1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (Гоник Краткий курс в комиксах), страница 2

то8формула gолжнаpaGomambgаже9 ...лоzuчно,Я gумаю .. .gля коротких ИНТЕРВАЛОВВРЕМЕНИ. Если скорос ть поnеремещению, равная100км/ч ,выgержuваеmся аБсолютноточно, Дельта1010009900550011000,5500,110npoegem 1 кмза 1/100 часа (36 с), 0,1 кмза 0,001 часа (3,6 с)0,0010,1и0,00010,010,00000010,000010,001км, то естьоеин метр, заили0,010,0360,00001часа,с.1'21Н о :?то ЕСЛИ tKOPOtmb по nеремещению tOB teM не изменяеmtя... д вееь в реэльном мире tKOPOtmbменяетtя кэжgыL1 раз, KOlga машина Р3Зlоняетtя или тормозит.

Что mOlga 0зна'1эют показания«tKOpOtmeMepa» ? (Теперь Дельта поставила нз крышу еще и «tKopotmeMep».)C.Kopotmb по nеремещенuю:=ОВ ысокая скорость& олее н uзкая tKOpOtmbпо nеремещен uюпо nеремещениюу t коряеmtяОтвет Henpocm' конечно, вы заметили, что, если взять ОЧЕНЬ КОРОТКИЙ ПРОМЕЖУТОКВРЕМЕНИ, п оказанияcnugoMempaПОЧТИ НЕ МЕ НЯЮТСЯ.

Даже еслиBgaBumbnеgаль газ а в МЛ,tKOpOtmb не с ильно увели'1umtя за, tкажем, 1/'700 gолю t eKYHgbI. На фотОlрафuи , tняmоL1t KopomKoL1 выgерЖ'КоL1 , tтрелка «cKOpOtm eMepa» ок ажется nO'tmu не размазанноU.Что такоефотоzрафuя?----.,."'"~.............,....,,....,..Jl.,.

Такова былаОСНОВНАЯ ИДЕЯН ьютона и Л е~бн ица,ВЫЧИСЛЯТЬ ОТНОШЕНИЕ(s, - ' ') / (1;,-t ,Jgля ОЧЕНЬ КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКОВ ВРЕМЕНИ .М ы м оже мt nOKOIJHOt "luтэmь, '1то :? то отнош е н иеравно tKOpOtmu по n еремещенu ю в момент(а также 'д момент t z, вееь они nO"lmuне отлuчаютtя!).t1И ны ми словами, мг,ЮВЕННАЯ СКОРостьРА3НИЦАt , - t, ОЧЕНЬ МАМ.O'iEHb&ЛJA3КА К( " - , .) / ( '" - :. '(0 -;";'(Вы спросите себя , как Ньют он с ЛfO)t;-_~ ,,;,'" '_ 0,измерять nеремещен и е те ла на временном и нтервале gлuной, С<2Х" ·, ,0 .0000 '« .• :- Е'но пус ть вас ,то не волн ует!)I1ффф!3еа ьваженn1'ин"иn ...НО Ньютону и Лейбницу нужно было вычислить С КОl' ос т ь п о nегемещению не nгиблизит ель но ,аTO'iHO...

И более того, они nоказали, как ,то МОЖНО CJ:,FMть! 3абуgьте об и змеl'ениях!Ньютон и Ле~бни" исnoльзовали МАТЕМАТИ'iЕСКИЙ АНАЛJA3, совсем HOBЫ~ вие математики,изобг етенны~ ими сnе"иально gля 7тo~ "ели.IAН u чеz омь! н а зовемnogoGHolO .:7mо ме т О9 0Мфлюкс u l1 ~Мы наЗ0вем ,тоА,ИФФЕРЕН~АЛЬНЫМИС'iИСЛЕНИЕМ ..14Если ПОЛОЖЕНИЕ тела зависит от времени и эта зависимость описывается HeKoтopo~<1ЮРМУЛО~, то gи<!,<!,еренциальное исчисление noзволяет получить gруzую точную <!'ормулу,gающую СКОРОСТЬ Этоzо тела в лю60~ момент."то казалось волше6ством, и кое-кто gаже заnоgозрил нелаgное ... Тут что-то не так ...странно ...UЗ необосновэнных n?еgnоложенuС{".BbtBegeHo'imo-moтут нечuсmо ...Ты почiJ.i ЧТОgелuшь на НОЛЬ!(Поgхоg Ле~6ница казался ос06енно nоgозрительным: он с уgоволь­ствием gелилмалы, ноOgHOu kоzgэнаgpyzoeне тольКОKozga06е величины 6ылиони были «бесконечно малы», хотяu ненулю, что бы это ни 3НЭЧUАО.)f\пnГ)/'~,- ..

