1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (Гоник Краткий курс в комиксах), страница 7

"то записыва­ется так, lim f (X);L. иозна"ает, "то Гl'АСРИК у; f(x) СТРЕМИТСЯ К ТО'1КЕ (а, /..).< -оП о gopoze он может вилять туgа-сюgа, но в KOHL\eKOHL\OB все же nрихоеит К (а,"то nоnаеает в любую скольность с L\eHmpoM в ( а,L.) иL.) -в том смысле,YZOgHOмалую окруж­остает ся там.С nреgелами особенно леzко работать, Kozgaf -оена из уже рассмотренных ;lЛЕМЕНТАРНЫХСРУНКU}1Й' степенных, mpuzoHOMempu"ecKUX , nоказательных или обратных им. Е сли такая<!>унщия оnреgелена в то"ке а, то zрафик иеет туеа, куеа и gолжен иети, а именноlim f( х) " f( а)LfmoGbI H8umunреgел в тО'1кеа, ну;::кно просто 60ткнутьНапример,а в <рУНКЦUЮ!lim _1 ;_1<-.,хlimco5G ~ -:r12.9е; о,\;IПочтиBLe,что вам нужно знать оnреgелах вgобавок К уже изложенному,Bxogumв списокОСНОВНЫХ ФАКТОВО ПРЕДЕЛАХ.

Пусть С константа, аfиg - еэве <1'ункции, оnрееэе­ленныe в оК?естности а*, так чтоlim f(x)~1-х -. "иlim g(x)~ М,x-~тощаI а.В.2.3.4.Ь;>я любоzo а: lim С ~ С,- ,lim(f(x) + Оlimf(x) + С~lim(f(x) + g(x))"- ,~lim(f(x) g(x))х.а~1- + МI-M'если 1- '" О, mozga lim _1_ ~,-, f( х)+1-Короче zоворя, можно вычислять nреgел nроuзвеgениu, сумм и КО9<1'<1'ициентов по отgельно­сти gля кажgоzо члена в составе мноzочлена (только Ge?ezumeCb, чтобы знаменательне оказался нулем!), а константы просто выносятся за знак nреgела.9то такуnrощаеm жuзнь!ПримерЬ;>я любоzо а'"О• & уеэем ZOBOPUmb , что <1'ункция оnреgелена в окрестности а, если она оnреgелена на откры­том интервале, соgержащем а, за исключснием, возможно, caMO~ точки а.65Ну вооGще-то о nrеgелахА;.я начала еаеим cmrozoe оnrеgеление nrеgела! ЧтоGыстоит знать КОЕ -что ЕЩЕ ..

.понять ezo, nocMomrUM, что<1'унщие~Ну лзgно,на с. 62 и 63 сТЫ можешь сgеllэmь ток, чтобы оналзgн а, ~ l леZkЭn p e ybe,"l) '-tU ЛnroucxogumC?(t) в оК\'естностях точКи t ~ 3.om"u'-tЭЛЭСЬ не больше '-Iем на О,ООО1?..,----,.«Соgеrжание бесееы в оGщих чеrтах' ты Grосила мне ВЫЗ0В, nrиказав nrUBecmu C?(t) в К\'охот­HЫ~ интеrвал I в оК\'естности 1.- nриGлижением t к а. «Раеиус» (половину gлины) ,mozoинтеrвала мь' назвали Е:, ,nсилон. Ты nотrеGовала, чтоGы я сgелал 1.- - Е: < C?(t) < 1.- + Е:.1.- + Е:а1.- -я nrинял ВЫЗ0В и нашел интеrвалJВОК\'У"Тоща ты соzла силэсь, что nrеgелgе~ствительно raBeHа, mзкоt1 J что S нем !Зыnолняется:еслиt нахоgится в J, то С?( t) nоnэgает вЕ:I.I1.-I661.-.;/то тоже можно 6ырэзить формулоCi . &ygeM иСnOЛЬЗ06этьфункции и Х 6местоtf6место17 gляОбознэченияgля nеременной.

