1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (Гоник Краткий курс в комиксах), страница 8

< О, то существует интервалвокруг а, на котором f( х)fn09cтaHOBKO~ -<О. Доказываетсяв 7а.5в. f: сли f(x) ~ о 9ЛЯ всех хна некотороми нтервале вокр уг а , т о /im(если nре9ел существуе';';:f( х)~ оПеrевоg '7 а н а nрос т оu Я3ЫК:функцuя С nоложumельны Mnrege/lOMВ а gолжнэ быть nало;t:1.jmеЛЫiOl.1ДОКд3Д ТЕЛЬС'ffiО . f:сли бы nре9ел был отрица ­тельным, то, tоzлаtно 76, мы MOZ/lU бы наuтu и н ­тервал вокруг а , в которомf (x)отрицательна.I1риХ09им к противоречию.5г.

То же, что 7В, только ~ ВСЮ9 Узаменя ет ся на::;.Пruмечанu е. Мы не можем 321kлючum ь , чт оу n о ложuте льно ~ ф у н кции n ре9ел т акже nо­лоЖ"U mе лен . М ы може м зэ ключить т олько ,что он неот!,ии,ателен. Н аn!,имер, з на ченияфункцииf ( x) ~ х'/хBcezga(х '" О)положит ель н ыIно/im f ( x ) ~ о.72в oкpecmHo..::mu а.vи наконец вкусны" rезультат!Теорема 6утер6рода* !:Осли g(x) <; f(x) <; h(x) gля всех х в некоторомlim g(x) ~ lim h(x) ~ /.., mozga таКЖе lim f(x) ~ /...интеf'вале BOКf'YZ а , их _ ах _ ах - ·аА gля овоще й этоKyga хлеб, mygamоже F'эбоmаеm?u колбаса!\.

в 170((UI) ?ту т ео?ем у nрuняmоназыва т ьнерах.meopeMOUKozga gsaоgsyxмuлuцuа­милицион еr аBegymnrе сmуn н uкэ, то ему н u куg эне gеm ьс я: куgэOHI.<, m уg э и он .ПРUМ. nе рея,ДОКА3АТI'ЛЬСтво. Пусть нам <Эанлюбоu интеrвалIBOКf'YZ /... Лемма 1услужливо n оgсказывает, что суще­ствует интеrвал ]' BOКf'YZ а, на Кото­ром О&!:О <!,ункции, g(x) и .h(x), заnеf'­ты в интеrвале I.h(x)--I/..так­нх)же gол.жна nоnэgать в I, посколькуf( х) Bcezga леЖI'т межgу g( х) иЫх).

Это значит, что lim f(x) ~ /...g(x)для кажgоzо х из ]' тощаf( х)x -, ~На ера<!,ике выfBugume,зажзта межgу9 и h,чтокакначинка в бутеrбrоgе межgуgвумя ломтиками хлеба, и еене.остановимо nоgmзлкuваюmК точКе (а , Ц.у ~ НХ)-у 4J! Как ymомumельнав ся эта т еория !~, gэвэ uМ ожет. сg€лаемuэелаемnepepbIl3?Э" .'1TeoreMaбутеrбrоgаKopomKUIA ...интеРВал!InrUHocum нам nerBblti уgивительныucraBHUM УГОЛ и ezo СИНУС,rезультат gля наст оящих,полезных функции, ~BaитeУzол е св raguaHax!) - этоgлинаgyzu,Ркотоrую этотуz ол оnrеgеляет н а еgинич н оuоК?ужност и, в то в rемя как-евеrтикальная cmorOHaтrцzольника ОАР, П о Meremozo КаК е уменьшается.sinК?ивизнаgyzuОчень труIЭНОра)zляgеmь...вс етакое мелкое...также уменьша ­(J)ется, поэтом у rазница межg ус'\Лзна че нием уzла и значениемсинуса становится меньше,А чтоnroucxogum, Kozgaе-.О?ОА74Ь;3е величины становятся неразличимы! Вот ,тот уgивительны~ результат в виее ФОРМУЛЫ'/imе-оsin ее~1Q'ДОКА3АТЕЛЬСТ1!О, Преg nоложuм, что уzол пересекает кpyzв точке Q.

