1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (Гоник Краткий курс в комиксах), страница 5

СначаАа ВЫЧUСАЯется ре3УАЬ­тат <рункции х 2 - 1, а потом "3 Hezo "3ВАекает­ся KBaвpaтHЫ~KOf'eHb, иАи равикаА.BHyтpeHHe~ <PYHKциe~, аПример9-1.Примерg(y)~ у2в q>ункцuюf(x)~- 9тоtg х, а внешняя - g.Мы nuшемНх) ~ g(f(x))Внутренняя q>ункцuя:Внешняя q>ункцuя:u(t)~ е'б(х) ~ v(u(x))3.пример~ tg (х 2J.l(x)+ Х + 1)Внутренняя q>ункцuя:g(x)и(х) ~ х 2+ У + 1.Внутренняя q>ункцuя1.&(х) ~ е,2СначаАа наховим tg х, потомezoназываетсявнешне~.F(x) ~ tg 2 х + tg х + 1nоgстаВАЯемfpoga.~ х2+Х +1Внешняя q>ункцuя:.f(e)~tge!нх) ~ f(g(x))Что зgесь nроисховит? Выхов oвHO~ <рункции noвает­ся на вхов gpyzo~. 4'ункцuя<рункции f.9 «съевает»ре3УАьтат<1'у-у-у!у сnокоl1ся, ..КакаяМЫ %е не проzэ ость!фунщuu орzанL.!3МЭZOBOpUM.,;I'C'\'),~~~g(f(x))44-,и~~__По сути, вслеg за сmрелко~fВ gело вмешиваеmся сml'елкаФункцию9'h называюm комnозщие~ 9 и f.9~Hozga nишуmоf.~Me~тe В Bugy, чmосначала вычисляеmся внуml'енняя ф ун кция.Ее сml'елка нахоgиmся слева.

ТаК%е иMe~тeвBugy,чmо nОl'яgок в ычи слений имеет з наЧ<>ние. В общем случа е9оf", fо9.Взяmь хоm ябы n1'UMel'"' 1 и 3 с nl'еgыgущеCi ст1'аницы:Н9 ( Х)) ~h :x~f(x)t9 (х 2 + х + 1) '"'" t9 2 х+ t9 х+ 1 ~ 9и(х))~ 9 (Н Х))Можн о выст1'оить цепочку из неск ольких функци~, п оче м у бы и нет ?Композиция тесно свя за на с\дробными степенями.\\1Скомпоновав Нх) ~ х " с 9(У) ~МЫ получаем gl'обны еcmeneHU\y m,\\Х'\\\\\Сначала извлекаем КОl' ень П-йзаmем возвоgим в m-юcmeneHU, аcmeneHb, или наобо­\...рот (в gaHHoM случае nОl'яgок вычисления неважен) ."4'5.-Е ще оена важная иgея;Что nЛОХОlООбратные функциив НU'1еzонеgеланuu ?*vИноzgа комnози,<ия евух <рунщийеает о,ень ст?анный ?езультат.Она не gелает сa?ZYMeHmoMнuчеzо!ПрнмерЕ сли1f(x) ~ х ТПоgставив Х в9оиf,g(y) ~ у', то1•ЫХ) ~ g(f(x)) = (х Т )' ~ хМЫ снова получаем х.h возвоеиткомnози,<ия этих евух <рунщий не gелает ничеzо'9 каккубический корень в куб, так чтобы отменяет ееuствиеf.Столько т?уеа,а толку?Иными словами,f(x) - это число, куб KOmO?OZO ?Эвен х.

Мы чэсто ищем ответ на такиезаgа,и, например;U/ltJ то же ~ luм!!о"uчеt.:коt;;заnuс u - ",экое ЧUl"О Х, ечutло, квэg?эm которого равен4число, синус которого рав ен +Г2число экспоне нта которого равна 2}U/lUt:>!вляеmся решениемwэвнения:Jх' ~ 4[ sinе' ~• 3еесь авто? вы?ажает блаzоgа?ность китайскому <рилосо<ру '1жуан-,<зы!468.2+12Но тут возникает оена СЛОЖНОСтЬ. К несчааnью, МЫ не можем искать число, кваерат Кото­рого равен4, поскольку таких чисел ева' 2 и -2.Оnреgелисьнэконе,,!-С синусом gело обстоит ещехуже . Угол 1Т/4 являеmся ре­шением уравнения. 8, - 1 гz2ЯN2'но кроме не20 ?ешениями ЯВ­ляюmся 31Т/4, -71Т/4, 91Т/4,111Т/4 и множесmВо gругчхуглов.21ТnJ , - 1 гz242'n ,О,1, 2, 3 ...sin ( 31Т ± 21ТnJ , _1_ .YГ-:242L.,n'О,1, 2, 3 ...•ЯN( - 1т ±Иными словами, у ,тих <l'унк"иО НЕСКОЛЬКО СТРЕЛОК указывают в оену и ту же точку.То есть оено и то же значение <l'унк"ии можно получить "ри многих разных значенияхаргумента.7то ужасно l'азgl'эжает !31Т/4_1 гz21Т/ 4о-71Т/4f(x),х'-1q( e ) , sin47еНО не Все 4'унщии таковы Iя никощаФунщия называется В3АИМНО­неОДНО3НА ЧНОЙ, если все стрелкиnовmоf'ЯЮСЪ!указывают в разные места.В СUМВОЛU'1еСkоd записи Это•а__----i~~.f( а)можно выразuть так: еслиа", Ь, то f(a) '" f(b).в кажgое значениеf•_____""-ьnоnаеает~.