Я нарисую ZРЭфик, чтобы 6Ы моzли рассмэтри 6атьnрou,есс g6умя разными способами. СмыслOgUHи т о т же, отличэется только изложение.Простоз э меча mеАЬНО!Н у, ? т о ... 7 ...T i>1 хочешь,gля нихчmоGы я nр u зналэC50€... .поражени еg6экgы?Итак ' ты бросила мне 6ЫЗ06, nреgлэzая gляя в ответ на это н а шел nаЛD;:.КUmельное>If (x) - !-I <чи слолюбоzo <;о сgелать так, чтобы<;, то есть nри6ести zрэфикфунщии 60т 6 9ту полосу 60К\'У' !-'8 (рэgиус uнтеР6ЭЛЭ J'!, облэgэю ­щее слеg ующим С60йст60М'аЕсли я«еLЛUеслиCMOZY от6етить на т60Й <;-6 Ы­З06 таким...8,то... »выnолняеmlЯ, mоzgэ~тоIf(x) - !-I <<; .Разумеется!ты, конечно, соzлэ сuшься, чтоlim f( х)Ix - al < 8.что при нем nослеgнееЯ решила!-.m?акmовэmь эmокакТы незэGо,.-.елэ?67noGegy!Таким образом,et mb евасnо шба еать срормаль ноеопределение предела:П уtть f - срунк~ия ,оnрegеленная в oкpecmHotmu точКи а (хотя и не обязательно в са ­мои точке а) .

Тоща сказат ь , что l.ЯВЛЯНСЯ ПРЕДЕЛОМf,КОГА,Ах СТРЕМИТСЯ К а, можно вот так,АЛГЕ&РАИЧЕСКИЙ СПОСО&для любого Е>ИНТЕРВАЛЬНЫЙ СПОСО&Для кажgого открытого инт ервала IО существует числоБ > О такое, что еслито If (x) - ~I < Е.а - БIx -аl<Б,вокруг l.. существует открытыи интер­вал J вокруг а, такои, что если Х нахо­gит ся в J , то f ( х) нахоgится в I.Н а uнтервалеа+ Бf ( x)l..l.. +Еаl.. -Е.т:r 'i'унщuя«n оCiмЭнэ» или«заперта» в Т.IIIl..оа~~..jl-Мне Gольш е нравится интервальна я кэ р­mUHka)но во всех У'i еGн uкэх nрuвоgumсяиме нно алге6\>аическая версия оnреgеле­<ния .

Ее как мантру тверgят поколениястуеентов, изучающих математику,uвкони,е KOHu,OB она либо вnе'iэmываеrn сяв моз г, либо.. . какбы , тО сказать ...не впечат ы ваетс я.~ кэ%gоzо'7 n t uл оооооммммммм...Чтобы yBugemb, как работа ­eт ЭтоonpegeAeHue, gaBau -ь.;..я кажgоzо эnсиАОНте gокажем нек оторые ОС ­HoBHыe n ОАожения осо сосуществуетnpegeAaxgeAbma ...ь.;..я кажg оzо эnсиАОН67.существуетНу- каgeAbma ...ь.;..якэжgоzо эnсuлон сущес твуетgeAbma ...посмо­ь.;..я кажgоzо ...три!Факт16о пределах.

ЕСАи lim f (x) ~ /..., то lim и(х) ~ С/... , zge С - константа.1<_"1<_<1ь,ОКМАТЕЛЬСТВО . Дано , Е:>О (,тиПоэтому gaBaume возьмем6такое, чтоgоказа теАьства ВСЕГДА так начинают ­ся). Мы наgеемся наити чисАСтакое, что если6>О,ICf (x) - С LI < Е:. Мы замечаем, чтоICf(x) - CLIеСАиIx - al < 6,mozgaIx - al <: 6 , то~ICll f (x) - LI,в этом случае есАи 1х -ICf(x) - CLI~If(x) - LI < ~ICIal < 6,тоICll f(x) - LInо?то му еtлuIf(x) - LI <I~I'мЫ получаем то, ч то нужно.

Н О можемАи мы заnеретьf( х)в Этом интерваАеО твет' конечно, можем!По оnреgеАени ю npegeAa, мы можемCAegOBameAbHO, С f ( х) заnерта в окрестно­сти С/... paguyca Е:, u наше gоказатеАЬствоз авершено.E:/ICI?зэzна т ьf(x)в Аюбои маАЫ" инт ерваА,иСnОАЬ3УЯ некое чиСАО6 ...;/ то КАЮЧко всему nонятию npegeAa!-----(TagaaM!!!.докажем еще несколько nоложениlJ о nреgелах, опираясь на еле ­gующую nреgварительную теорему, или лемму, как называютэто математики,Лемма1.Преgnоложuм, что lim f(x) ~ lim g(x) ~ L.Х _ <1X~ <1Если I - люGоu открытыи интер"ал "окруе ,-, то существуетЕДИНЫЙ открытыи интервал .1 вокру, а, такои, что на немО&Е 4>унщии f( х) и g( х) заnерты в I.дДОКА3АТЕЛЬСТВО. По оnреgелению, существует открытыиинтервал.1f вокру' а, gля котороео f( х) заnерта вI,'-tmogелаюmвы uмзюmmс леммами?ииз нихеще оеин ("озможно, отличающиuся от nер"оео) открытыиинтервал .1, вокру, а, gля котороео g(x) заnерта в I.1.1,Тоща ПЕРЕСЕЧЕНИЕ .1, и :Г" то есть мно,.-е­1Jf.1.

