Лекция22фмп (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть)

Лекция 12ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХОбласти в n-мерном пространствеПонятие функции нескольких переменныхЛинии уровняПредел функции нескольких переменныхНепрерывность функции нескольких переменныхОсновные теоремы о непрерывных функцияхФункции нескольких переменных. Основные понятияРассмотрим множество различных систем n упорядоченных вещественных чиселвида x1 , x 2 ,, x n  , которые мы назовем n – мерным пространствома каждую такую систему чисел  x1 , x 2 ,, x n Rnбудем называть точкойэтого пространства и будем обозначать ее M x1 , x2 , , xn .Числаx1, x2xnназываются координатами точки M.

Точку 0 (0,0,…,0)будем называть нулевой точкой пространстваРассмотрим две различные точки M1ВеличинаM 1 , M 2  x1 , x2 ,, xn и M2  y1 , y 2 ,, y n  y1  x1 2   y2  x2 2     yn  xn 2,называется расстояниеммежду точками M1 и M2..Рассмотрим некоторуюn – мерную фиксированную точку M0x100, x 2 , , x nОпределение 12.1Множество точек, удаленных от точки M0 менее, чем на называетсяилиR M 0 , где окрестностью точки M0 и обозначается U   M 0 00В частности, в трехмерном декартовом пространстве 0xyzM 0  x0 , y 0 , z 0 окрестность точкипредставляет собою множество точек, лежащих внутри шара радиусас центром в точке M0,а в двухмерном  окрестность точки M 0  x0 , y0  есть множество точек, лежащих внутри круга радиуса  с центром в точке M0.zyMM0M00xy0MxТаким образом,илиM U M ,       M0n nMUM, 0     x k  x k0 k 1Приn 1приn220,M    2x U x ,      x  x   00x , y  U  x 0 , y 0  ,     x  x 0 Введем понятие области n–мерного пространства.Определения дадим дляn2Однако их можно обобщить и дляn222 y .

y 0    2Определение 12.2 Множество точек M x, y  ,обладающее свойствамиоткрытости и связности, будем называть областью.При этом:1. Свойство открытости означает, что любая точка, принадлежащаяобласти, принадлежит ей вместе с некоторой своей   окрестностью.2. Свойство .связности означает, что любые две точки, принадлежащие области,можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек, целикомпринадлежащих области.Примером области может служить окрестность точки M 0  x0 , y 0 Определение 12.3.

Граничной точкой области называется точка области, ей непринадлежащая, но такая, что любая ее окрестность содержит, как точки,принадлежащие области, так и точки, ей не принадлежащие.Определение 12.4. Множество всех граничных точек области называетсяграницей этой области.Определение 12.5. Замкнутой областью называется множество точек,которое получается в результате присоединения к открытой области D всей ееграницы.Определение 12.6. Область называется ограниченной, если ее можнопоместить внутрь некоторого круга(шара) конечного радиуса R.Пример. Рассмотрим множество точека) x  y  0б)M  x, y , для которыхx  0, y  0Являются ли эти множества областью?x  y  0 областью. не является, так как в точке O(0,0)нарушается условие связностиа) Множествоб) множествообластьDx  0, y  0 представляет собою неограниченную замкнутуюОпределение 12.7.Число не связанных друг с другом частей, из которых состоит вся границаобласти, называется порядком связности области, например, область,ограниченная окружностями радиусов r и R с центром в точкеM 0  x0 , y0  представляет собой двухсвязную областьyR0(x 0 , y 0 )rxПонятие функции нескольких переменныхПеременная величина z называется функцией двух переменных x , y ,если каждой совокупности их значений из данной области Dсоответствует единственное определенное значение z .Соответствующая зависимость записывается в виде z  f x , y  илиz  z x , y  .

Если имеется n переменных величин x1 , x 2 , ..., xn , тофункциональная зависимость имеет вид z  f  x1 , x2 ,..., xn  .Область D, в каждой точке которой определена данная функция, называетсяобластью определения функции.В случаеприприи т.д.n  1 имеем функцию одного аргументаn2n3имеембудетf  x, y  ;u  f  x, y , z f x  ;Пример . Функцияz  ln  x  y  1определена, если аргументлогарифма положителен, т.е. x  y  1  0Множество точек, удовлетворяющих этому неравенству, представляет собоюобласть определения данной функции. Это есть точки, расположенныеправее и выше прямойx  y 1 0Пример .

