1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (Гоник Краткий курс в комиксах), страница 4

i"7Г"J'Z'1;72'30efJ6в7696640?'3'3'3 707162 26f344 7162'36079вв26?17в71 3419'312466'32010;052123667719432'32 7в67Я9в'3'3в944в96970964097'34'791 в'769'363в02?6 3 7016211204 ('<'.~ 774272 2в364в961?422'31644'307в1в24423'3294в63637214174023в993441247 \gJ 963'3743702637'3'329444933 799в016125492 2 79'3092 '3 77в2 %209262 264вз (&~.~в6%64в162 772'71640191О'390049164499в 2в931 '305660472'3в02 77в631 в641 5'319'36'731.442 '3в6992 9469'39;090191 '72 9в721172 '3%04 7'346 39644791962 9в496 7912в7406f370'304fJ9'3fJ'3f36 717479в'3466 77'37'37?20%91;;40'3392200011 ?7fJ6300945%06f39166 7400169в420'3'3в040;;"j~62779;;3014'3904090'72вв4'3920'341637.

..Сейчас вы yвugume, nO'1ему е называют натуральнымЕ сли в самом нач але у вас на счету 09иноuю ва нuе м. для Э т о?О нужн о ra aMomF'emb БЭНkОВ­90мар, то через г09 там БУ9ет 9ваCkUU Вk/lэg С. Ha'1Ut./IeHueM сл ожных проЦЕНТОВ.90мара. Неплохо !П р eg с. тав ьmе с.ебе, '1то бэнк ра сщеgF'IJUЯ (!)u n/lamumвам п о вк.лаgу100 % zogOBblX.$1Но и не O'ieHb хорошо. Bbl неgовольны и хотите,+ 100 %. $1о$2В ы nоzружэеmесь в вычисления, заметив, 'imo'1тобы nроценты н ачислялись чаще. Вы nросите6анк на"ислять 70 % ка'*'9ые nОЛZ09а (100 %в 209, разgелиmь на 9ва). В та ком СЛУ'1ае в конце'О9а у вас на е"ету БУ9ет 'и в сле9ующиu раз при начислении nрос;ен ­т оВ общая с умма с тан ет равна(1+АнаЛО2и'1НО, если на вклэg со100 % 20е0ВЫХпроцент ы начис-ляютея 'f1'И раза в 'О9, по nро -вылэmm""9( 1 +~ ) ''3Gygemравна90маров .Е сли сло-*ныCl процент начuс ляетсяn f'азв209,то В кон цеП охоже, что+ ~)' 90маров.nBb l реша ете узнаm ь, сколько+)12(1+,(1+ т)'4(1+,( 1 _..!.....у1001000..2...)'4,2О9 а на счету БУ9ет лежать(1и то г с тремится( 1 + 1)·ше ствии 2О9а (после трех 6blплат) общая суммаt У ' , потом (1 + t)" п от ом ( 1 + t )'...( ,,_'_)'00100( 1+ _ ' _ )>0001000э т о БУ9 ет ! &ерет е калькулятор и получаете:36К е gоллэр ов !• $2.25=$2, 37=$2, 44=$2,49= '2 ,705 ..=$2,71g ...Еслun очень велuко, то можно считать, что I'троценты по вашему вклаgу начuсляютсян!;пр!;рывно, ВС!; вр!;мя.

В ?том случае остаток на вашем счету в конце 2О9а БУ9етр авен ровно е ДОЛЛАров.09ин, 9вз, 9ва сеМЬ9есят,9В" сеМЬ9есят 09ин, 9 взсемьgесятOgUH U Восемьgесятых...Ltuсло е называется нату?альным основанием , потому что постоянное начuсленuе СЛОЖНЫХпроцентов не завuсuт от оnrеgелеННО20 uнтеrвала времениuВэтом смысле яВляетсянат уральным, то есть естестВенным.Что таКО20особенногов отrезкеgлuноu в7то также nоказывает, что евложив 09ин 90ллар-самая большая сумма, которую можно nолучuть заn09 100 %I7и!BreMeHU20g?3gecbтолько2., 7Нn131132. 134'7904'72.9 0ЛЛ "Р"!м!;ня О&С'iИТдЛИ!q Е&37209,'t'О1"мулу (1+ -1;- )" можно такжеиспользовать 9ЛЯ noлу"ения числа е. Как у"ит алzе6ра,,тот МН020член можно разложить в ви9е1 + n (.1.. ) + п( n - 1) .

