Лекция24фмп (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть)

Лекция 14ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ(3)Теорема о неявной функцииКасательная плоскость и нормаль к поверхностиИнвариантность формы дифференциалов функциинескольких переменныхПрименение полного дифференциалак приближенным вычислениям и оценке погрешностейТеорема о неявной функцииРассмотрим функцию аргумента x, заданную неявно, т.е. функцию y  x  ,заданную соотношением вида F  x, y   0 .Приведем без доказательства формулировку теоремы, дающей достаточныеусловия существования, единственности и дифференцируемости неявнозаданной функции y  y  x  , определяемой соотношением F  x, y   0 .Теорема 14.1 (о неявной функции)Если функция z  F  x, y  удовлетворяет следующим условиям:1) F  x, y  определена в окрестности точки  x0 , y0  , причем F  x, y  и ее чаF  x , y  F  x , y стные производныеинепрерывны в указанной окрестности;xy2) F x0 , y0   0 ;3)F x , y y 0.x x 0y y 0Тогда существует единственная функция y  y  x  , которая определенав некоторой окрестности точки x0 и обладает следующими свойствами:1) функция y  y  x  дифференцируема в окрестности точки x0;2) y0  y  x0  ;3) F x, y  x   0 .Допустим теперь, что некоторая функция z  F  x, y  удовлетворяетусловиям, сформулированным в теореме.

Найдем производную неявнозаданной функции y x  x  .Продифференцируем по x обе части тождества F x, y  x   0 , принимая вовнимание, правило дифференцирования сложной функции, зависящей отнескольких переменных, получимF F dy 0,x y dxоткуда следуетFdy  xF .dxyАналогичное рассмотрение можно провести и для функции z  z  x, y  ,определяемой соотношением F x, y, z   0 .Если функция z  z  x, y  определяется этим соотношением,F x, y, z  x, y   0 . Выполняя частное дифференцирование, получимF F z0,x z xоткуда следуетF F z 0,y z yFz x ,xFzFyz .yFzтоПример.

Найти производную y x функции y  y  x  , заданной неявнымуравнением x 2  y 2  1  0 .Решение. Заметим, что данное уравнение определяет окружность. Дифференцируем уравнение x 2  y 2  1  0 почленно по x как сложную функxцию: 2 x  2 y  y x  0 . Откуда следует y x   .

Ясно, что в точках, где y  0 ,yпроизводная обращается в  (касательная перпендикулярна к оси 0x).F ( x, y )  x 2  y 2  1Fx  2 x; Fy  2 yyx  xyПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКасательная плоскость и нормаль к поверхностиПусть функция z = f(х; у) дифференцируема в точке (x0;y0) некоторойобласти D.

Рассечем поверхность S, изображающуюфункцию z. плоскостями х = x0 и у = у0Плоскость х = x0 пересекает поверхность S по некоторой линии z0(у),уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функцииz = f(х; у) вместо x числа x0. Точка М0(х0;у0; f(х0; у0) ). при надлежит кривой z0(у).В силу дифференцируемости функции z точке М0 функция z0(у) также являетсядифференцируемой в точке у = у0.

Следовательно, в этой точке к плоскости х = х0к кривой z0(у). может быть проведена касательная 11.Проводя аналогичные рассуждения для сечения у = у0, построим касательную 12к кривой z0(x)Прямые l1 и l2 определяют плоскость , которая называется касательнойплоскостью к поверхности  точке М0Составим ее уравнение.Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0;у0 ;z0) может бытьзаписано в видеИли, разделив уравнение на -С и обозначивУравнения касательных 11 и l2 имеют видКасательная 11 лежит в плоскости , следовательно, координаты всех точек11 удовлетворяют уравнениюЭтот факт можно записать в виде системыРазрешая эту систему относительно В1, получим, чтоАналогичноПодставив значения A1 и В1 в уравнение, получаемуравнение касательной плоскости:Если поверхность задана уравнением F(x;y;z) = 0, то уравнение касательнойплоскости имеет вид (с учетом того, что частные производные могут бытьнайдены как производные неявной функции):примет видилиFx  x  x0  M0Fy  y  y0  M0Fz  z  z0   0M0Определение 14.1Прямая, проходящая через точку M0 и перпендикулярная касательной плоскости,построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью.Fx  x  x0  M0Fy  y  y0  M0   F F F N N,,xyzFz  z  z0   0M0Принимая за направляющий вектор прямой, перпендикулярной к поверхностив точке M 0 x0 , y0 , z 0 , вектор   F F F N N,, , получим каноническиеxyzуравнения этой нормали в точке M 0 x0 , y0 , z 0 для случая, когда поверхностьзадана уравнением F(x;y;z) = 0, x  x0   y  y 0   z  z 0 .FFFx M 0z M 0y M0В случае уравненияz = f(х; у)ЗамечаниеМы предполагали, что функция F  x, y , z  дифференцируема, и ни в одF F Fной точке поверхности S все три частные производные,,в нольx y zне обращаются, т.е.

