Лекция23фмп (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть)

Лекция 13ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ(2)Дифференцируемость функции нескольких переменныхЧастные производныеГеометрический смысл частных производных.Дифференцируемость функции нескольких переменныхДифференцирование сложной функции, зависящей от одной переменнойДифференцирование сложной функции, зависящей от несколькихпеременныхДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХЧастные производныеРассмотрим функцию f  x, y  , определенную в области D.Приращение  x z , называемое частным приращением по переменнойx, определяется равенством  x z  f  x   x, y   f x, y  .Аналогично  y z  f x, y   y   f  x, y  .Полное приращение функции z  f  x, y  определяется равенством z  f  x   x , y   y   f  x, y  .Определение 13.1Частной производной функции z  f  x, y  по переменной x называетсяпредел отношения частного приращения функции  x z к вызвавшему егоприращению аргумента  x при условии, что последнее стремится к нулю.Обозначается такая частная производнаяz.xИтак,z defz  x   x, y   z  x, y  limx x0xЧастная производная по переменной x обозначается также z x  f x  x, y  .yzzz deflimАналогично определяется частная производная, т.е..yy y0 yГеометрический смысл частных производных.Допустим, что в области D функция z  f  x, y  положительна.

Этой функции соответствует некоторая поверхность S, расположенная над областью DПринимая во внимание геометрический смысл обыкновенной производной,zнетрудно заметить, что значение частной производнойв точке M  x, y  даетxнам тангенс угла наклона касательной к линии пересечения поверхностиz  f  x, y  и плоскости y  const c положительным направлением оси 0xzSxy(x , y )(x x,y)x  xxy  constЗначение частной производнойzв точке M  x, y  соответственно равноyтангенсу угла наклона касательной к линии пересечения поверхностиz  f  x, y  и плоскости x  const с положительным направлением оси 0y.zyBEyzDCMFAx0xyОпределение 13.2Произведение частных производныхпеременныхxиyzzина приращения независимыхxyназываются частными дифференциалами иобозначаются соответственно d x z и d y z , т.е.defdefzzdxz   x, dyz  yxyАналогично определяются и частные производные от функций, зависящих оттрех и более независимых переменных.При отыскании частной производной по x на все прочие переменные,входящие в выражение функции, следует смотреть как на постоянные.Поэтому остается в силе таблица производных и правила дифференцирования,рассмотренные подробно при изучении производных функции одной переменнойПример1.u  xyt 2  1  x 2 z .

НайтиРешение.1.uxz yt 2 x1  x2z2.u xt 2y3.u 2x  y  ttux24.z2 1  x2  zu,xu,yu,tu.zДифференцируемость функции нескольких переменныхРассмотрим функцию двух независимых переменныхопределенную в некоторой области D плоскости x0y.z  f  x, y  ,Определение 13.3.Если полное приращение функции z  f  x, y  в точке  x, y можно представить в виде  z  A   x  B   y     x     y ,где A и B – выражения, не зависящие от  x и  y ,а  и   бесконечно малые, стремящиеся к нулю,если  x  0 ,  y  0 ,то функция z  f x, y  называется дифференцируемой в точке  x, y  .Теорема 13.1Если функция z  f  x, y  дифференцируема в точке  x, y  , то у нееzzсуществуют частные производныеив этой точке.x yДоказательство.Итак, пусть функция z  f  x, y  дифференцируема в точке  x, y  , тогда ееполное приращение равноz  Ax  B y  x   yЕсли мы зафиксируем y, т.е.

положим  y  0 , то получим частное приращениеxz  A  x     x .Отсюда следует, что существует частная производнаяz.xz xzlim lim  A   Действительно x x  0  x  x  0T.к. A от  x не зависит, а   0 при  x  0 , то получимСовершенно аналогичноz B.yz A.xТо есть, если функция дифференцируема в точкеприращение можно записать в видеz x, y  ,тоее полноеz  x, y z  x, y x y  x   yxyгде   0 ,   0 при  x  0 ,  y  0 .Отметим, что так же, как для функции одной переменной, из дифференцируемостиz  f  x, y  в точке  x, y  вытекает ее непрерывность в этой точке.Действительно, очевидно, что в этом случае полное приращение z  0 при  x  0 ,  y  0 .Определение 13.3Дифференциалом функции z  f  x, y  называется линейная относительно x и  y часть полного приращения дифференцируемой функции, т.е.defdz z  x, y z  x, y x yxyЗаметим, что если x и y – независимые переменные, тодифференциалы этих переменных совпадают с их приращениями, т.е.dx   x , dy   y .

Тогда можно уточнить форму дифференциала функции,зависящей от двух независимых переменных:defdz z  x, y z x, y  dx  dyxyТеорема 13.2 (достаточные условия дифференцируемости функциинескольких переменных )Если в некоторой точке M  x, y  , принадлежащей области D, функцияz  x, y  z  x, y и, тоz  f  x, y  имеет непрерывные частные производныеxyона в этой точке дифференцируема.Доказательство.Рассмотрим полное приращение функции z  f  x, y  и преобразуем его так: z  f  x   x, y   y   f x, y    f  x   x, y   y   f x, y   y    f  x, y   y   f  x, y К каждой из квадратных скобок можно применить теорему Лагранжа;тогда получим z  f x  x  1 x, y   y    x  f y  x, y   2  y    y ,где 1 и  2 есть некоторые константы, удовлетворяющие условиям0  1  1 , 0   2  1 .По условию теоремы частные производные f x  x, y  , f y x, y  непрерывны вточке M  x, y  ; это означает, чтоlim f x  x  1 x, y   y   f x  x, y  , x 0 y 0lim f y  x, y   2  y   f y  x, y  . x 0 y 0Отсюдаf x  x  1 x, y   y   f x  x, y    ,f y  x, y   2  y   f y  x, y    , и   некоторые бесконечно малые,т.е.