f(b)ТОЛЬКО ОДНА СТРЕЛКА.Еслиf -взаимно-оgнозначная 4'унщия, то можно поставить ей В соответствие gруzую4'унщию, f-', или 4'унщию, О&РАТНУЮf,которая оgнозначным обраЗ0М неL1трализуетеействие 4'унщии f, МЕНЯЯ НАПРАВЛЕНИЕ ЕЕ СТРЕЛОК НА ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ. Областьюоnреgеления 4'унщии f -, является множество всех значе.ниL1 4'унщии f. J:v.я любоzо числа f( х)из области оnреgеления f -' значение f- ' равно'а.~....._ - - - .

f(a)у тебя_ _ __b "каК-то все~""наоборот,- . f(b)а?f на противоположное, очевиgно,f - 1 • '7то соотношение взаимно!Поскольку f-' меняет направление стрелокже образом меняет направление стрелокчтоfтакимСлеgовательно,Ь!Je 4'унщии являются обратными еруех~gля еруеа! Поряgок не имеет значения!ТЭ К ли, этакли,Mblни '1 егоне qоGьем[я!4(!~f -'(y) : : . - - - - - - -••у ~f(x)Какие <!,унщии ЯВляютс я взаимно-оg нозна ч ными? ~ целе~eaHHO~KHUZuможно сказа ть, что ,то <!,ун кци и, кот орыеТОЛЬКО растут ИЛИ ТОЛЬКОубывают.Н азовем <!,унщию ВО3РДСТАЮЩЕЙ ИЛИ СТРОГО возрд­СТАЮЩЕЙ , коща значения f ( х) увеличиваются при уве ­личении Х, то есть gля люGых евух точек а и Ь в оGластиоnреgеленияесли аН азовемИ з -за<ff,Ь, то На)<НЫ.СТРОГО У&ЫВДЮЩЕЙ, если gля люGых а, mozo<Ьf ( а) > f( Ы' .О БЬемнеравенс тва ВСЕ ВО3РДСТДЮЩИЕ И ВСЕ У&ЫВДЮЩИЕcq>epbI -9 т о Возрэс т ающая4'УНК~И ЯВЛЯЮТСЯ В3дИМНО-ОДНО3НдЧНЫМИ .q> ункция раеиуса.Гра<!,ик возрастающе~ фунщии иеет вверх при gвижении по оси Х слева на право.

ГрафикуGывающе~ функции иеет вниз.УGы ва ющаяВ озра с таю щаяЕ сли ZOBOpumb о стрелках, то стрелки возрастающеа функции никоща не пересекают ся,потому что значения f(x) маршируют по nрямоа вверх . Д у уGывающеа функции В СЕ стрелкипересекаютgPVZ gpvza !><•В ОЗl'астающая~ IAMeClme s BU9Y, чm о <vунщuяfУGы ва юща яявляется ВD3f'эсmэ ющеQ mОZ9Э, LI только mozgэ. коzgэ -49fя вляетс я уGы эющеl1..Поскольку люБая 4'ункu,ия, если она возрастающая или убывающая, яв ля етс явзаимно-оgнозначным соответствием, у нее есть обратная 4'ункu,и я'Маленькии примерf( Х) ~ х'-Сm r елкu оGF'эm н о uвозрастающая 4'ункu,ия.Обратная e~ 4'ункu,ия-4'унщии•у::: х"ugymо т у К Х'Обобщая, можно сказать, чтоq( Х) ~ Х " - возрастающая 4'ункu,ияgля любого нечеmноzо целого•N,,x~y Tа оБратноu gля нее буgет 4'ункu,ияБольшои важныи пример: натуральныи логарифм,функция, обратная к экспонентеПоказательная 4'ункu,ия ьхр( Х) ~ е Х являетсявозрастающеU.уДоказательство' если аь~~е'e (b - " )<•Ь, то> 1, потому что (Ь - а) > О, то естьОбратная ей 4'унщия называется НАТУРАЛЬНЫМ ЛОГАРИ4'МОМи обозначается /п.Област ь оnреgеления 4'унщии /п - (О, 00), или МНОЖЕСТВО ВСЕ:хПОЛО.жJ..tТЕ:льных 'iИСЕ:Л, поскольку еХпринимает значенияuз множесm!3з всех и,елыx чисел, больших нуля·, ии/п(е ') ~ Х••Прошу прощения, но в Moe~ Книее вам nриgется принять это на веру!'70/п уКак вы помните, 9ксnонента вееетЛоzарифМЫ позволяют выражзть еругиесебя слеgующим образом:nоказательные функции через «ту самую» 9КС­nоненту с основанием е.

