Лекция26фмп (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть)

Лекция 16ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ(5)Частные производные и дифференциалы высших порядковИнвариантность формы дифференциалов второго порядкаФормула Тейлора для функций нескольких переменныхЭкстремумы функции нескольких переменныхНеобходимые условия экстремума функции нескольких переменныхДостаточные условия экстремумаЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВРассмотрим дифференцируемую функцию z  f  x, y  .Очевидно, что выполнив частное дифференцирование, найдемz  x, y z  x, y  f1 x, y  , f 2 x, y  , где f1  x, y  и f 2  x, y   некоторыеxyфункции, и если они в свою очередь дифференцируемы, то можно найтиf1 x, y  f1 x, y f x, y  f 2  x, y ,, а также 2и; в этом случае говорятxyxyо частных производных второго порядка функции z  f  x, y  .При этом используются следующие обозначения  z  x, y    2 z  2  f xx  x, y  ;x  x  x  z  x, y    2 z f xy  x, y  ;y  x  xy  z  x, y    2 z  z  x, y    2 z f yx  x, y  ; f yy  x, y  .x  y  yxy  y  y 2Аналогично вводятся в рассмотрение частные производные 3го, 4го,…, nгопорядка.Например, n z def    n1 z   n1  ,nx  x x n z def    n 1 z   n 1  и т.п.n 1y x x  y Остановимся на так называемых смешанных производных второго порядка2z2zи.xyyxОчевидно, что эти смешанные производные отличаются только порядкомвыполнения операции дифференцирования.

Возникает вопрос, при выполнении каких условий эти смешанные производные совпадают, т.е. независят от порядка дифференцирования.Теорема 15.1 (Шварца)Если у функции z  f  x, y  в некоторой области существуют непрерыв 2 z  x, y   2 z  x, y ные смешанные производныеи, то они совпадают в каxyyxждой точке этой области, т.е. z xy  x, y   z yx  x, y   x, y   D .Пример. Убедиться, что у функции z  sin xy 2 совпадают смешанныепроизводные.z2z22Решение. y cos xy ; 2 y cos xy 2  2 xy 3 sin xy 2 ;xx  y2z 2 y cos xy 2  2 xy 3 sin xy 2 .y xМы видим, что смешанные производные z xy и z yx совпадают.

Их непрерывность на всей плоскости x0y очевидна.Пример ШварцаТо есть смешанные производные в примере Шварца не равныСмешанные производные второго порядка равны всюду, однако, разрывны вточке (0,0).Дифференциалы высших порядковИтак, рассмотрим дифференцируемую функцию двух независимых переменных z  z  x, y  .zzЕе полный дифференциал равен dz   x  y .xyОчевидно, что приращения независимых переменных  x и  y независят от того, в какой точке выполняется дифференцирование функцииz  z  x, y  .Будем считать, что выбрав эти приращения, мы их зафиксировали.Тогда полный дифференциал dz может рассматриваться как некотораяфункция независимых переменных x и y, а тогда можно ставить вопрос о еедифференцировании,т.е.осуществованиидифференциалаотдифференциала, т.е. d dz  .Если дифференцируема не только функция z  x, y  , но и ее частные проzzизводныеи, то тогда существует дифференциал от дифференциаyxла, который называется вторым дифференциалом функции z  x, y  , иобозначаетсяdefd z  x, y  , т.е.

d z  x, y   d  dz  x, y  22Очевидно, чтоz  x, y   z  x, y d z  x, y     x  y x x  xy2z  x, y   z  x, y   x  y y y  xy 2 z  x, y  2 z  x, y  2 z  x, y 22 x  2  x y  y .22xxyyНапомним, что что x и y – независимые переменные и  x  dx ,  y  dy ;Обозначая их квадратыдифференциал так: x 2  dx 2 ,  y 2  dy 2 ,можем записать второй2z2 z2 z2d z  x, y   2  dx  2 dx  dy  2  dy 2xyxy2Совершенно аналогично, определяя полный дифференциал третьегопорядка функции z  z  x, y  как полный дифференциал от дифференциалавторого порядка,defd z  x , y   d d 2 z  x, y 3выполнив аналогичные преобразования, получим3z3z3z3z322d z  3  dz  3 2  dx  dy  3 dx  dy  3  y 33xx yxyy3Для удобства записи полного дифференциала любого порядка вводяттакую символическую запись:n d n z    dx   dy  z ,y xкоторую следует понимать как некий “оператор”, применение которого кфункции z  z  x, y  предполагает выполнение частного дифференцированияфункции z  z  x, y  , причем порядок этих частных производныхопределяется степенью соответствующего слагаемого в правой части,которая раскрывается как формула бинома НьютонаЗамечаниеЕстественно предполагается, что функция z  z  x, y  дифференцируема nраз.Формулу для полного дифференциала, приведенную выше, можно доказатьметодом полной, т.е.

