1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (Кудрявцев т. 3 2003)

УДКББК51722.161К88КудрявцевСборникЛ.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И.задачпоматематическомуанализу.Том3.Функциинескольких переменных: Учеб. пособие/ Под ред. Л.Д. Кудрявцева.2-е изд., перераб.-М.: ФИ3МАТЛИТ,2003. -472с.-ISBN 5-9221-0308-3.Книга является третьей частью трехтомного сборника задач, создан­ногонаосновемноголетнегоопытапреподаваниякурсаматематическо­го анализа в Московском физико-техническом институте. В нее включенматериал по следующим разделам курса математического анализа: диффе­ренциальное исчисление функций нескольких переменных; кратные, кри­волинейные и поверхностные интегралы, векторный анализ; интегралы, за­висящие от параметра; элементы функционального анализа.Каждыйпараграфсодержитсправочныйматериал,набортиповыхпримеров с решениями и задачи для самостоятельной работы с ответами.Для студентов университетов и технических вузов с расширенной про­граммой по математике.Ил.33.Табл.

Библиогр.20назв.Ре ц е н з е н т ы:заведующий кафедрой общей математики ВМиК МГУ им. М.В. Ломо­носова, академик В.А. Ильин;профессор МФТИ, академик С.М. НИffОЛЬСffИЙ.ISBN 5-9221-0308-3ISBN 5-9221-0305-9(Т.3)©©ФИ3МАТЛИТ,2003Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов,в.и. Чехлов, м.и Шабунин,2003ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие.. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ГЛАВА51ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ§ 1.§ 2.Различные типы множеств в n-мерном пространстве............... . . . . . . . . . . . . ..54Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора и ряд Тейлора§ 5.§ 6.22Частные производные. Дифференциал функции нескольких переменных. Дифференцируемые отображения§ 4.7Функции нескольких переменных.

Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Отображения§ 3.. . . . . . .Экстремумы функций.85110129. . . .Геометрические приложенияГЛАВА2КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ§ 7.§ 8.§ 9.§ 10.§ 11.§ 12.Мера Жордана. Измеримые множества. . . . . . . . . . . .

. . . . . 145. . . . . . . . . . . . . . . 158Геометрические и физические приложения кратных интегралов233Криволинейные интегралы .255Поверхностные интегралы ..278Скалярные и векторные поля295Кратный интеграл Римана и его свойстваГЛАВА3ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ§ 13.§ 14.Собственные интегралы, зависящие от параметра. . . . . . . . ..324Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящихот параметра. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..334Оглавление4§ 15.Дифференцирование и интегрирование по параметру несобствен­ных§ 16.§ 17.интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . .Эйлеровы и некоторые другие интегралы.Интеграл Фурье. Преобразование ФурьеГЛАВА.3463603704ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ§ 18.§ 19.§ 20.§ 21.Метрические пространства.................

.379Нормированные и полунормированные пространства.405Гильбертовы пространства................. .434Топологические пространства. Обобщенные функции.450Список литературы.......................... .467ПРЕДИСЛОВИЕКнига является третьей частью сборника задач по курсу мате­матического анализа. В первой главе речь идет о дифференциаль­ном исчислении функций нескольких переменных. Рассматриваютсяразличныетипымножестввn-мерномпространстве,понятияпре­дела, непрерывности. Особое внимание уделяется такому трудномудля усвоения понятию, как дифференцируемость функций несколь­ких переменных, а также проблеме отыскания точек безусловного иусловного экстремума.Вторая глава посвящена кратным, криволинейным и поверхност­ным интегралам. Изложение теории кратных интегралов строится наоснове меры Жордана. Много внимания уделяется геометрическим ифизическим приложениям кратных интегралов, скалярным и вектор­ным полям.В третьей главе рассматриваются интегралы, зависящие от пара­метра.

Приведено большое число примеров, связанных с исследовани­ем равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящихот параметров. Рассматриваются важные для приложений интегра­лы Дирихле, Эйлера, Пуассона и др. Отдельный пара граф посвященинтегралу Фурье и преобразованию Фурье.Материал четвертой главы является введением в функциональ­ный анализ.