1п2n2+п(п- 1) (п - 2 )1. 2 . 31+п(пп'( п - 2 ) ( п - 3)1. 2 . 3 . 4- 1)+_1.1.. +п'п"При о"ень GОЛЫJJих(п - 2)/п иn 9роби (п - 1)/п,m.n. no"mu 1"авны 1, такчто первые члены, можно считать, равны1+1+-1 +_1 +_1 +_1 + ...23!4!7'ще, если т-n1" ои звеg е ниелюGое ~елое "исло, т' означает1 . 2 . 3 . ...

. m.Теперь. nреестав:uв с.е6е. чтоn стремит сяк бесконечности , можно ЗЭКЛЮ "-lumь, что еравно с умме l. беск оне ч ным количестВ Ом сла z а е мы х:1111e~1+1+T+3Т+4Т+'5Т +···Та к оноu ес ть1+nr+'"на самом <зеле.дх ... Какая красивая,'7леzанmная<1'ормула'JIП очему тЬ! мн е HUкоzgэ н еzoeopUWbтаКих ком.nлuме н-т о е?Из-заocoGozo«натYf'аль­HOZO» статуса числа е мыбуеем называть <1'ункциюуПРОСТО 9КСПОНЕНТОЙ.

{2 Х _, то сумма, котО1"ая окажетс яу вас на счету в банке ч е1"ез ;>(c'-Iemn1"o-лет, если вы nоло.жumе наоеин еомз1" и сложные~eHты по вклаgу буеут начис­лятьсяHen1"epbIBHo100 % 20е0ВЫХ.из рас"ета1000Пока}ательная 4'ункция о"ень ьыстро растет сростом Х. Например, }на"ениеf(x)~2'уеваивает­ся кажgыu ра}, коща х увели"ивается всеzoна ееиницу '900f(x + 1)~2'"~2"2'~2(2")~ и(х)е)( растет еще быстрее, как легко вычислить.

Сте ­воопенная 4'ункция вроее g( х) ~ х' М2ноВенно отстаетот нее.'"700600'700е"",'ОО1,012,71\3'3 ...127,'399 ...4'320,09'7 ...94'74,60 ...16'7149,41 ...27640'3,4'3 ...'3671096,6'3 ...4992990,94 ...64400Если а такое "исло, "то е' ~2(а'" 0,693,можете проверить на калькуляторе), то е"уgваивается кажgыu ра}, кыеа х увели"ивается300на а,200и, в "астности,10042397. ~:;б:;z о~ . _;nо ло.жuтельноzо числаr; . - ,~ .. ' h ( x) о е" является nоказа­..... ,::.

.. : -::.:. ,Но в /lЮ(;ОМ(о т ому чтоay'taeонарастет!у;;:.-':'-":;r'Q < э зэ mель нэя (\Iунки,ия с основа-- .. 2.. ',' е ' . (Об?атите внимание, чтое'e r>:-( >> 1.)( > 1,(~1«1О н а растет быстрее, чеме х р ( х) , если-и меgленнее,r < 1."-СиЕсли поместитьe r>: взнаменатель,получится <!'ункцияf(x)r~~~ е - СХеЕе значения уменьшаются сбольшеBcezgaF'OCmOMnоло.жumельны, но неумолимомятся к нулю.LjeM больше г, тем быстF'ее«умирает» <!,ункция.r - - - ______Be.'tHO УМUf'эе.m )но так HUKozgau не YN\ye.m.rменьшеуe - r>:описывает ЯВ­ле н ия вРоее раеиоак­m UBHOZO расnаеа-; :.

e- r>:Как если Бы банк кажgыеnОЛ20gа забurзл У т ебяполовинукоща СНИЖЕНИЕwовня рэgиа~ииnроnор~ионэльно ко­личеству оставше­zосяF'aguoaKmUBHOZOматериала. '{то -товроее начислениясложных n?ои,ентов,тольКо наобо?от.40geHezХ - ониcmF'e-со суета.. .Да ,по ч т итак!Тригонометрическиефункциии nоtлеgнuu BUq 9леменmаrных фУНku,uuТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ. или КРУГОВЫЕ.функции-синус,KOLUHYC,mэнzенс: ис:еканс.

Они описывают процеаы,KomOrb1enрои[хоgяm волнообра}но' туgэ-[юgа.Bpoqetio-tio.вв ерх-внuз,UZF'уш кu'7munрUЛUEЮВ UЛU gвuженuяфункции МОЖНО наGлюgаmь в кругах и nРЯМОУ ZОЛЬНЫХ треугольнuках . Вот окружностьpaguy[a 1. центр которои [OBnagaem [началом KoopgUHam. Точка Р о (Х р • Ур! в начальныuмомент имеет kооrguнзmы (1, О) и нахоgumся на оси х. Она вращается по ОКFужносmu nроти!':!час:овоti стрелки.

