Лекция21и (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть)

Лекция 28ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(6)Несобственные интегралы 1-го родаЭталонный интеграл 1-го родаНесобственные интегралы 2-го родаЭталонный интеграл 2-го родаИсследование на сходимость несобственных интегралов 1-го и 2-города от неотрицательных функцийИсследование на сходимость интегралов от знакопеременныхфункцийПризнаки сходимости Дирихле и АбеляМы изучали понятие определенного интеграла для случая конечногопромежутка и непрерывной ограниченной функции. Обобщим понятиеопределенного интеграла на случаи бесконечного промежутка инеограниченной на промежутке функцииНесобственные интегралы 1-го родаПусть функция f ( x ) определена для всех x  a и интегрируема накаждом конечном отрезке [a ; t ] .Определение 28.1.Несобственным интегралом 1-го рода f ( x )dxназываетсяatlimt  f ( x )dx .aЕсли этот предел существует и конечен, несобственный интегралназывается сходящимся, в противном случае – расходящимся.Таким же образом вводятся понятия несобственного интеграла1-го рода на неограниченных промежутках [  ; a ] и [ ; ] .azaf ( x )dx  limf ( x )dxt tazf ( x )dx  limf ( x )dx  lim  f ( x )dx  lim  f ( x )dxt t z z  ttaПоследний интеграл называется сходящимся, если сходятся обаинтеграла в правой части равенства независимо от выбора числаa.Пример.

Вычислить интеграл или установить его расходимость0Решение.tdxdxtlimlimarctgxlimarctgtarctg020t   1  x 2t  t  21x00Данный интеграл сходится, его величина равна.2dx1 x2Эталонный интеграл 1-го родаРассмотрим интеграл1dx.xПо определениюtdxdxt lim lim ln x 1  lim ln t    ,t  x t   1 x t  1 т.е.

интеграл расходится.Рассмотрим интеграл1dx, где p  1 .xpВыясним условия сходимости этого интеграла.1p  1,t x1 p t   ,dxdx 1limlim.pptt,p11pxx11 p-1Таким образомнесобственный интеграл 1-го рода1dxxpсходится прирасходится при p  1 .Он называется эталонным интегралом 1-го рода.p 1 иЗамечание. Нижний предел интегрирования был взят из соображенийпростоты вычислений.Рассуждения останутся справедливыми, если вместо числа x  1 взятьлюбое число a, удовлетворяющее условию a  0 .Полученные результаты имеют простой геометрический смысл.Рассмотрим область S, ограниченную сверху кривойy1xp,снизу - осью ОХ, слева прямой х=1..Ее площадь оказывается конечной величиной, если p>1 , и бесконечнобольшой величиной, если p≤1Несобственные интегралы 2-го родаПусть функция y  f ( x ) неограниченна на конечном промежутке[ a ; b) , причем lim f ( x )   .x b  0Определение 28.2Несобственным интегралом 2-го родаb f ( x )dxab на промежутке [a ; b) называетсяlim  0 f ( x )dx .aЕсли предел существует и конечен, несобственный интегралназывается сходящимся, в противном случае – расходящимся .Аналогично,если функция y  f ( x ) неограниченна на конечном промежутке ( a; b] , причемlim f ( x )   ,x a 0или если функция y  f ( x ) неограниченна на конечном промежутке [ a; b] ,причем во внутренней точке этого промежутка обращается в бесконечностьlim f ( x )   a  c  b ,x cто несобственный интеграл 2-го рода определяется так:bbf ( x )dx f ( x )dx  lim 0 abилиa c bf ( x )dx  lim  f ( x )dx . f ( x )dx  lim 0   0aac Последний интеграл называется сходящимся, если сходятся оба интеграла вправой части равенства.1Пример.