Исследуются метрические, нормированные и полунор­мированные пространства,а также гильбертовы и топологическиепространства. Содержатся начальные сведения об обобщенных функ­циях.При работе над сборником авторы опирались на многолетний опытпреподавания курса математического анализа на кафедре высшей ма­тематики Московского физико-технического института. Как и в пер­вых двух частях, весь материал третьей части сборника разбит напараграфы. Каждый параграф содержит: краткий обзор теоретичес­ких сведений, необходимых для решения последующих задач; реше­ния типичных задач; упражнения и задачи, снабженные ответами ипредназначенные для самостоятельного решения. Включение в сбор­ник сравнительно большого числа подробно решенных задач имеетцельюитемпоказатьсамымстудентудатьемуоптимальныевозможностьприемычастьиметодыматериаларешенияизучитьсамо-Предисловие6стоятельно.

Следует отметить, что упражнения и задачи, предназна­ченные для самостоятельного решения, разнообразны не только потематикеисодержанию,ноипостепенитрудности-отпростых,иллюстрирующих те или иные разделы курса, до довольно сложных,требующих от читателя определенной настойчивости, а иногда и не­которой изобретательности.

Большой набор упражнений и задач и ихразнообразие позволит использовать сборник во втузах и универси­тетах с различными программами по математике. Авторы надеются,что преподаватели найдут в сборнике материал, который смогут ис­пользоватьналекциях,семинарскихзанятиях,консультациях,присоставлении заданий для самостоятельной работы студентов, при со­ставлении контрольных работ, на экзаменах.ГЛАВА1ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ§ 1.Различные типы множеств в n-мерном пространствеСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1.Rn •ПространстваМножество, элементами которого являют­ся всевозможные упорядоченные наборыобозначаютnRnВ множестве.nдействительных чисел,можно ввести понятие расстоянияRмежду любыми двумя его элементами.

Расстояние между элемента­миХ==(Xi; Х2; ... ; Х n )ИXi,Yi Е R,iУ==(Yi; У2; ... ; Уn),== 1,2, ... ,n,обозначим р(х; У) и определим формулойnр(х; У)==(1)L(Xi - Yi)2.i=lМножествоnстранством Rnс введенным в нем расстоянием называют nро­nчисло n - размеР1-l0стью пространства R . ЭлементR,nn(Xi; Х2; ... ; Х n ) множества R называют тОЧffОЙ пространства R ,число Xi, i == 1,2, ... , n, i-й ffоордU1-lатой этой точки. Точки Х ==== (О; О; ... ; Xi; ... ; О) n-мерного пространства Rn образуют i-ю ffOOpau-Х==1-lат1-lУЮ ось пространства. Точку О==(О; О;... ; О)называют 1-lачаломffOOpaU1-lаm.Для точек Хформула(1)==(Xi) и Уимеет вид==(Yi) одномерного пространства Rр(х;у)1==IXi -(R)Yil,поэтому пространство R1 представляет собой множество действи­тельных чисел, расстояние между которыми измеряется обычнымобразом, т.

е. R 1 - числовая прямая. Пространства R 2 и R 3 - этосоответственно плоскость и обычное трехмерное пространство, ко­торые изучаются в элементарной и в аналитической геометрии. Дляэлементов множестваRnможно ввести понятия суммы элементов ипроизведения элемента на действительное число: еслиХто==(Хl; Х2; ... ; Х n ),У==(Yi; У2; ... ; Уn),л Е R,8Гл.1.Дифференциальное исчисление функций нескольких nере.менныхnКак известно из линейной алгебры, множество R , в которомформулами (2) определены сумма и произведение на действительноеBeffmopHblM nространством.

Точку Х ==== (Xi; Х2; ... ; Х n ) пространства Rn в этом случае называют BeffmopoMи обозначают иногда х, числа Xi, i == 1,2, ... , n, называют его ffоорди­число, является линейнымнатами в базисеeiВектор (О; О;... ; О)== (1; О; ... ; О), ... ,==еn(О; О;... ; 1).называют нулевым.nВ линейном векторном пространстве R можно ввести скалярноепроизведение (х, у), поставив в соответствие каждым двум векторамх== (Xi; Х2; ... ; Х n )И У==(Уl; У2;... ; Уn) числоn(х, у) ==L(3)XiYi·i=lnЛинейное векторное пространство R , для векторов которого фор­мулой (3) определено скалярное произведение, называют n-мернымевffлидовым nространством. Число J(x, х) называют длиной Beffmo-Ixl.ра х и обозначаютВекторы х и у называют ортогональными,если (х, у) == о.

