1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (Гоник Краткий курс в комиксах), страница 10

у и что произвоgная-отношение 9тих вВУХ «Бесконечномалы>>..Хотя в конце концов Большинство математиков отказались от 9той ивеи, иногва Бываетnoлезно gля nракmических целей nревставить себе произвоgную как маленький кусочек у,gеленный на маленький кусочек х...Все равно 9mз проклятаякрLl83ЯnPLl СUЛЬНОМytJеличенuu стаН08итсячерmовсlCU nо)(о.жэна прямую...dy.............................

-------"'~dxСnoсоБ ЛейБница часто уgоБнее-Tbl Elоо6ще кто,вот,математик илинапример, мы Буgем писать~ ты .мнеnf'o-сmеноzpaфuсrn?--\Iг-----'\ сто зэвugуешь!!!d:(хn),d: (sinх) иd:(е'),оБозначая nроизвовные инgивиgуальныхфункций. 9то просто замечательнаязаnись!Ну так что? Готовы искать :х90;(sinх)?Производная синусаd~ sin (J ~ cos (JПроиз~оgная синуса - косинус!у: СО5 ХДОКд3ДТЕЛЬСПО,Теперь nока",ем, чтоПо оnрegелению nроиз~оgной, nроиз~оgнаяnослegниа множите""синуса pa~Hapa~eH ну""',/im 5in(Э + h)h - 5in Э(1)__' СО5 hh - 1/zm__ОО~Оесли такоа nрegел сущест~ует,Поско""куРазложим5in( Э + h) спомощью mPUZOHO-метрических mo"'gecm~ , Числите""СО5 h-1 : (СО5 h-1)(C05 h+hnре~ащэется ~(5inЭ СО5h + 5in hСО5 Э) - 5inЭTozga ~ыpa",eHиe (1) пре~атится ~(2)СО5 Э 5i~ h + 5in Э СО5 ~ -:1):ro5h+1СО5 2 h - 1 : -:-:_-:<.5~in,:-2-,h.'-:-:h((C05 h) + 1) h(C05 h + 1): ( -5in h ) ( 5in h )hc05h+11прив nрegыgущеа zлэ~е МЬ' показали, чтоhh -+ оСО5h стремитсяк 1, слegо~а­те""но, прegел nроиз~egенияGygem pa~eHlim 5in h : 1h'h_OПоgста~и~ 9то ~ (3), получаем резу""тат:nО9тому при(3)h-+o (2) nре~ащэется~СО5 Э + (5in Э) __lim СО5 h - 1Оlim 5in(Э+ h) - sin Э : COS еh,-оИными сло~ами, чтоБы получить НАКЛОН К\'и~oa синуса ~ люGоа точке",нужно ~зять3НДЧЕНИЕ косинуса ~ ,той точке.наклон<О,<косинуснаклонО>О, косинус>06\?атuте ElНUМЗНt.lе: еслиОФУНКЦUЯ Elоз?Эсmаеm, наклонее zpэфuка'-------,v2: 01наклон; О, косинус; ОТам,ZfJe синус ~оз\,астает и zraepUK иеет ~~e\,X (HanpUMe\" ~ n\,омежymке межgу - тт/2 иezo наклон положителен и косинус также положителен.