Вычислить интеграл или установить его расходимость0Решение. Подынтегральная функция f ( x ) 11 x2dx1 xПри x  1  0 функция f ( x )   .Следовательно,0dx1 x21 lim  00dx1 x21 lim arcsin x 0 0  lim arcsin(1   )  2 0.интегрируется наконечном промежутке.12Эталонный интеграл 2-го рода1dxРассмотрим два интеграла иx010dx, где p  1 .xpИх величины11dxdx1ln 1  ln     ,limlimlnx x  0  x  0   lim 00101 x1 p 1 dxdx  lim  1 1  δ 1 plimlimx p δ 0 δ x p δ 0 1  p δ  δ 0 1  p 1, p  1,   1  p  , p  1Суммируя результаты, можем сказать, что несобственный интеграл 2-го рода1(он называется эталонным интегралом 2-го рода)сходится при p  1 и расходится при p  1 .dx xp0Замечание.

Верхний предел интегрирования был взят из соображений простотывычислений, как и в случае несобственного интеграла 1-го рода.Рассуждения останутся справедливыми, если вместо числа x  1 взятьлюбое число a, удовлетворяющее условию a  0 .Геометрическая интерпретацияРассмотрим область S, ограниченную сверхукривой y 1, снизу — осью ОХ, слева иpxсправа прямыми х=0 и х=1Ее площадь оказывается конечной величиной, еслиp  1 , и бесконечно большой величиной, если p  1Исследование на сходимость несобственных интегралов 1-го и 2-города от неотрицательных функцийКак известно, нахождение интеграла может представлять собой достаточносложную задачу.Поэтому представляют интерес методы, позволяющие без серьезныхвычислений по одному виду функции сделать заключение о сходимости илирасходимости несобственного интеграла.Теоремы сравнения, которые будут рассмотрены ниже, в значительнойстепени помогают исследовать несобственные интегралы на сходимость.Пусть f ( x )  0 .

Тогда функцииtF1 ( t )   f ( x )dx и F2 (  ) ab  f ( x )dxaявляются монотонно возрастающими от переменных t или  (поскольку берем   0 ,   стремится к нулю слева).Если при возрастании аргументов функции F1 t  и F2    остаютсяограниченными сверху, это означает, что соответствующиенесобственные интегралы сходятся.На этом основана первая теорема сравнения для интегралов отнеотрицательных функций.Теорема 28.1 (признак сравнения для несобственных интегралов 1-го рода)Пусть для функций f ( x ) и g( x ) при x  a выполнены условия:1) 0  f ( x )  g ( x ) ;2) функции f ( x ) и g ( x ) непрерывны.Тогда из сходимости интеграла g( x )dxследует сходимость интегралаaaа из расходимости интеграла f ( x )dxa f ( x )dx ,следует расходимость g( x )dx .aДоказательствоПусть интеграл g ( x)dx сходится.aПоскольку 0  f ( x )  g ( x ) и функции непрерывны, то f ( x )dx   g ( x )dx .aaПо условию интеграл g( x )dxсходится, т.е.

имеет конечную величину.aСледовательно, интеграл f ( x )dxaсходится также.Пусть теперь интеграл f ( x )dxрасходится.aПредположим, что интеграл g( x )dxсходится также, ноaтогда должен сходиться интеграл f ( x )dx , что противоречитaусловию.Наше предположение неверно, интеграл g ( x )dxaрасходится.Теорема 28.2 (признак сравнения для несобственных интегралов 2-го рода).Пусть для функций f ( x ) и g ( x ) на промежутке [ a ; b )выполнены условия:1) 0  f ( x )  g( x ) ;2) функции f ( x ) и g( x ) непрерывны;3) lim f ( x )   и lim g ( x )   .x b  0x b  0bТогда из сходимости интеграла g( x )dxследует сходимостьabинтеграла f ( x )dx ,bа из расходимости интегралаa f ( x )dxabследует расходимость  g( x )dx .aДоказательство теоремы для несобственных интегралов 2-го родав точности совпадает с доказательством теоремы длянесобственных интегралов 1-го рода.Отличие состоит лишь в обозначениях несобственного интеграла.Замечание.Если интегралы умножить на произвольные не равные нулю числа m и n,выводы теорем останутся справедливыми.Пример.