на поверхности S нет особых точек.Пример. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности Sв точке M 0 1,1,2  , если уравнение поверхностей z  x 2  y 2zM0Nx10y1Решение. Запишем уравнение поверхности (это параболоид вращения)FF 2y , 1.yz Следовательно в точке M 0 1,1,2  нормаль к поверхности N  2i  2 j  k .так:F  x, y , z   x 2  y 2  z  0 .НайдемF 2x ,xТогда касательная плоскость имеет уравнение 2x  1  2 y  1  1 z  2   0 ,т.е. 2 x  2 y  z  2  0 .Соответственно, прямая, на которой лежит нормальный вектор N ,такова:x 1 y 1 z  2221ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛОпределение 14.2. Дифференциалом функции z  f  x, y  называетсялинейная относительно  x идифференцируемой функции, т.е.defdz yчастьполногоприращенияz  x, y z  x, y x yxyЗаметим, что если x и y – независимые переменные, то дифференциалыэтих переменных совпадают с их приращениями, т.е.

dx   x , dy   y .Тогда можно уточнить форму дифференциала функции, зависящей от двухнезависимых переменных:defdz z  x, y z x, y  dx  dyxyЗапишем уравнение касательной плоскости в видеz z  x, y x x z  x, y y yОтсюда очевиден геометрический смысл полного дифференциалаПример. Найти полный дифференциал функции u  x 2  x  y  x  y  z 2 .Решение. Очевидно, что du uuu dx  dy  dz , при этомxyzu2 x  y  yz 2ux  xz 2u,,x 2 x 2  xy  xyz 2 y 2 x 2  xy  xyz 2 zxyz2x  xy  xyz2 x  y  yz  dx  x  xz  dy  2 xyz  dz .Следовательно, du 222 x 2  xy  xyz 22.ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХРассмотрим дифференцируемую функцию z  z  x, y  и запишем ее полныйдифференциалdz  x, y  z  x, y z  x, y  dx  dy .xyПокажем, что эта форма дифференциала обладает свойством инвариантностии в том случае, когда переменные x и y не независимые, а являютсяфункциями некоторого аргумента t, т.е.

z  z x t , y t  .Действительно: z dx z dy zzdz  zt  dt        dt   dx  dy ,xy x dt y dt т.е. dz zz dx  dy , где x  xt  , y  y t .xyТеперь предположим, что x и y зависят не от одного, а от двухнезависимых аргументов, т.е. x  xs , t  , y  y s , t  .Тогдаz  zxs , t , y s , t , причем функцииxs , t иy s , t предполагаются дифференцируемыми по переменным s и t. Очевидно, чтоdz zz z x z y  z x z y  ds  dt     ds    dt stxsysxtyt z xz y z x  z y ds  dt   ds  dt  x ty t x s  y sz  xxyz z  y zdsdtdsdtdx dy y  s xx  sttyТаким образом, окончательноdz zz dx  dy ,xyт.е. форма полного дифференциала сохраняется в том случае, если x и yзависят в свою очередь от двух независимых переменных s и t.Применение полного дифференциала к приближеннымвычислениямРассмотрим некоторую функцию z  f  x, y  , определенную в области D идифференцируемую в точке M  x, y   D .Тогда ее полное приращение можно записать так: z  f x  x, y    x  f y  x, y    y     x     y , где   0 ,   0при  x  0 ,  y  0 , т.е.

 z  dz     x     y .В приближенных вычислениях иногда заменяют полное приращениефункции ее дифференциалом, т.е. полагаютf x   x, y   y   f  x, y   f x  x, y    x  f y  x, y    yЗамечаниеПогрешность же таких вычислений можно оценить, оценив отброшенныеслагаемые    x     y . Делается это с помощью формулы Тейлора дляфункции нескольких переменных.1,012  2,992  6 ,x 2  y 2  6 в точке M 1, 3Пример. Вычислить приближенное значениезаменив полное приращение функции z  x, y  ее дифференциалом.Решение. Итак, примем во внимание, чтоz  x   x, y   y   z  x, y  zzx y,xyполучим x   x 2   y   y 2  6 x2  y2  6 x22x  y 6 x y22x  y 6 yПоложим здесь x  1 , y  3 ,  x  0,01 ,  y  0,01, тогда будет1,012  2,992  6  4  0,005  3,9951 9  6 0,013   0,010,01 0,034441 9  61 9  6Оценка погрешностей с помощью полного дифференциалаПри выполнении различных экспериментов приходится сниматьпоказания с приборов, а затем вычислять интересующую нас физическуювеличину по некоторой формуле.Естественно, что при этом экспериментатора интересуют погрешноститаких измерений.

Рассмотрение проведем для случая функции, зависящейот двух независимых переменных, т.е. z  f x, y .Пусть мы измеряем величины x и y с погрешностями  x и  y .Погрешности эти нам не известны, но мы можем оценить их сверху: x  1 ,  y   2 .Здесь положительные величины 1 и  2 дают нам абсолютныепогрешности измерений величин x и y.Допустим, что нам надо оценить абсолютную погрешность вычислениявеличины z  f  x, y  .Очевидно, что ошибка вычисления величины z : z  f  x   x, y   y   f  x, y  .Если приращения  x и  y малы по абсолютной величине, то, заменяяполное приращение функции ее дифференциалом, получим z  dz zzx   y.xyОтсюда следует, что абсолютную погрешность измерений можно оценить так:z zzzzzzx   y  x  y  1  2xyxyxyРазвертка четырехмерногокубаС.Дали.

Распятие.