Там, ZfJe синус уменьшаетсятт/2),К\'и~ая иеет ~низ, наклон от\,иl.\Этелен иcosи"также от\,иl.\Этелен.ПРОИ3ВОАная косинусаd d (cos е) -sin еe'sfI\,оиз~оgная косинуса-синус, ~зятыа сOGj>amHbIMзнаком.Не Буgу Больше пытать ~acстью иgентиченzraepUKYm\,uzoHoMem\,uea.3амечу только, чтоzraepUKкосинуса полно­синуса, только ce~иHyт gле~о на тт/2. 3начит, n\,оиз~оgноа косинусаgолжен Быть САМ КОСИНУС, только ce~иHyтый еще на тт/2 gле~о!д ,то, ~ с~ою оче\,egь,иgентичноzraepUKyсинуса,ce~иHyтOMY ~ле~она ТТ, илиу; cos(" + ~);; - sin "sin(" + ТТ).Д ,то то же самое, что- sin ", как стано~итсяясно, если nоzляgеть наzra-ерик (если хотите, можетеполучить тот же \,езультатс помощью т\,иzономет\,иче­ских epYHKцua или gоказатьна egиничноа оК\'ужности).97у; sin "Наклон в точкеПроизводная,,~экспонентыСинус и косинус служат nроизвogными3 равене'" 20"4,791'VZ9ЛЯ91'vza (с точностью 90 знака). А вотnpоuзвogной 9КlnoнeнmbI является ...ОНА CAlМI"то слegует из равенства е"+" ~ е"(/'и оnрegеления nрouзвogнoQ:~ е" ~ lim е" + h - е"~ /im е"(/' - е" ~"_Оd""_Оhh~ lim е" (/' h 1~ е" lim ( (/' h 1)h_Oh-OВспомните, как на с.

~6 мы oGСУЖ9али сложный+npoцeнm. Мы заключили, что е " (1h)'/h npuмалом h. (3амените в nервоначальном примере hна 1/n.) возвegя оБе стороны в степень h, полу­чим е"" 1 + h, а значит,(/' - 1 _ (1h-+ h) - 1 _ 1h-Иными иовами, nрegел 9mOZO отношенияравен 1 прие". 1~h-+O, а значит,nроизвogная равнае".Наклон в точКе,,~~ равен etCKOPOCiЪ РОСТА 9KcnoнeнmbIf"p (,,) ~ е" равна 3НАЧЕНИЮ ",yнкцuив 9той точке IНаклон в точКе" ~ о равен е99О~1"то может nока,аться Gе,УЖJ.ем, математичикой мazuea или чем-то сове\,Шенно n\,omи­воnоложным.

Но кто ,нэеткото\,ых являются они сами- возможно,•..нэ свете сvщитвует куча <1'ункций, n\'0U3военойКЭЖetrllЯ, МЫ ужеВоо6Ще-то нет .•• "Ксnо­zge-rno8l!Тl?ечаЛUlЬ?нента е" и ее ва\,иации ,полученные умножениемна константу Ае",-ееинственные <1'ункции,oGлэgающие таким.(свойством. (Вы сможетееока,ать 9то сэми, \,ешивyn\,эжнениесо с.166.)К\'Омеmozo,3А ГОА,-не так уж 9то и ст\'Энно. nogyмaame о слоЖНОм npоценте. nРИРОСi ПО СЧЕТУ9то <1'иксU\'ованный "\,оцент от КОЛИЧЕСТВАИНЫЖJ.

словаЖJ., CKOPOCThИ3МЕНЕНИЯ СУМЖ>IgeHezна счету.Ви9ишь? Если по ВКЛЭ9У начисляется100 % zD9OВЫX, Константа равна 1,(в gоллэ\,ах в zog) n\,onopили t измеряется в zD9ax.д по-моему. 6а"" мнеционэльна сЭмой 9той СУМ- ' - - - - -.....',-----'''----1 0,00000000127та>:" не 9 on ""т"лцента ...МЕ. Если n\,оценты начисля­ютcя неn\,ерывно, слegуетожugать, что МГНОВЕННАЯCKOPOCTh И3МЕНЕНИЯвеличины V n\,оnорциональнаV: V' (t) ~ CV(t) gля неко­торой константы С.99Производные произведения и частногоР1'Зть nроuзвogные от сумм и от функции, умноженнойна константу , по-прежнему просто: 9то можно gелатьс кажgым членом по отgельности (см. с.d: (?х·1Hanf'Uмep ,+ sin х) ~ IОх + cos х~ (е" + cos х -Факт90).2sinх) ~ е" -sinх-2cosхНuчezо нео производных:nogелзешь!с произведениями всесложнееf9 НИ 8 КОЕМ с.ЛУЧАЕnpoU3BogHbIX.