Если х и у ненулевые векторы, то углом междуними называют угол ер Е [О; п] такой, что(х,у)cos ер == Ixllyl .2.Различные типы множеств в пространствеnточка а == (аl;а2, ... ;а n ) Е R , 6 > о. Множество== (Хl; Х2, ... ; Х n ) пространства Rn , для которыхIXi -ail < 6,6 -ОffрестностьюОдномерный ffуб двумерный ffуб -26==(5)точки а в пространствеэто интервал длиныRn, 6 >всех точек Хи с центром в точке а илиэто ffBaapam со сторонойПусть точка а ЕПусть== 1,2, ...

, n,iназывают n-мерным ffубом с ребромffубичеСffОЙRn •26 с26 и сRn .центром в точке а,центром в точке а.о. Множество всех точек Х пространст­ва Rn, для которых р(х; а) < 6, называют n-мерным шаром радиуса 6nс центром в точке а или 6 - Оffрестностью точки а в пространстве Rи обозначают Un(а; 6). Таким образом,U (а;6)n==n{Х Е R:р(х;а)< 6}.(6)Одномерный шарu (а; 6)1== {Х Е R: Ix - al < 6}представляет собой интервал длины26с центром в точке а ЕR;мерный шарu 2 (а; 6) == {Х Е R2: J(Xl - аl)2+ (Х2является ffругом радиуса 6 с центром в точке а- а2)2 < 6}== (аl; а2) Е R2.дву­§ 1.Различные типы ,Множеств в n -,Мерно,М пространствеМножество Е сRn9называют ограниченным, если существуетn-мерный шар, содержащий это множество. Пусть каждому нату­ральному числу m поставлена в соответствие точка х(т) простран­стваRn .Упорядоченное множество точек(1)(2)(т)Х, ...

,,х, ...хназывают последовательностью точеff пространстваRnи обозна­чают х(т), m Е N, или {х(т)}. Последовательность {y(k)} назы-вают подпоследовательностью последовательности {х(т)}, если су­ществует такая строго возрастающая последовательность mk ЕчтоN,k Е N. Последовательность {х(т)} называют ограниченной, если множество точек х(т), m Е N, ограниченно.Точку а Е Rn называют пределом последовательности {х( т) }, если р( х( т) ; а) ---+ о при m ---+ 00. В этом случае пишутX(m k )==y(k),lim х(т)а==т---+оои говорят, что последовательность х(т) сходится К точке а.

После­довательность, которая сходится к некоторой точке, называют сходя­щеЙся. Если последовательность не является сходящейся, ее называ­ют расходящеЙся.Последовательность х(т) Е Rn сходится к точке а тогда и толькотогда, когда для любого двсех m> mб>О существует число mб такое, что дляверно включение х(т) Е Un(а; д).т е о р е м а (Больцано-ВеЙерштрасса).

Из любой ограниченной по­следовательности точеff пространстваRn можно выделить сходя­щуюся подпоследовательность.Последовательность{х(т)}точек пространстваназываютRnстремящейся ff беСffонечности и пишутlim х(т)==т---+ооесли р(х(т); О)00,---+ +00 при m ---+ 00, где О - начало координат.nТочку множества Е с Rназывают внутренней тОЧffОЙ этогоnnмножества в R , если в R существует д -окрестность этой точки,содержащаяся в множестве Е. Другими словами, если хняя точка множества Е Еun(х; д) с Е.Rn,-внутрен­то существует шар un(х; д) такой, чтоМножество, каждая точка которого является его внутренней точ­nnкой в R , называют omffPblmblM в R множеством.nПространство R и пустое множество g являются открытымимножествами.Любое открытое вRnмножество, содержащее некоторую точку,называют Оffрестностью этой точки в пространствеRn .