитая а П и gеля на h, получаемОGpзmumе внuмэнu е, в СЭмо мnouegHeM4>Экт(а+ h)" -а'Все члены, К\'оме nервого, стремят ся к НУЛЮпри h~O, nО9томуlim(а + h)' - а'hош эzе Щ:nОЛЬЗ0ванnpege.

. .ax;nреg€лсуммЫ равен сумме nр 'Щелов!h11 ·02::nа П - 196Как мы только что виgели, наклон Кf'иBOa можно интерпретировать как скорость. Например,ракета может так рваться в небеса, что S(t) ~скорость ракеты буе ет равна и(а) ~ 5а'.аs ( a)~ a ?- 2- 02<;(- 2 )' ,<; ·16 , 90- 1- 1<;(-1)' ,<;ОО? .1тп32 43и ( a) ~7a '1Или, еслиg(t)<;<; .~. (+)~<>-t;-? ~ с:.

?. 91 , 40<;t ' , mozgaи(а) ~ 4а' gля люGоzо а'и( а) с:. 4а3аg( a )- 1010 0004(- 10)' , - 4000164( - 2 )' , -32- 24(- 1)' ,-4- 1ОО4 .О, О4' Р210O ~ =' о16='4410 000'iЛt',итоща в люGоа момент времени аAorozou читатель I Она именно что срункцuя от t! Мы еоворим«gля любоzо з начени я в?емени, равного СЬ.>, НО С. тем же успехоммоzли бы сказать «gю люGоzо значения времени, равноеоНО почему жеmozga V -не4'УН КЦU Я отt?1:» .

Ско­рость по nе?еме щенuю конечно же яв;\Яеmся 'Рункциеи от времен и:В люGоu момент времени у маш ины и у ракетыetmbCKopOLmb!По сути, Mbl gокззалu, что если положение мэшuны в люGоu моментвремен и равноt ',то ее CKOPOCiЪ ПО m::рЕОМЕОЩЕОНИЮВ "ТОТ МОМЕОНТ равнаv(t )nt'-'.и я тоже,межgуnpO'IUM,фУН ЩUЯ!nt' -,ttsМы получили, или nrоизвели, изvS НОВУЮ <РУНКllf1Ю . "та н овая, nrоизвоgная, срункция такzracpUKa у о 5(t) в кажgоu точке t,и называется' ПРОИ'ВОДНдЯ.

Она еает нам наклонu Jlmom наклон ?эвен скорости в момент в?емени t.уv (t)о наклон ерасрикав точкеt.•ttу оввs(t)nроизвоgная- чрезвычМно полезное nонятие, широко используемое в самых разных заgа чах,э не тольКО gля МЭШUН,komof'bIe катятся по наклонноu nЛОСКостu. П О9mому она зэслу.жuваеmсобственноzо имен и , оnреgеления и условноzо обозначе н ия.9тоОПРЕДЕЛЕНИЕf -любая <!'УНКl\ия, а хЛUW Ь»МЭm емэmU'1 е скоzо анализа!ПРОИ3ВОДНОИЕ сли«Bcezoцентральное nоняmu е-любая точ ­ка из ее о бласти оnреgеления, nроизвоg ­ная отf(з апи сывается какf ' , читаетСЯ«9<!, -штрих») - 9то <!,унщия, оnреgеляе ­мая слеg ующим образом 'f'( x) ~ lim f(x + h) - f (x)h,_ оgля кажgоzо х, при котором тaKO~ nреgелсущест вует .нахожgение nроизвоgно~ f ' называется ДИ<l'<I'ЕРЕНl.IfIРОВАНИЕМ <!'YНKl\UU f .

f '( х) - 9тонаклон zpa<!'UKa У ~ f (x) в точке (х, f (x)) . Мы больше не буgем пользоваться букво" v gляобозначения скорости. В место нее буg ем писатьтаты nреgыgущих несколькихs'( t ). в 9тo~ ново" терминолоzии резуль­CmpaHUl\ можно кратко записать в виее СТЕПЕННОГО ПРАВИЛА,ЕСЛИf(x)~ х N , ТОf'(x)<l'ормула~ nх"-1Именновроеепрост аяn09moMYона така я...крутая !Леzкоt1f'OBef'umb, чmо "тосоzласуется с результатами,которы е мы ран ьше полу чилиgля n ~n~(З91?2.n~А что буgет приО??ная nроизвоgную <\,унщииf( х)оХ'', лezКо наl1ти nроизвоgную ЛЮ&ОГО МНОГО'!ЛЕНАGлаzogаря слеgующему <\,акту:ФактIо прои]водных: суммыи константы-Эти ф акты вы зоgяmсяя UЗ'Рдктов О ПРЕДЕЛАХu 2 на с.