Взять, к примеру,(е") (е')>е""(е")У> е ХУОтсюgа можно вывести знамени­тые формулы лоzарифмов-2 ".Калькулятор еаст вам приближенное значениеln 2:ln 2 "0'69'3 ... ·' отсюgаони былинезаменимы gля работы с больши­ми числами,Kozgaеще не появилисьмеханические и 9лект~юнные вычис­лительные машины и все gелалосьвру,ную.3амените2 на ЛЮ&О!:: число а> 1,и nока­зательную функцию А( х»а Х можно выразитьаналоzично:ln(xy)lnхР>>lnx + lnylnaplnxВ ,астности, коща рln+аХ ~ е", ще r '">lnx '>>-1,-lnxПоищи В интернете СЛОВОLfmo?!Вручную?!«лоzарu<:рм», и тог9аузнаешь, о чем я...Вывое: ЛЮ&УЮ ПОКА3А ­П:ЛЬНУЮ 4'УНКUf1ЮМОЖНО вырдзить В виДl::еГХ,zge r .HekOmO?Oeчисло• Лоzично, чтоln 2больше О и меньше 1 - вееь 2 больше 1 (~eO) и меньше е (~e ' ).171Рисуем графики обратных функцииlЛы виgели, как выzляgят об­ратные ,\,унщии В терминахстрелок:f ·' просто F3звора­Просточu~аеm 6се стрелки в обрат­Hyю сторону. Д как ?тоGygemвзять иn ов еун уть.ивыzляgеmь на плосКости..

, 7.",.2М."KoopgUHam?На гра,\,ике У ~f(x) npougumeпо стрелке от то,ки Х go f(x) ~ у. ОGraтная ,\,унщияразвернула ?ту стрелку в оGратную сторону, так чтоу ~f(x)f ·' (у)f -I~ х.1Аными словамu, еLЛU мЫ щ::­/пользуем вертикальную ось уgля неЗЭl3uсuмоtJгра,\,ик х ~угра,\,ику УnepeMeHHoti,f -' (у) ИД~НТИЧ~Н~ f( Х)'к сожзлению, независимую nе ­ременную принято размещатьx~f - I(y)на ГОРИ30НТдЛЬНОЙ оща не на верmUkЭЛЬНОU.

Намнужен гра,\,ик У ~а не Х ~Ltmoслучuтся, еслипоменять местамиХи у?. Наgеюсь,хаос невоцарится".'72f - '(y).f· I (Х),(;сли то"ка ( а, ь) нахоgится на z\,афике У ~ f( х), тоща то"ка (Ь , а) буgет нахоgитьсяна z\,афике У ~f -'(x).То"ка (а, ь) является 3(;РКАЛЬИЫМ ОТО&РджЕНИЕМ то"ки ( Ь , а)относительно n\,ямо~ У ~ х, nО9тому z\,афик функции У ~f -' (x)является 3(;РКАЛЬИЫМОТО&РджЕНИЕМ z\,афика функции у ~ f ( х) относительно n\,ямо~ У ~ х.Ну что ж, !3се не тЗкуу ~(а, ь)f(x)страшно.. ,9то смотря ктосмоmрumс:яВ зеркало'•у ~ х'у ~ /nх(О,В от ева "\,име\,а, выше в ы виеите1)z\,a-фик у ~ х' и ОG\'атную ему ф ункцию,куби,ески~ КО\,ень. Сn\,ава- о,ень важ­ная функция, натYl'альны~ лоzа\,ифм,иeZoзе\,кальны~ eBO~HиK, 9ксnонента.7?д мОЖНО ли обратить 4'ункu,ию, которая не является взэuмно -оgнозначноu? Такую, котораято возрастает , то убывает? Е"САU в точку у вхоgят неСКОАьКО стреАОК, какую из них мЫ буgемобращать ? Ответ: выберите ту, которая вам Gольше нравится, а на остальные не обращаu тевнимания!Я знаю, какаямне нравится!Система ти ческиunogxog -обращэть толькострелки, относящиеся К ИНТЕРВАЛу , НА КО-ТОРОМ 4'ункu,иЯ ЯВЛЯЕТСЯ В3АИМНО-ОДНО-3НАЧНОЙ .