Проgолжuм линию OQ go точки Q', которая на хо ­gится прямо Hag Р', точко~, в Koтopo~ окру"",ость пересекаетось х. Тоща ОР ~ СО5 е, QP ~ 5in е и ор' ~ 1.Поскольку треуzольникиOPQu OP'Q' nogoGHbI,из Этого сле.gуеm, чтое(j)P'Q' ~P'Q ' ~ PQор'~ОР5in.5еu\СО5 ееСО5 еРр'Теперь ПЛОЩАдЬ сектора OP'QpaBHa попросту е /2 (в paguaHax, не заGыва~те), такчто nлощэgь маЛО20 треуzольника OPQ, nлощаgь сектора и nлощаgь Gольшоzо треуzольни­каOP'Q' оGразуют слеgующи~ «GymepG\'og» неравенства'111т 5in е СО5 е < т е < 25in еСО5 е"'т о umре60валоt ЬРазgелив Все на+- 5in еgОkэзэm ь !(Koтopы~ не равенТf'3~ЛЯ-ЛSI!НУЛЮ ! ), получаемСО5е <е5гii'eили, перевернув1< СО5 еgpoGu,cos е < 5i~ е < _1_СО5 еП о мереmozo как е ~ О, точка Р nриGлиК<Jется к Р' , так что СО5 е (а слеgовательно,и 1 /СО 5 е) стремится к nреgелу, равному 1.

Отсюgа по теореме GymepGpoga вытекает,что (5in е)/ е стремится myga же. Что и трeGовалось gоказать !7'7Пределы на бесконечностии бесконечные пределыВысшая мэmемэmuкэ занимается не только очень маленьКими веЛU"1uнамu, но и очень 60/lЬШUМU .Например, мы можем заинтересоваться, как Begem себя 4'ункu,uя «В gальнеd nepcneKmUBe», коzgэх-00.Вот 9та функция, наnР...lм ер, nриблuжается к nреgелу, равному'3, KozgaХ сmремитсяк бесконечности.к чемувсе 9тоugem ...Иноzgа <l'ункция взмывает в бесконечностьв точке а-Это з на чит, что, коzgэ x~a, зна­чения f( х) неоz?аниченно воз?астают. В от 9та<l'ункция, наn?име?, взмывает в бесконечностьв точке Х ~1.:в таких случаях zово?ят, что n?еgелом яВляется&ЕСКОНЕЧНОСТЬ, и пишут/im f(x')~ 00х_ 2в Gеаонеч­Нет -н ет ..

. 9mоность и gалыuе,zоgumся mолькоэ, Гоник?gляzepoeBкомикса...y~761(х -1.)'ТочныCi СМЫСЛ <\'ормулыtlim f(x) ~ 00<- ,таков: gля лЮбоzo СКОЛЬ угоенобольшоzо числаинтервалчто f(x)gится вN существуетJ вокруг а, такои,> N, коща х нахо­IIJ.с тем жеИНТЕРВАМIBOKPyr 00 суще­J вокруг а,ствует интервалтакои, чтоf( х) нахоgитсяв Т, если х нахоgится вNПомните, ~тo ugmu вytnexOM можносказать, что gля лЮбоzoJ.Что -то мне этобесконечность на самомgеле 3НЭLщm уйти gал ь wелюбоzo 9F'YZ020 чuсла!J~а II!lоgобным же обраЗ0М nовееение <\,ункции «В gальнеCi nерcnект иве» можно иноща описатьв виее nреgела, коща x~ 00. Например, <\,ункцияg(x)о 1/х-убывающая и nоехоеит СКОЛЬуzoено близко к О при неоzраниченном росте х.

Мы заnисываем это так:Вероятно, теперь вы знаете мантру,Jv.я кажgоzо интервала 1 вокругкоторая поможет оnреgелитьJ~"2,f(x) ~1-:1-(то есть 9ЛЯ кажgоzо Е>существует интервалвокруг 00JО)(то есть совокупность всех '1uс:ел,больших некоторого числа N), такои,что если Х нахоgumся в uнmе?валеJ( х > N), то f( х) нахоgится[(1 f( х) - 1-1 < Е)в интервале-ЕN -----------~--------~~~Коща х> N,77f( х) отстоит от nреgела менее чем на Е.Многочлены на 6есконечности3авершим эту главу раака З0М о том, как вееут себя многочлены при стремлении к беско ­нечности. Рост полинома степениап хП•/(ozga х--nоnреgеляется в осноВном РОСТОМ ЕГО ГМВНОГО ЧЛ{;НА00.