  0 ,   0 при  x  0 ,  y  0 .Таким образом, z  f x  x, y    x  f y  x, y    y     x     y .А это и означает, что функция z  f  x, y  дифференцируема в точке M x, y  .Определение 13.4Функция z  f  x, y  называется дифференцируемой в некоторой области D,если она дифференцируема в каждой точке этой области.ЗамечаниеВсе, сказанное выше, распространяется на функции, зависящие от любогочисла независимых переменных.Дифференцируемость функции в точке, как мы установили, приводит кее непрерывности.

Поэтому из непрерывности частных производныхфункции вытекает непрерывность самой функции в точке. Дляисследование функции нескольких переменных на непрерывность врассматриваемой точке достаточно установить факт непрерывностичастных производных этой функции в данной точке.Существованиеf x , f yНепрерывностьf x , f yДифференцируемостьf x , y Непрерывностьf x , y 4201.51-2z3xy0.50-4-2-101242032-2z  xy10-4-2-101242032-22zx y102-4-2-1012ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХДифференцирование сложной функции зависящей отодной переменнойРассмотрим функцию двух аргументов z  f  x, y  .

Пусть, в свою очередьаргументы x и y являются функциями некоторого аргумента t : x  xt  ,y  y t  . Тогда ясно, что z является сложной функцией аргумента t, причем x и yвыступают здесь в качестве промежуточных аргументов, т.е.z  f xt , y t  .Предположим, что функция f  x, y  дифференцируема в некоторойточке M x, y  , а функции x  xt  и y  y t  дифференцируемы попеременной t.

Тогда ясно, что если переменная t получит приращение  t ,то переменные x  xt  и y  y t  получат приращения  x и  y ,следовательно, функция z  f x, y  получит полное приращениеz zzx   y   x  y,xyгде   0 ,   0 при  x  0 , y  0 .Разделим обе части этого равенства на  t : z z  x z  yxy  . t x  t y  tttУстремим теперь  t к нулю, тогда и  x  0 ,  y  0 , причем y dy x dxlim , lim . t 0  tt0dt t dtОкончательно получимdz z dx z dy    .dt x dt y dtdz, если z  x 2  y , x  cost 2 , y  tg t .dtdy1Решение.

Имеем dx   sin t 2  2t ,,2dtdt cos tzxz1,,22xyx y2 x yПример. Найтитогдаdzdt11  4t  cos3 t 2  sin t 2  2t  sin t  .2x2  y2 x 2  y cos t 2 cos 2 t  cos 2 t 2  tg tx21Нетрудно обобщить сказанное на случай z  f t , x t  ,y t   . Получимdz z z dx z dy     .dt t x dt y dtПример. Найтиdz, если z  x  y  t 2 , x  ln t , y  e arctg t .dtzzz 2 xyt , y  t2, x t2,txydx 111 dy1 , e arctgt , получим2dtt 2 t 2t dt1 tarctgtdzln t  t 2  earctgt2 12 earctgtarctgt 2 1 2xyt  yt   xt  2ln t  et  et  2dt2t2t1 t1 t2Решение.

Ясно, чтоДифференцирование сложной функции зависящей от нескольких переменныхРассмотрим теперь вопрос о дифференцировании функции z  z u,  ,где в свою очередь, u = u(x, y), υ  υx, y  , причем функция z  z u, дифференцируема по своим аргументам u и  , а функции u x, y  иυ x, y  , в свою очередь, дифференцируемы по переменным x и y.Дадим приращение переменной x, тогда функции u  x, y  и υ x, y получают частные приращения  x u и  x  , функция z  z u,  получитполное приращение, вызванное изменениями переменных u и  , но поотношению к переменной x это приращение будет частным, т.е.

получимxz zz  xu   x     xu     x ,uгде  и  стремятся к нулю при  x u и  x  , стремящихся к нулю.Разделим левую и правую часть этого равенства на  x : x z z  x u z  x  u   x  x . x u  x   xxxУстремляя  x к нулю, получимАналогичноz z u z  .x u x  xz z u z .y u y  yПример.

ВычислитьРешение. Имеемu 3y cos 3xy ,xv yy 2 sin ,x xxz zyи, если z  u 2  u , u  sin 3 xy ,   cos .x yxz2u  ;2u 2  u  uu 3x cos 3xy .yv1y  sin .yxxzu,2 2  u  uПринимая во внимание полученные выше выражения дляzzи,xyполучимz2u  uyy 3 y cos 3 xy  2  sin x 2  u 2  ux2  u 2  u xyyy2sin3xycossin 3xy   2  sin  3y cos 3xyxxxyy2  sin 2 3xy  sin 3xy  cos2  sin 2 3xy  sin 3xy  cosxxzyнаходится аналогично.