-ство тО'-1ек, которые nрuнаgлежат обоим ин­терsалам, также является откFъ l тыMgинтервалом .1 вокру' а. Если х nринаgлежuтк .1. тоееа и f(x), 'и g(x) nоnаgают в I, что"Леммаи треGовалось gоказать.2.Преgnоложuм, что !~1!J f(x) ~ !~1!} g(x) ~ О. Тощаlim f(x) g(x)~>:_11limНХ)+ lim g(x)Х_<1~ оx~aДОКА3АТЕЛЬСТВО.

для люGоzо еанноео Е:>О, соzласнолемме 1, существует интервал .1 "окруе а, такой, чтоесли х нахоgится В .1, тоlf(x)1 < ~.1и Ig(x)1 <~Если х нахоgится в2.1,тоIf(x)1 + g(x)1 S If(x)1 + Ig(x)1 < ~If(x) g(x)1 ~ If(x)1 . Ig(x)1 < ~2I~+ ~ ~ Е:< Е:Что и треGовалось gоказать.

(Мы nреgnоложuли, что Е:,то не страшно.)70I~<1, ноЕ:и2О-Е:/2-Е:Доказать <ракты 1а и 1в я nгеgОLтавляю тебе, читатель! Это LOBLeM нетl'уено.Пгеgnолаzая, что <ра кты 1а и 1 в gоказаны, gокажем теnегь <ракты 1. и,.Факто пределах.1!~rr;(f(x)lOаи lim f(x) - 1.. и!~r:: g(x) - М, то+ lim g(x)) - 1.. + МДОКд?АТЕЛЬСnЮ. Пгименим лемму 1. к 'i'ункциям f - 1.. и9 - М. Когеа х--->а, обе новые <рункции LтгемятLЯ к О , LОZЛaL­но <ракту 1в.

Поэтому0- lim((f(x) - 1..) + (g(x) -М)) LоzлаLНО лемме 1..; ( -, (]- lim((f(x) + (g(x)) - (1.. + М)),- ,- [li'Г_С(f(Х) + (g(x))] - (1.. + М) LОZЛaL НО <ракту 1в.Поэтомуlim((f(x) + (g(x)) - 1.. + М.<-,Факт3Готово!о пределах.lim(f(x) (g(x)) -<- ,IOLли !~п; f(x) - 1.. иli;r:~(x) - М , то1..МДОКд?АТЕЛЬСТ1Ю. Снова nгименим лемму 1. к функциямf - 1.. и 9 -М,котогые, когеа Х ---> а, обе Lтгемят LЯ к О.о- lim [( f( х)>-,-1..) (g( х)- М)] (LоzлаLНО лемме 1.)- lim и(х) g(x) - 1..g(x) - Mf(x) + 1..М] (nГОLтая алzебга)>- ,- limX ~ "Нх)g(x) - lim 1..g(x) - lim Mf(x) + 1..М (LOzлаLНОх_афактам 1. и 1а)"' - ~- lim f( х) g( х) - 1..М - 1..М + 1..М (L оzлаLНО факту 1б)<-,А чеmверmыr.J факт- lim f( х) g( х) - 1..М, а значит ,о nrеgелахх -· "nycKau90-КJЗЫ6зеm кто хочетlim f(x) g(X) - 1..М.

Снова готово'>- ,71...Еще не сколько фактов о nrе9елах nоложuтельных-'отrии,ательных функци~, а также нчзтеrиал к размышлению ...5 а . f:сли /im f (x) ~ /..> О, то f(x) > она некотором интервале:J в округДОКд3ДТЕЛЬС'ffiО . 11 устьI -а.любо~ oткpыты~интервал, С09ержэщи~ /.., но не С09ержэщи~ О.110 ОnР"еелению nре9ела, существует интервал:J вокруг а, на котором f ( х) всеща nоnэgаетв [ . 110СКОЛЬКУ [ сос т ои т только из nоложuтель ­ных чи с ел , 90 казательс тв о завершено.56.f:сли /..