Функцияz  1  x2  y 2на верхней половине сферыдает нам множество точек, расположенныхx2  y2  z 2  1Областью определения этой функции является кругxyx2  y2 1Пусть функция z  f x , y  определена в некоторой области D наплоскости xOy. Каждой точке x , y  на плоскости будет соответствоватьточка M x , y , z  трехмерного пространства.Множество таких точек M x , y , z  в трехмерной декартовой системекоординат представляет собой некоторую поверхность и называетсяграфиком функции z  f x , y  .Для построения графика функции z  f x , y  можно рассматривать функцииодной переменной z  f x0 , y  и z  f  x , y0  , представляющие сечения графикаплоскостями, параллельными координатным плоскостям xOz и yOz .10.5222x  y  z 10-0.5-1110.50.500-0.5-0.5-1-110.750.50.25z  x2  y 21010.50.500-0.5-0.5-1-110.5y2  z2 10-0.5-1-1-0.5-1-0.5000.50.51 110.750.5z  x2  y20.250110.50.500-0.5-0.5-1-120-21z  sin xy0.50-0.5-1-202Линии уровняОпределение 12.8Линией уровня функции z  f x , y  называется такая линия f x , y   C на плоскостиxOy , в точках которой функция принимает постоянное значение z  C .z  x2  y2ПримерФункция z  x 2  y 2 ,описывая поверхность,называемую параболоидом вращения, имеет линииуровня вида x 2  y 2  C .

Задавая параметру Cразличные значения из области C  0 , получимнесколько линий уровня в виде совокупностиконцентрических окружностей с центром в началекоординат.Этасовокупностьназываетсяфрагментом карты линий уровня.yxЛинииуровня32103210012332.521.510.50.511.522.53Пример.

Построение фрагмента карты линий уровня13функции Кобба-Дугласа z  x1 4 x2 4 .Поверхности уровняПоверхностью уровня скалярной функции u= f(x,y,z) называетсямножество точек пространства, в которых функция u принимает одно и тоже значение c, то есть поверхность уровня определяетсяуравнением f(x,y,z) =c.Предел функцииПусть функцияокрестности точкиf M , гдеM  M  x1 , x 2 ,, x n  , определена в некоторойM 0 x10 , x2 0 ,, xn 0 , причем в самой точке M функция0может быть и не определена.Определение 12.9.Число A называется пределомфункции z  f x , y  при x  x0 , y  y0(или в точке x0 , y 0  ), если длялюбого числа   0 найдется число  0 такое, что для всех точекотличныхотточкиM  x, y  ,M 0  x0 , y0  и отстоящих от этойточки на расстояние  ( 0     ),выполняетсянеравенствоМатематическоеf  x, y   A   .обозначение:lim f  x, y   lim f  x, y   Ax  x0y  y0M M 0.z  f x, y aaAa yЛинииуровняxОкружностьрадиуса M x 0 , y 0 Аналогичные определения предела можно дать и для случая, когда M0 –бесконечно удаленная точка, а A – имеет конечное или бесконечное значение.Эти различные формулировки определения конечного или бесконечного пределав конечной или бесконечной точке можно записать лаконично с помощьювведенных ранее логических символов.Например, пусть M0 – конечная точка, A   , то записьlim f M   AM M 0означает: lim f M   A     0,      0  :0  M , M 0     f M   1 M M0В случаеM  M  x, y , z  ,A  , x, y , z   , тогда lim f x , y , z       0,       0 :   x ,y ,z  1 1:  x 2  y 2  z 2  2   f x , y , z    Напомним, что если A – число, то предел называется конечным, если же A равно ,+ или , то предел называется бесконечным или несобственным.Нетрудно заметить, что определение предела функции несколькихпеременных аналогично соответствующему определению предела дляфункции одной переменной.Замечание.Вычисление пределов функции двух переменных является более сложной задачейпо сравнению с вычислением пределов функции одной переменной.Это связано с тем, что точка N может стремиться к точке M по любомунаправлению на плоскости в отличие от функции одной переменной, гдепеременная x может стремиться к числу x0 на числовой прямой только справа илислева.Получающиеся при этом многочисленные пределы функции двух переменныхдолжны совпадать друг с другом.Пример.

Найти предел функции f x , y   sin xy приyx  0, y  0 .Решение. Функция f  x , y  определена всюду, кроме линии y  0 . Функция в точке0,0 не определена. При нахождении предела следует умножить числитель изнаменатель на x , сделать замену xy   , а затем воспользоваться 1-м замечательнымпределом sin  sin xyx sin xy  0 . lim lim  x x 0x 0x 0yxyy 0y 0  0lim420-2-4420-2-4420-2-4Пример. Существует ли предел у функции f x , y  yxприx  0, y  0 ?Решение.

Выберем направление движения к точке 0,0  по линии y  kx . Ясно,что при x  0 переменная y  0 . Получимlimx 0y 0ykx lim lim k  k .x x  0 x x 0При различных значениях k предел имеет различные значения. Наблюдаетсязависимость величины предела от пути, по которому точка x , y  стремится к точке0,0  .