- ./,, -,/1'7f'ЭВНЫНО-nоgозрительное или нет-gи4>4>еренциальное исчисление r6:r,,- ' ~,,",,_''''''-:r. '~ '-НO ,Поразительно 94>4>eкmиBHO, Оно gавало результаты!(Много,мноzо, мныо?езульmэmов ...иNOguначалиezoиСnOЛЬЗ0вать .. , не только gля82CtrD C+iOМJ,J U,вычисления CK01'ocтe~ тел, но и gля измеренияmелех.ом.м. 'y1-fU кэu,uях,скорости любых процессов, Ди4>4>еренциальное?лeютrpоmехнuке,исчисление исnoльзуется везgе!биоло ги и , химии,меха ни ке, статистике,ки берне тике,психологии, экоНоМиКе...в конце концов они разо6\>ались и с «необоснованными nрegnоложениями», Ну, почти разо6\>а­ЛUlЬ ...К несчасmью, мне не x~aтиm места оGъяснить, как именно,u оnисатьвсе проБлеМbIgи4>4>еренциальноzо исчисления ..

, Скажем так, мноzие тонкие моменты, на которые указал?енон, не разъяснены и сеzоgня .. ,Да-еа! ОноCnoKoCkmBue,gpyzработает,MO~!а это главное!16Глава О3накомьтесь: функции3еесь мы уЗнаем кое-чтоНачнем сOgHouUЗ самых kpЗСUВЫХ06 отношенияхu nлоgо mворн ых ugeLiс:овременнои математики-понятияо/ункции. О чем бы ни заwла гечь ~ этоu книге, мы буgем гo~o?итb о 4'унщиях. Так что жетакое 4'унщия?Ну, наверно,4'унщuяЯ!17-Это,.-~Вот 9ТО тыназываешь «К?эсuваяи nлоgоmворная» ?!ФункциЯ - нечmо вpoge УСТРОЙС1iД 880А,д-ВЫ80А,д, или YCТPoQcтu. J;,Nl OWjiOJ)(Ичисел. ФункциЯ (БУ9ем назЬ/sаmь ее f) nо;t:Щ>3em числа и uзserzэem цх ooo<ige ~На 1<3Ж90е СЬе9енное число (назosем ао х) функциЯ f sbIsogum ogнoзнa'И> U:f 9"''''100чиlЛО, f( х) (npоuзносиmся 4:9ф от икс»). f можно назsаmь npaSUлом, no t:afi!if1OlO' "nревращаеmсяsf(x).хsxogum, f(x) sbIxogum.Не 6<JQa••• ~_01,•• ", 'tLIoC.ADК rC1' -_ _.._809~···~---'з6t::mFаа, (ЕслиsaMне нраsиmсяsbIsog,,........который nлаsаems SОЗ9ухе,как sыхлоn,чmо числа размещены S90ЛЬ npямой.

