Лекция25фмп (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть)

Лекция 15ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ(4)Производная по направлениюГрадиентСвойства градиентаЧастные производные и дифференциалы высших порядковПроизводная по направлениюzzипредставляют собойxyприращение функции вдоль соответствующей оси ( xили y ) приНапомним, что, частные производныенеизменной второй переменнойz zx xиy constz zy y.x  constВо многих приложениях функций векторного аргумента, включаяэкономические, требуется определять изменение функции не только вдоль осиx или y , но вдоль любого направления на координатной плоскости xOy .Пусть функция z  z  x , y  задана в некоторой окрестности точкиM 0  x0 , y 0  и описывает поверхность SОбозначим l - ось, в направлении которой нужно найти производную.При перемещении в направлении l от точки M 0 x0 , y0  в точку M x , y функция получит приращение  l z  z x , y   z x0 , y 0  ,соответствующее приращению l .yось ly  y 0  l cos lM 0 x0 , y 0 M x, y x  x 0  l cos xПоскольку x  x0  x , y  y0  Δy ,приращение в направлении l составит l x 2  y 2 .Определение 15.1.l zпри l  0 называетсяlпроизводной по направлению l от функции z  z x , y  в точке M 0 x0 , y 0 Предел отношенияl zz liml l 0 lВозьмем произвольную перемещающуюся вдоль оси l точку M x , y  ,отстоящую от стационарной точки M 0 x0 , y 0  на расстояние lyось ly  y 0  l cos lM 0 x0 , y 0 M x , y x  x0  l cos xКоординаты точки M x , y  связаны с координатами точки M 0 x0 , y 0 соотношениями x  x0  l cos  , y  y0  l cos  .Рассмотрим функцию z  z x , y  , как сложную функцию переменной lи найдем ее производную по lz z dx z dy zz cos   cos l x dl y dl xyИз рисунка видно, что   .2Производную по направлению в двухмерном случае можнозаписать иначеz zz cos   sin l xyДля трехмерного случая производная по направлениюдля функции u  u x , y , z  имеет видu uuucos  cos  cos  ,l xyzгде  ,  , - углы между направлением l и координатными осямисоответственно Ox , Oy , Oz .Пример.

Найти производную функции z  x 2  y 2 в точке M 1,2 внаправлении радиус-вектора этой точки.Решение. Найдем углы, задающие направление радиус-вектораcos  x0x02y 0215, sin  y0x02y 0225.Производная по направлению равнаz zl xx0 1y0  2cos  zysin   2 x0 1y0  215 4252 5ГРАДИЕНТCкалярным произведением двух векторов a и b называется число,которое определяется по правилу a , b   a b cos  , где a , b - длинывекторов,  - угол между векторами.Координатами вектора называются координаты его конечнойточки x , y  , если начальная точка вектора совпадает с началом координат.Пусть a  x1 , y1  , b  x2 , y 2 Тогда1) a  x12  y12 , b  x22  y 222) a  b  x1  x 2 , y1  y 2 3) a, b   x1 x2  y1 y 2  z1 z 2Определение 15.2Градиентом функции z  z x , y  в точке M x , y  называется векторс координатамиzzи.yxДля градиента введено обозначение zgrad z   , xz .y Построим в некотором направленииединичный векторla  cos  , cos   и найдем скалярное произведение векторов gradz и azz grad z , a   cos   cos  .xyВведем угол  между градиентом gradz и вектором a и перепишемскалярное произведение в другом видеz gradz , a   gradz  a  cos   gradz  cos lОтсюда видно, что при   0 производная по направлениюдостигает своего максимального значенияgradz  z x2  z y2zl gradzmaxТаким образом, градиент характеризует направление ивеличину максимальной скорости изменения функции вточке.

Направление вектора gradz указывает направлениевозрастания функции.В этом состоит физический смысл градиентаРассмотрим линию уровня функции z  z x , y z  x , y   z1d  z  x, y   zzdx  dy  0xyПоследнее равенство можно представить как скалярное произведение градиентафункции zgrad z   , xzyна вектор с координатами  dx, dyк линии z  x, y   z1 в точке M  x, y  . , лежащий на касательнойВсилуравенстваскалярногопроизведениянулюградиентперпендикулярен (ортогонален) к этой линии в точке M  x, y  .Если   , то2z 0 , т.е. в этом направлении функция неlизменяется.

Это направление линии уровня функции.Например, у функции z  x 2  y 2 линии уровня представляют концентрическиеокружности x 2  y 2  C радиусами C .В каждой точке окружности градиент направлен перпендикулярно касательнойк окружности. Поле градиентов функции z  x 2  y 2 изображено на рисунке.321-3-2-11-1-2-323Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть нанего сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторынаправлены в горку и тем длиннее, чем круче наклон.Свойства градиента1.

Градиент перпендикулярен к линии уровня.2. Градиент направлен в сторону возрастания функции.3. Длина градиента равна максимальной величинепроизводной по направлению в данной точке.Другимисловами,производнаяпонаправлениюпринимаетмаксимальное значение в том направлении, куда «смотрит» градиент,причемzl gradz  z x2  z y2maxДля функции трех переменных u  u x , y , z  рассмотрим поверхностьуровня, описываемую равенствомu x , y , z   C .Дифференциал равенства в точке M x , y , z uuud u x, y, z dx dy dz  0xyzПоследнее равенство можно представить как скалярное произведение градиентафункции u u u gradu   ,, x y z на вектор с координатами dx , dy , dz  , лежащий в плоскости,касательной к поверхности u x , y , z   C в точке M x , y , z  .В силу равенства скалярного произведения нулю градиентперпендикулярен (ортогонален) к этой поверхности в точкеM x , y , z  .Использование градиентаАтлантический тропический шторм Франклин 2005 года — примертропического циклона со значительным градиентом ветраДиагностика рабочих колес гидротурбин и несущих конструкцийГрафик распределения поля остаточной намагниченности НрЛинии концентрации напряжений (линий КН) характеризуются линиямисмены знака остаточного магнитного поля Нр, и вдоль этих линий в процессеэксплуатации развиваются усталостные трещины.Характер распределения аномальных токов Непроводящий объект-100.-100.0.00.0100.100.YY Проводящий объект-50.0.050.100.X-100.-50.-100.-50.0.050.100.X-250.-200.-200.-150.-150.-100.-100.-50.-50.0.0 Z0.0 Z-100.-100.-50.0.050.100.Y0.050.100.Y3-мерная модель показывает что гравитация планеты Земля в настоящее времясильно деформирована и это увеличение механических напряжений в пределахпланеты , которое будет еще больше усугубить градиент температуры.Теорема 15.1 (Шварца)Если у функции z  f  x, y  в некоторой области существуют непрерыв 2 z  x, y   2 z  x, y ные смешанные производныеи, то они совпадают в каxyyxждой точке этой области, т.е.

z xy  x, y   z yx  x, y   x, y   D .Пример. Убедиться, что у функции z  sin xy 2 совпадают смешанныепроизводные.z2z22Решение. y cos xy ; 2 y cos xy 2  2 xy 3 sin xy 2 ;xx  y2z 2 y cos xy 2  2 xy 3 sin xy 2 .y xМы видим, что смешанные производные z xy и z yx совпадают. Их непрерывность на всей плоскости x0y очевидна..