67.это простоl16Г-П;;-оС:,--:еv"-ю-m.Lе-::Gе-'нз СЛОВ О••1а. Если С - константа , а f - <\,унщия С nроизвоgноuf', тогеа (Cf)' о Cf', Взятие nроизвоgноu «nРохоеитСКВОЗЬ» конста н ту.16.Еслиf и g - еве <\,унщии, то(f+g)'of'+g'l1роизвоgная суммы равна сумме nроизвоg ных,ХочешьYBugembLfmo, ес ли яgокззэmе/lЬ ­Ckзжу «нет»?ство?а+ g) ' (х) ооlimf(x + h) + g(x + h) - а(х) + g(x)) оh,_ооlim Нх + h) - f(x ) + lim g(x + h) - g ( x ) о,_оh'-оh9ххх ...9mо значum, что многочлены МОЖНОеи<\,<\,еренцировать (то есть получатьих nроизвоgные) по оеному члену зараз,g(x) ~ х 9 + х' + 2х 2f(x) ~ ?х'+ 6х + ?2g'(x) ~ 9х'+ вх + 4х7f'(x) ~ 12х' + 12хИ т.е.Наклон nрямоl1 у ~ СОбрт ите внимание,всеща равен О.'!то n \,оuзвоgнаялюGоu консmэнm ы равна нулю!90Пример из жизниИсаак Н ьютон nрыгает на очень уnру20М батут е, nолоm НL.lщерас положено на ВысотеKomopozo1мот земли.!: сли батут nоgбрасывает Ньютонавверх с начальноu скорос тью100м/с,то Высота Н ьютона нае землеu(то естьezoв ертUkэльное положение,при Этом н аправление «в в ерх » являетсяnолож-umеЛЫ·tЫМ) в метрах вычисляетсяпо слеgующеu <j>ормуле:,(t)~1 + 100t - 4,9t 'Как быстро он буgет gвиzатыя через10 секуне? В каком направлении?Решение.

Произвоgная , еаетнамCkopocmbв люGоl1 м о мент врем ен и.&уе ем gи<j><j>еренцировать, по частям:, '( t ) ~ 100 - 4,9 ( и) ~~ 100 - 9,вt м/сУх ты!:?то общая <j>ормула gля скоростиН ьютона в момент времениП оgставим, '(10)~~t10 секуне?~ 10 и п олучим отВет:100 -1.t.Даже через(9, в. 10)~м/с.Скорость положительнаячто через- 9то значит,10 секуне Ньютон все ещебуgет лететь вверх!91:?томат е мэтическиуnругии батут!Азваите остановимся на минуту и nо?ааужgаем о "?оизвоенои.

Все Cm?aHUЦbI , посвященныеn?еgелам, лишь nоgвоgили нас к этОи глаВНОи ие ее, n?остому шт?иху, кото?ыи мЫ на"еnля­ем наf.То было nе?вое гениальное оза?ение Н ьютона и Леибни~а - они увиgели, что у n\,оизвоеНОиесть n?остая и точная qю?мула, кото?ая оеним шт?ихом ?аскрывает с екреты gвижения иnе?емен. Вот тебе, 3енон IЭmз uмюзuяg8UЖе.нI,.l Я оченьnуzэ еm..!!!оАз, когеа Ньютон иЗОб?етал свои «q>люксии», он gумал о ско?ости, но n?оизв оgнаяч\,езвычаино важна во многих е?угих областях, а не тольКО gля вычисления ско\,остеи.Каковы бы ни былиf (x+ h)fи х, g\,обь- f(x)Измен ен иеhf (x)показывает , как меняется f "?инебольшом измене.нии nере.ме н ­Изменение хнои х.