ПравилоПроuзвogная nроuзвegенияНЕ РАВНА nf'оизвegениюотносительно npoo3Begeнua слegующее :(fg)'~f'g+ fg'или-EL(fg) ~ f -.!!9.... + 9dtdxdfdxЧтобы понять , почему 9то так ,nf'egcmaBUM себе f(x) и 9(Х) как стороны nрямоyzольникас nлощаgью f(x)9(X). TOZ9a малое изменение h переменной х npUBegem К изменениям /::;.fи /::;.9 функций f и 9. Иными словами , f(x + h) ~ f(x) + /::;.f и 9(Х + h) ~ 9(Х) + /::;.9.9(Х)100ТоZ9Э НОВЭЯ nлощэgь РЭВНЭf(x+ h)g(x+ h)~~ (f(x) + ~f) (g(x) + ~g)~ f(x) g(x) ++8ычитэя~f + ~ щm'''''''"'' по,""", I~f~gЦfg) ~ f(x) ~g + g(x) ~f + ~f~ghhhhПослegний член ст!,емится кО, поскольку n!'u.

(g'(X)),h -+ ои, тэким оG\'Эзом,n!'ege-лом СУМЖ>I БуgетЧmоumрурррууе­GOваЛОlЬ~gокэззmь!f(x) g'(x) + g(x) f'(x)ЛейБниц скэзэл Бы, что8 n!'egеле "'gиффе!'ен­цuэл» fg - маленькийкусочек, n!,иБэвляющий­ся кgByxf9, -состouт изБоковых полосок!'эзме!'эIIf(x) g(x) из оБеих стО\'он и gеля нэ h, получим:он ст!,емится к О~j zомонmальная полоска+ f(x) ~g+ /'"+ g( х)~лощэgь!f dg и 9 df,э yzловым КУСОЧКом!'эзме!'э dfdg можноn!'енeGpечь.101~.~Иными СЛ08ами, чтобыЧто те6еgиффереНl\LI\'овать nроизве­больше нрзgumlЯ,lAOBe,::Hl>leеение евух функциа, нужнофOf'JЩЛUf'ОВки UЛLIумножить первую на nроиз­воgнуюBmD\'.oa,втD\'УЮфо\'мулы?.{-OW1'ешкu!)на npоизвоgную мрвоа иlложить обе чаlти.Примеры1.

d: ('Х'е") ~ (d: (Х')) еХ + х' d: (е") ~~ 2.Хе"2..d~(sinе cos е) ~ ( d~~3.+ х'е"cos'е(sinе))cosе + sin е d~(cose)".~__--.,.Kwyтu!- silf еKwyтu!d~ (sin't)~ d~ ((sint)'(sint))~~sin t cos t + cos t sin t~2.sin t cos t~/J.tJ< gиффереНl\LI\'08ания nроизвegения трех иболее ФУНКl\Uа иlnользуетlЯ похожее правило:(fgh)'~f'gh+ fg'h+ fgh'Например,d: (xsinxcosx)~I' sinxcosx+xcosxcosx+xsinx(-sinx)~~sinхcos х + X(COS' х - silf х)102Факт3о производных: деление ведетсе6я очень странно3 а.Если функция f gиффе"еНL;""уемзf(x) '" О, тоzgэ ФУНКL;UЯ 1/fу:f(x)в точКе х итоже gиффе"еНL;""уемз в точке х иf(1 )'-f'(,,)(,,): (f("»'Откуgэ ВЗЯЛСЯ минус? Дело в том, что, коzgэ"эстет,1/f убывэет,и нэоборот,n"оизвоgные в люБой точке имеютfn09moMY ихn"omUBono-ложный знэк,""остые ЭЛZе6\'аические n"еoGj>азования :1__1_f(x + h)f(x)f(x) - f(x + h)f(x+ h) f(x):илидлze6\>m'Э !t::..