в 9том случае функциЯи nросто vкaзыsаеm на сооmsemсmsующееsbIxogHoefnpeecmasbmeсебе,nщаem числа с 09НОЙ npямoQзначение на eryzoй.9то лучше ...f(x)1вНаn1'име1', положение аВтомоGиля s - ,то 4'унщия от Вl'емениt. Пl'еgставьте ceGeS какycтl'o~cтBO, КотОl'ое с"итывает с Bl'eMeHHO~ линии (или nОЖUl'ает, то атЬ "1'инимаетв ка"еСтве ввоеа) знз"ение Вl'емени и указывает положение аВтомоGиляеОl'оге.s(t)Еще примеры:АтмосфеFное gавленuеМиl' полон 4'унщи~!s(t) назависиm отKozga наgувают К\'уzлы~ возgушны~ шаF,его oGoeM - ,то 4'унщия raguyca.

Кажgы~Faguyc r Оnl'еgеляет оено, и тОЛЬКО ogHO,зна"ение oGoeMa V(r).BbIeombl:на кзжgоu Высоте Ас.вое аmмоС"ферноеgавление, Р(А).4'унщuя Р nожиl'аетвысоту и вывоеитgшменuе.Не rззzовзрL.1взt1 с н;абumымртом!На nI'ЯМО~ гOI'HO~ т1'оnе ВЫСота- 4'унщия положенияна т1'оnе. кажgое положение Х оgнозна"но Оnl'еgеляетВысоту А(х).х19В примере с крyzлым ВОЗ9УШНЫМ шзром функция О6'ЬеМаV въrчuиялaa.

no J"<Iel.lO !'39"уса rпо ФОРМУf.E :V(r) _ 41Тr'-?8озв"9" 9",0 • l<y6"умно,"" резуwnаmЧтоБы Ha~тиoGbeM 9ЛЯ 9aHHozo ра9иуса(СКJJжем. r ~ 10). мы ввоеим . илиПОА,СТдВЛЯЕМ. 9то число Вместо r :на 41Т/3!V(1O) ~ 41Т(1О)' ~ 4000 1т ~?"(,нак?4НЩ79" означает nрибли­зите....ное равенство.)ВджI!О! Функции и nеременные можно обозначать....1оt11'еееляютформуN06bIMU буквами. СлееуюЩt.lе три....Ку ВЫ9ают оеин и т от же резу.... -09НУ и ту же функцию. nоскотат при 09инаковом значении на ВХ09е. Все три описывают 09НО и то же правило .V(r) ~ 41Тr '?f(t) ~ 41Тt '?g(u) ~ 41Ти '?М uчеzо! 3начum, тыЧто в ЩМ-НUне lJo:waжэewь, ию я БУ9Уте6е /юем?,lJать теБя «эр6УЗНЗяz.oлов а»?'2.0Вот чуть более сложны~ пример .Допустим,h вычисляетсяпо qюрмуле'~h( ,,) ~..; ,, " - 1qВЫЧl;lЛUМ неtКОЛЫ:::О з н аченuЙ ...h ( l )~ ~~O"-'3h (,,)-2,9V7Ai-2,6";6 ,64-2уз-1ОгеОи т.