На графике BugeH nrЯМОУ20ЛЬНЫU треуzольник с гunотеНУЗ0U ОР.-1-1Угол е (грече<Кая буква «т9та»! межgу отре}ком ОР и о[ью Х и}меряется «есте[твен­НЫм» обра}ом. а именно - ДЛИНОЙ ДУГИ. котоfYЮ прошла mочка Р. EgUHUubI Этоzo и}мере­нuя на}ываются РАДИАНАМИ . Поскольку gлuна в[еи окружно[тu I'авна 2. п. точка Р nl'oxogum2. п paguaH. чтобы ОnU[Зть nОЛНЫu круг. Меньшuе углы вычuаяют[я nроnорцuонально. Прugвижении по чашвоu [трелке угол отрицателен. Е[ли точка Р [gелала не<Колько кругов. }на­чение угла больше2. п.Почему букваzречеLкая?-в память о gревнеZf'еческuхTb l что-то имеешьпротив?е+2.п41- эт о коорgинзты у и Х coomsemcmseHHo точки- отношение ур/ хр n1'и услоsии, что Хр '" о.СИНУС и КОСИНУС уzлз еТАНГЕНС еР ~ (Х р ' ур) .рt9е- СО5 еВ озможно, отzpeKOB5inr ~е_ 5in еgl'eSHUXвы з наете, чтое .

y/r, но зgесь1.3 нзчения синусз и косинусз колеблются межgу- 1 и 1,nоsтоl'ЯЯСЬ кзжgые 21Т I'зgизн.Тзнzенс nоsтОl'яется после кзжgых 1т рзgизн. Н з «нечетных nолоsинкзх» 1Т, ще Коси­нус равен нулю, mа нzеНlсmремumся к бес коне чностu .-1Т!21т-1Т/-1Т!2/1Т!2у ~у. СО5 Х5inSl'eMeHUвычаuно полезное уравне н ие:буgемnользоsзтьсяq>YHK-5in 2цией nое нззsзниемсеканс-ЭтохПиq>а zоl' nоgаl'ил нам оено "рез ­Мы тзк.же sремяот1Т!2е+ СО52е ~1,seкотОl'ое тзк.же можно ззnисзтьличина,Обrэ тнз яs sugeк ос инусу и Оn1'еее ­~ 5ec2e~t92e+ 1 ,ленная, коzgзСО5 е '" о.потому чт о5ес е.СО5 е5ес 2 е.42sin 2е+ СО5 2СО 5 2 ееПреgtmавumь teGe tUHyt U "OtUHYC можно,например, так. Допустим, Р-Два наGлюgателя смотря т на z руз,это zруз,которыи крутят на веревке gлиноuнахоgясь в nлоскоtmu его вращенuя.1 м.вgоль оси Х,то nоgнuмаеmся, то опускается .наGлюgаmем,BugumOgUH -вgоль оси у.НаGлюgат ельниt;а Иzрек виеит ТОЧНОс то"ки зрения наGлюgателя Икс, lPУЗсначала нахоgumся на уровне глаз> аgpyzou -ТАКОЕ ЖЕ gвижение то вверх, то вниз,nomOM9momтольКО gля нее груз в на'1альныtl моментнахоgиm ся в самои верхней тО'1ке.

Оназна'1е нu я У, или синуса.Bugum KOtUHYC,Теперь tmановиmtя яс но, nО'1ему уtUHyta иИ еще (я наgеюсь, "то вы это уже знае­те из еругих исто"ни ков ) существуеткосинуса оеинаковые гра,!,ики, за исклю "ени­ем того, что они tмещены оmноtительномножество еругих три20нометри"ескихеруг еруга ПО zоризонтальноu оси на т ·равенств:со> е ~ sin ( е +Также, поскольку со>?sin (А + 8)( - е) ~ со> е ,со> (Асо> е ~ sin (,; - е)+ 8) ~sin'е ~cos'е ~иsin е ~ со> ( ; - е)4>~sinА со>со> А со>1 - со>8 + sin 88 - sinАсо> Аsin 8ze21 + со>2zeИ ТАК ДАЛЕЕ!Еще овна ОСНОВОnOАаzающая ugея:Композиция функцииМожно nоgКАючuть выхов oвHO~ <рункции на вховg\'yzo~:HanpUMep,на с.21мы вивеАи q>ункцuюв Koтopo~ выхов oвHO~ <рункции, f( х) ~ х 2nоgают на вхов g\'yzo~, <рункции1,-д 9то раguкалKBagpamHozoсовсем UHOZOкорня, g(u) ~ Ги.