Членами БО/lее нuзких сmеnенеCl при 7том можно nренеG'pечь, так какони растут zоразgо меgленнее.Вын е }эслужu­вэетевнимания...Теорема о росте многочленовП усть Р(х) и Q(x) - мноzочлены степени n и т соответственно.Р( х) ~ аn х"+ аn . ,хn - 1+ Ьm _,Q ( x) ~ ьmх m+ ... + аох m -'+ ... + Ьо(а т Ь m '" О)ТогеаН а языке м.аmем.ЭI11UКU Это1. (;сли n ~ т, то lim Р(х) ~ ~х-= Q (x)}ВУ'1ит так; mJ-Iоzоч,лен вые­Ь,шао n оряgка еоминируетнае м.нО2ачлеНQМ нuзш еzо.nоряgка .Р (х)2 . (;сли n < т , то X~OOIzm Q( х) ~ о3.{;слиn >т и а, и Ь m имеют оеин и тот жезнак (то ест ь оба положительны или оба отрица ­тeлbHы)' тои - (х), Kozga а п u Ь т uмеютпроти в оположные знаки.Примерыlim 3х ' + х + '>03х-= 2х ' + 900х +1 ~ '2lim 4'>Ох' + 9х ' + '>0 ~ О'-:-00хf:l + Х +1(в числuт еле и знаменателе МНО20 члены OgHOUu той же степ ени) 2 )(степень чиСлителя меньшестепени знамеl-lэmеля)7ВА,ОКА3АТЕЛЬСnЮ ПУНКТА 1.

Пустьn~т . Поскольку число KOPHe~ мноzочлена конечно,Q(x) ". О "ри gостаточно больших значениях х. Слеgовательно, функция P/Q ОnFеgеленан а некотором интеFвале BOКPYZ 00.Р(х)Tozga gля больших значени~ х можно написать'Р(х)/х'Q(x) ~ Q(x) /х'т еnерь можно вычислять nFеgел OgHOZO членаза gFYZUM "ри х ~ 00. Поскольку всео ни сmрем.яmся !ос нулю,kPOMe. а п u Ь п ,получаем то, что mре60валосъ gОkззаmь.n<Пункт 2 Вытекает из пункта 1. Еслит,то при gос:mаmочно больших значениях х+ аох тьтх + ...

+ Ь оmР(х) ::. х П - 111 ап х +Q(x)тп0'0М ы только что показали, что у втора­zoКОЭффициента есть конечны~ nFеgела,/Ь т , Kozga х ~ 00. Посколькуlim х,-т ~ О, nFеgел их nFоизвеgениятоже о. Пункт '3 gоказывается" римерно так же.в случае Q(x) ~ 1 nFеgnолаzается, что любо~ мноzочлен Р (то есть числитель)ИМЕЕТ &ЕСКОНЕ'1НЫЙ ПРЕДЕЛ НА &ЕСКОНЕ'1НОСТИ. Мноzoчлены не MOZym колебаться(то есть скакать вверх и вниз) постоянно - В конце КОНЦОВ они gолжны npи~тиlimР(х) ~ 00, если КОЭффициент zлаВН020 члена nоложuтельны~,- ~lim Р(х) ~ -00, если коэффициент zлавноzо члена отFицательны~,- ~79Когдапределане существуети нэконеL\ я gолжен отК1'ытьВЭм мэленьКии сеК1'ет ...И ноzgэ nrеgелэ не суще­ствует...Нэnrимеr, ни у синусэ , ни у косинусэ нет оnrеgеленноzо nrеgелэбесконечно колеблются межgу-1и1,мэлыи инmеrвал ВОК1'уz любоzо числэ, знэчения,mozonru Х-> 00.