(-f' ):Разgелив оБе сто"оны на36.hинайgя n"egел n"uh-+O,получим UCKOМbla "езультат",Правило деленияЕсли фУНКL;Uи9(Х)длzе6рррэ!~--::t::..7fL----;-:­f(x) f(x + h)'"fи9 gиффе"енL;u1'уемыО, mozga функцияf/9в точке х итоже gиффеl'енц""уемзв точКе Хи(-' ) '9-.:...f..:.:.'(XJ.::...L9(:.:..:XJ:,...---:;;.-:.f(.:..::")~9c..:.'(,,",")(,,):-9(")'9то можно вывести, ВЗЯВ n»оuзвоg­ную n"оизвegенияf ' (1/9) и nl'UMe-ниВ nl'авило ~a," nl'ошу заметить, что мы Huzge не gелим на ноль: f(x + h) '" О nl'U gостаточно малыхтак каК f(x) '" О, а f(x + h) nogxogum К '(х) сколь yzogHO близко,10~h,Пример: отрицательныеПример: функциястепениTaHreHcaf(x) = 1/х" = х- nПрифО\'мулзnр€Щ'ащэemся ~ДОКА?АТЕЛЫТ80 . Применим фOf'мулу_-.Е..-(х n)dx=(х"n)=_nx-n-'f(x)f'(x)_1=_nх n- 1х""tq е = sin е=или_1?х'- х'_14- х'х'1f(x)f '(x)х- '-х- "х-"-2Х-'х-'-?х- 'х- 4е.-4Х- 'х-'-')х-'х-'_6х- 79 '" cos е,•cos е cos е - sin e(-sincos" е'" cos" е + sin еcos" е')ТОМУ ЖЕ ПРА8ИЛУ СТЕпЕНЕЙ, что И поло­ЖИТЕЛЬНЫЕ: gля gифференt.l,Ll\'о~ания сgелзй­те значение степени КО9ффиL\Uентомр-cos"еот эmt.lх rt?OUJ!Ю9НЫХ! ~----,П1'Э"gз , ежи зз­отрицдтЕльныE СТЕпЕНИ ПОДЧИНЯЮТСЯzge~'" _-'::-= '"'---Ir------1и уменьшите степень нае)у меня уже zолogз лопается-Х'х'f = sin,f'9 - f9' '"9"~-~х"=слegо~ательно1_1хn+'cos езgесь- х"х-п1.положительное или отрицательноецелое число.

В слegующей zлз~е мЫ ~иeиM,что 9то nrа~ило \'360тает и gляgro6HbIXстепеней.104мечэmе/IЬНые?!- из6агить Hal от ненужных мозzогых9mOZO lлужuт гЫlшая математика. Еgиножgы "1'оникнуг г тайны "f'eмы получаем кучку nl'olmbIx фOf'мул, оnиlыгающих lKOf'olmb измененияОеин му91'ец оgнажgы lказал, что заgача наукиУlилий, и именно gляgелог и изменений,9лемента1'НЫХ функi.\Uй.

Пологина gела г том, чтоБы научитыя ПРИМЕНЯ1Ъ 91М ФОРМУЛЫ!3е0Рогыйзагтрак!А гтOf'аяnоловuна?~ (х") ~ nх"-1n~dxО, ,,1, ,,2, ...~ (е) ~ О, zge е dx~ (е") ~ е"(ef) , ~ ef', zge~ sin x~ cos х(f-d- cos(fg)'dxdxdx.х~-яn х~ tg x~ sec" х (cos х ", О)е-KOHlmaHmaKOHlmaHma+ g)' ~ f' + g'~f'g + fg '( gf ) ' ~ f'g ;. fg' , илиg( х) '" оdxХOf'ошийlnUlOK,ноgleже никольких ФOf'мул г нем не хгатает ... Мы пока не умеем gиффе­l'eнi.!U1'ogamb сложную ФУНКi.\UЮ, gаже такую nl'Оlтую, как h(x) ~ е ..... А такжеO&PA1l.fblEФУНКi.\Uи, такие как лоzаl'ифм, al'КlUHYl, al'кmaHzeHl ... ими мы займеМlЯ г lлegующей zлаге.ВnеРее,• землюобетовзннуюnракmичикuхnpuме.неиuiJ{и еагно10<;nora,межgу nl'очим ...Но снэчэлэ nорешэемЗадачи1.