Таким об?аЗ0М, в n?еgелеf' n?еgставля ет сабои мгно­хx+hВЕННУЮ скорос1Ъ И3МЕНЕНИЯf в зависимости от х.е-,,нис.:е:...:..f-'.(х-,,-)f'(x ) " -,И-"3,,-м...:ее-н.:.И зменение х92ПримерыI>слu С (t) - cmOUMOCmb жuзнu в моментt, тоПреgставьте ceGe, что жugкость втекаетвремен"в L\UCmepHY (UЛU вытекает "3 нее).Еслu V( t) - oGbeM в лuтрах в моментвремен" t, тоC'(t) ~ lim C(t'-оV'(t) ~ lim V(t + h) - V(t)-h,_омzновенн ая ИНТЕНСИВНОСТЬ ПОТОКД,uзмеренная в лuтрах в- Стhскорость uзменения стоимости жизниВ момент BreMeHU-+ h)t.MUHymy.~aM e.тb: 9 то не/lЬ3Я9то изме­назв а ть скоростью(10He.Huen еремещснuю,nOCKO/lbky~исmеr нэПрямая gopoza nоgнuмается в горы .Множество nrоцессов, наGлюgаемыx в Ж"U3ниJзависят не только отgpyzuxsreMeHU,I>слu А( х) - Высота goPOZU в точке х, тоно и отnеременных .

НЗnрuмер, возgух набольwоCiBbILomeстановится rэз?еженным.А'(х) ~ limЕслu Р(х) - gавленuе на Высоте х, тоР'(х) ~ limР(х,_о-скорость+ h)'-оBblcomeА(х+ h)- А(х)h- Р(х)h- наклон (UЛU УКЛОНУ gOP02U В точке х.(Эта велu"uна - Gезразмерная, поскольку gля"3-ее nолученuя мы разgелuлu метры на метры.мененuя gавленuянатемnаuнсрляцu u !Уклон оGычно uзмеряется Вхнаеguнщу "змере­нuя выеоты(скажем, в пас­калях на метр)."то так назы­BaeMbItlГРдА,ИI>НТДдВЛI>НИЯ.•93npOL\eHmax .)Теперь мЫ готоВЫ К g"'l'4'еренцированию ,лементарных4'YHкци~, но сна"ала ...ЗАМЕТКИ ОБ условных ОБОЗНАЧЕНИЯХ(в СТИЛЕ ЛЕИБНИЦА)Kozga мы пишем f' , "тобы обо}на"ить nрои} ­воgную f, то nog"epKUBaeM сра}у gBa 4'акта:3a'1€Mс т оль коразн ы х о бо ­а)f' -,то nрои}воgная ;б)f' -,то nрои}воgная от 4'унщииН О вы "асто буgетезначении?П РОU 3Еюg н э я- в се равно чтоzомu вуg ск ая 3В€З9 а! О на можетиметь с т ольк о обоз на чении ,СКОЛЬ К О з ах о ч е т!f.Bugemb, как nрои}воgнуюgpYZUM способом, вот}аnисывают совершеннотак:dydxилиdfdxЭта ра с пространенная }аnись nog"epKUBaemgpyzueа с пеКты понятияnpOU}BogHoa:в) что она по сути евое.и являетсяотношен и ем;г) "то она берется по nepeMeHHO~ х.Ле~бниц и}обрел }аnись dy/ dx, nоzляgев на nOKa}aHHЫ~ ниже гра4'ик.

6.х (nрои}носится«gельта икс») обо}на "ает и}менение nepeMeHHO~ х, или то, "то мы go сих пор на}ывали h.6.f или 6.у - соответствующее и}менение в }на"ении <!,ункции . 1-1 ными словами,6.у ~ f (x + 6.х) - f(x). Символ 6. (}аzлавная zре"еская буква gельта) просто о}на"ает«u3MeHeHue В ... ».Тоща наклонДельта! десекуще~ равенП от ряс аю·щее t.:ОВ n Э -6.у6.х6.у6.хх+ 6.хх94\.~в 9той системе оБозначениймы напишемdy_ lim~-t:>.y",-оt:.xЛейБниц считал, чтоЧто за страннаяПросто у тебяиgея! Откува ты ееGиконечно ~лоевзял?goo~eнLle ...илиdx и dy -что-то В\'ове «Бесконечно малых»версийt:.x и t:.