математической индукции.Нетрудно доказать, что если некоторая функция u  u  x, y , z  зависит оттрех независимых аргументов, и ее полный дифференциал имеет видuuudu  dx  dy  dz ,xyzто для обозначения полного дифференциала nго порядка такой функции, если онсуществует, имеет место такая символическая запись:n d nu  x, y, z     dx   dy   dz   u  x, y, z yz xПример. Найти третий дифференциал от функции двух переменных.Решение.

Пусть функция z  z x , y  имеет непрерывные вторыечастные производные. Для раскрытия скобок в выражении для третьегодифференциала3d 3 z x , y    dx dy  zy  xвоспользуемся алгебраической формулой сокращенного умноженияa  b 3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3 .Получим33z 33z3 z3z 322d z   dx  dy  z  3 dx  3 2 dx dy  3dxdy  3 dy .2y xx yxyy x3Инвариантность формы дифференциалов второго порядкаРассмотрим полный дифференциал второго порядка:2 z2 z2z2d z  2  dx  2 dx  dy  2  dy 2xyxy2и выясним, сохраняется ли форма второго полного дифференциала, если переменные x и y не независимые, а являются функциями некоторого аргумента t, т.е x  xt  , y  y t  ;другими словами, выясним, обладает ли полный дифференциал второгопорядка свойством инвариантности своей формы ?Итак, полагаем z  zxt , y t  .zzТогда dz  z t  dt   dx   dyxy(т.е.

первый дифференциал свойством инвариантности своей формыобладает).'' zz zzd 2z  d dz     dx  dy  dt    x t  dt  yt dt  dt yy xt xt  2z 2zz2xxyx't ttt 2  txxyx zz2  dt 2    xt  yt  dt    2zy 2zz2 xt ytx t  2 yt   ytt yy y x22 2zzzzz 2 dx 2  2 dxdy  2  dy 2  dx   dy  xx yyxyzz d 2z x , y   dx   dy   d 2zxyВывод: второй дифференциал не обладает свойством инвариантностисвоей формы. Аналогично не обладают такими свойствами идифференциалы более высоких порядков.ЗамечаниеИсключение составляет тот случай, когда x и y являются линейнымифункциями аргумента t, т.е.

x  a1t  b1 , y  a 2 t  b2 .Причем это остается в силе для сложной функции любого числа аргументов,т.е. в этом случае полный дифференциал функции нескольких переменныхпорядка, выше второго, обладает свойством инвариантности своей формы.Формула Тейлора для функций нескольких переменныхФормула Тейлора для функции одного аргумента имеет видf a f n1 a f n   n 1nf  x   f a    x  a   ...  x  a   x  a  ,n  1 !1!n!где  лежит между x и a.Напомним, что для представимости функции y  f  x  формулой Тейлорадостаточно, чтобы в окрестности точки x  a функция y  f  x  была быдифференцируема n раз.Рассмотрим случай функции двух переменных z  f x, y .Допустим, что эта функция дифференцируема n раз по своимаргументам в окрестности U  x 0 , y 0  точки  x0 , y 0  , принадлежащейнекоторой области D плоскости xOy.Пусть точка  x0   x , yo   y  не выпадает из этой окрестности.Зафиксируем  x и  y и введем в рассмотрение сложную функцию аргумента t, определенную следующим образом: F t   f  x, y  , гдеx  x0  t x , y  y 0  t y , где t  0 ,1 .Нетрудно видеть, что параметрические уравнениянам уравнения отрезка x0   x, y o   y прямой,соединяющейy(x 0  x , y0  y )(x ,y )0M 0 (x 0 ,y0 )U  (x 0 ,y0 )xx  x 0  t x  даютy  y 0  t y точки  x0 , y0  иНапомним, что при такой зависимости переменных x и y от параметра t,обладает свойством инвариантности не только первый полныйдифференциал функции f x, y  , но и полные дифференциалы порядковd 2 f  x, y  , d 3 f  x, y  , …, d n f  x, y  , т.е.kd k F t   d k f x, y  x  x0 t xy  y0 t y   dx   dy   f  x, y  x  x0 t xy  y0 t yy xПри этом dx   x  dt , dy   y  dt .Напишем формулу Тейлора для функции F t  заменив в ней a на t, а x наt   t .

Тогда получимF t F n1 t F n  c n 1nF t   t   F t    t  ...   t    t  ,1!n  1 !n!где c  t     t ,  0    1 , т.е. c есть точка, лежащая между t и t   t .Эту формулу можно переписать так:F  t   t   F  t   dF  t  1 211 d F  t   ...  d n 1F  t    d n F  t     t 2!n! n  1 ! 0    1 .Положим теперь здесь t  0 ,  t  1 и напомним, что при t  0мы имеем точку x0 , y0  ,а при  t  1 точку  x0   x, yo   y  ,кроме того F 0  f  x0 , yo  , F 1   x0   x, y o   y  ,тогда получимf  x0   x, yo   y   f  x0 , y0   df  x, y  x  x0 y  y01 2 d f  x, y  x  x0  2!y  y011 d n 1 f  x, y  x  x0   d n f  x, y  x  x0 x ,y  y0y  y0 yn! n  1 !Здесь следует положить  x  dx ,  y  dy .т.к.