Обе функциисколь бы ни были велики знэчения Х. В озьми т е любои$inх и СО$ Х буgут nосmоянно убеzэmь изинmеrвэлэ. ?нэчиm, ни оена из ,т и х функции не стrемится К оnrеgеленному nrеgелупри х--00.Ifочки за nrеgелами&ыва ет mакже, чmо у фунщии нет onrege-IН О такие «nаршивые овцы» ветре­ленноZО nrеgела в конечнои mочке а. ВотчЭюmся regKo (во всяком случэе, вmэкое чуgовищемоеи KHuze). Высшая математика всяnocmroeHaна еовееении ео nrеgела,тЭК чmо мы буgем rэамэmrивэm ь т еg(x); $in(+),фунщии, уKomOrblXон есть.

От ныненикаких nэршu вых овец!виляет вверх -внuз. nFичем тем kошмэрнеа ,чем ближе Х nоехоеит К о. У функции gB~ga,..a я вашенет nrеgелэ nru Х ; О.во-ВОMHOZUX случаях nrеgелы нахоgятся ле264, чтобы HaL1munrеgел lim f(x), ЧЭсто gостэточно nrocmo"О. Как уnомuналосъ на с..nоgстэвu;;:'ь а в f ,lim _1 ~_1х _9 х9,• > ---.., .lim sine -~uе ~тЭК gэлееsi n 4...~~~с.амые.

с.ложные. п,?име,?Ы в ?тои 2Аавеmakue;lim sin хх _оХОбе ,т" <!,унщuu соgеrжэт gеленuе("не случэCiно!), зн эменэтель стrемuтся К нулю UЛU Кбесконечностu ... Неуguвuтельно, что "Х nrеgел нэCiтu сложно! Тут нельзяOgHO вgryzoe U nолучuтьnrocmo воткнутьrезультэт!h..p, npugеле.н uuна НОЛЬ ещеu нетакоеСЛУ'1эеmся..в слеgующеu ZЛЗВеМЫ буgем r эамэт ­риваmь uсКлючumель­но nrеgелыnru91gеленuu.. .ЗадачиHa~eитe nреgелы:7.

Ii m -"x~2-'+'--X"'7--,-,2~,,_1х - 1Поgсказка: noеставьте у ~ 1/(Х-1) и Ha~eитe nре­2. ,lim, ОХ + С), ще с"27.-gел при у ~ 00. A:rYZo~ вариант: пустьHa~eитe nреgел при h ~ О.константа-1,Х)(-0Поgсказка: исnользу~те тригонометрическое· -,-Х,;::'--'+;--,-"х--:::-+--,14 . 1zm29х + 92тожgество gля.-.=,in2х .9.lim ,in, x'7. lim 21n t,,t--- r.i!'-о10. limсо, х",- со Х~ хв.

lim ,in 2хl'zm -,-X,:,'--'+;--,-"X--:+::1~3,-.= 4х + 176. limh,-о- 1Хх,in (~)Поg сказка: исnользу~те теорему бутерб\,оgа.11. На с. 2'> мы оnреgелили срунщию f (x) ~ [х] как целую часть числэ Х, то есть самоебольшое целое число $ х. Вот zрэсрик срунщии е(х) ~ х - [х]. Существует ли nреgелlim(х - [х]) ем любоzо целого n?,,_ 2 (х - [х])? А n\,еgел lim)( - .nnПри приближении Кn СЛЕВАе(х) ~1.

При приближении к n СПРАВА е(х) ~O. 9то нэвоgит намысль О существовании ОДflОGТОРОННИХ ПРЕДЕ:ЛОВ (ПРЕДЕ:ЛОВ СЛЕВА И СПРАВД). Как вамкажется, ,то уgачная иgея? Матемэт ики gумают, что еа ... И записывают они , то так:lim е(х).-,левы~ nреgелnpaBЫ~ nреgел12. Пусть f - любая срунщиятакая , что lim f(x) ~ /.. и/.. '" О. Исnо~Ь'зуя оnреgеление"реgела, gокажuт е, что суще­ствует oткpыты~ интервал :твокруг а, тaKO~, что если х на­хоgится в :Т, тоlf(x)1 > 1/../21.ДоnОN-fu m елъное зэqа­Hue: напишите формаль­Hble оnрe.gеленuя!1;.