е .И составим табличку. Межgу2узг72'3ге- nf'овэлы, но ихзаполнить ... Все , кроме ...МОЖНОПри -1nое квэgратным корнем становится отрицательным'значениями< " < 1 выражениеи т. е.,," - 1 < О. В 9том случае <рункция ы,,) НЕ ОПРЕДЕЛЕНА, потому что у отрицательныхчис ел не существует (gе~ствительных) кваератных KopHe~. П 09тому <рункцияне все числа, а тольКО те, которые не попали в интервал от -+1.1 еоh принимаетЧисла из 9mOZOинтервала запрещены I~"C~/C),-4Ч,о:< ~-2-'3-1O~ I :1т омертвая зона!о•24О&ЛдСТЪЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯлюБОLA <рункцuи называетсямножеt:mвоBtexчисел,на которых она оnреgелена.<РункцияfВсе остальноепринимаетя неТОЛЬКО ТЕ вхоеные значения,CMOZynерев:арить!которые лежат в оGласmuее2106лаlmь Оn1'egеления ",УНlЩии 06ычно оnиlЫ8аemlЯ l noМDU.f/>lO ИНТВ'IAA08~ g8yX чиlел а и Ь, таких, чmо а<~.Ь, мы GygeM иlnОЛЬ30вэnъ ~ 060Значeнuя:( а, ь) - о'f1(pbI1ый инmе1'8ал от аgo Ь, то ить 8le чиlЛЗ, лежащие[а, Ь] - ~AlcpытыA .н11c\''''om ago Ь,то ить 8C€ чuиa , ИЖ"i"tw lN!X9y а и Ь,межgу а и Ь, ~A ИСКЛЮЧЕНИЕМ ко­нечных mочек, то ить lамих а и Ь.8 ТОМЧИСЛЕ l<OНe'И.Ie mD'taI,ьа(а, ь) - 8le Хтакие, чmо а<хесть аьа<moи Ь.Ь[а, Ь]-8le Х mЗJCUе, чmo а S х S Ь&ЕQ(ОНЕЧНЫЙ инmер8ал - ,то l08oKynHOa>1b 8lex чиlел, npевЫШЭIOЩLlХ нekoe ЧUlЛО l.Мы заnиlЫ8аем ezo К3К [с, 00), или l 8xogum 8 инmе1'8ал , и (с, 00), или l не 8xogum.8 91'yzую lm01'0HY ,то Gygem (- 00, d] и (- 00, d) loom8emlm8eннo.

3нак GиконеЧНОlmине 06означаem HuкaKOZO Оn1'egеленноzо чиlла, он 88egeн gля yg06lm8a заnиlи 8 такихlлучаях . &иконеЧНОlmь HUKozga не 8ключаemlЯ 8 ЧUlЛовой инmе1'8ал - она 8egb не чиlЛО!сd......~................~..... I ..1 . . . .~~. . . .

. .~. .~:>---т--------r~I( -00,d) - 8leхтакие, чmо Х[с, 00) - в:с::е Х такие, что с S. х<dПОЛЬ3VЯlЬ инmе1'8алзми, можно lкa­ОGЛЗlmью оnpegелeнuя ",ункции g( х) ~ ~заmь, чmо оGЛЗlmью оnpegеленияЯ8ЛЯIOmlЯ 8le чиlЛЗ Х такие, чmо х ~ О",ункции h( х) ~y х'(nОlКОЛЬКУ gеление на ноль невозможно).- 1 Я8ляemlЯ 8lЯчиlЛО8ая прямая за npegелзми инте1'-8алз(-1, 1).:Iо-1ОGЛЗlmью оnpegеления ",ункции Р (х) ~ х' + '38le gейlm8иmельные чиlЛЗ Gез ОZ1'аничениЙ.Я8ляюmlЯ22Д теперь вернемся к ОG\'азу q>ункции, Gе"ущеi:i вхоеные значения с оенои числовоi:i nрямоi:iи указывающеi:i "езультат на второи числовоi:i nрямоL1.EC/lUхотите, мо.жноcmef'embnрugумэнное нзми существоu СОСF'еgоmочumьсяна самомn"оцессе УКд3ывдния.Тоееа q>ункцияGygemвы-f(d)zляgеть просто как НД&ОРНЬ)стр!:лок> указывающихс OgHOU '-IUСЛОВОU n?ЯМОU наg"уzую.

И3 кажgоzо хв оGласти оnреgеления?то ТВОЯсущность!fаf(a)ЬНе)исхоеuт "овно оена стрел-ка и nоказывает на еруеойnрямоL1значенuееz)f(x).d~хf(x)~23А те п ерь nou zpa eMс , т и ми стрелк ами .Х м ... ч т о, еtлuпов ер н ут ьOgH Y изпря мы х на909тихzрэgус:ов?"~-(~\zPlii' ~~~Если первую прямую , или ОСЬ , повернуть так , чтобы она была zори,онтальна, можно рассмат­ривать функцию в Bug e ГРАФИКА . BxogHbIe ,на чения, х, нахоgятся н а z ори, онт ально~ оси ,а BbIxogHbIe, у,-на вертикально~ .