Исследовать на сходимость интеграл2Решение.Функция y 13x xdx3x x.непрерывна и положительна1на промежутке [2;) , причемНесобственный интеграл23x xdxx11x1.2представляет собой эталонный интеграл 1-2го рода, который при p  1  1 является расходящимся, следовательно,2по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 1-го рода интегралdx x  3 x расходится также.22Пример. Исследовать на сходимость интегралdxx  x20Решение.Функция1y2непрерывна,положительнанаxxпромежутке [0;2] , неограниченно возрастает при x  0 .Для нее при x  0 справедливо неравенство2Несобственный интеграл0который приp  1 12dxx11xx21x1.2есть эталонный интеграл 2-го рода,2сходится, следовательно, по 1-й теореме2сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл0сходится также.dxx  x2Теорема 28.3 (предельный признак сравнения для несобственныхинтегралов 1-го рода).Пусть для функций f ( x ) и g ( x ) на промежутке [a;) выполнены условия:1) f ( x )  0 , g(x)  0 ;2) f ( x ) и g ( x ) непрерывны;3) limx f(x) k  0.g( x )Тогда интегралы f ( x )dx и  g( x )dxaaсходятся или расходятся одновременно.ДоказательствоИз равенства limx f(x) k по определению предела следует, чтоg( x )  0 x0 | x  x0f(x)k  .g(x)Возьмем любое  , например   k 2 .Тогдаf(x)-k k k .2 g(x)2Прибавим ко всем частям неравенства число k иумножим неравенство на g ( x )  0 .Получим0,5k  g( x )  f ( x )  1,5k  g ( x ) .По 1-й теореме сравнения из сходимости интеграла 1,5k  g( x )dxследуетx0сходимость интеграла f ( x )dx ,а из расходимости интегралаx0 0 ,5k  g ( x )dxx0следует расходимость интеграла f ( x )dx .x0Полученные выводы справедливы для интегралов f ( x )dxaaпоскольку интегралы f ( x )dxx0и g( x )dxпри a  x0 ,aaи g ( x )dxявляются собственными, а значит,x0конечными и на сходимость исследуемых несобственных интегралов не влияют.Теорема 28.4 (предельный признак сравнения длянесобственных интегралов 2-го рода).Пусть для функций f ( x ) и g ( x ) на промежутке [ a; b ) выполнены условия1) f(x)  0, g(x)  0 ;2) f ( x ) и g ( x ) непрерывны;3) lim f ( x )   , lim g ( x )  x b 04) limx b 0x b 0f(x)k 0.g( x )bТогда интегралы f ( x )dxabи  g ( x )dx сходятся или расходятся одновременно.aДоказательство справедливости утверждения в точности совпадает сдоказательством теоремы 28.3, следует лишь внести изменениявобозначения интегралов.Пример.

Исследовать на сходимость интеграл1xРешение. Функция y 5xdxx5  x  1непрерывна и положительна.x  x 1При x  x1~x5  x  1 x32x5Действительно, limx x  x 1 limx 1xНесобственный интеграл132dxx3xx5252x11 lim21x 1xx151.221x52есть эталонный интеграл 1-го рода, который при2p  3  1 сходится, следовательно, сходится и исходный интеграл.2Исследование на сходимость интегралов от знакопеременныхфункцийОпределение28.3.Интеграл f ( x )dxназывается абсолютно сходящимся, если сходитсяaинтеграл от модуля функцииf ( x ) dx .aОпределение 28.4.Если интеграл f ( x )dxaсходится, а интегралf ( x ) dx расходится, тоa f ( x )dxaназывается условно сходящимся интегралом.Теорема 28.5(о сходимости абсолютно сходящегося интеграла)Если интегралДоказательствоaf ( x ) dx сходится, то интеграл f ( x )dxaИз очевидно верного неравенства f(x)  f(x) f(x)следует 0  f ( x )  f ( x )  2 f ( x ) .По 1-й теореме сравнения интеграл  f ( x )  f ( x )dxaсходится в силу сходимости по условию интеграла 2 f ( x ) dx .aсходится также.Представим f ( x )   f ( x )  f ( x )   f ( x ) ,откуда f ( x )dx    f ( x )  f ( x )dx  aaf ( x ) dx .aПервое слагаемое в правой части равенства сходится по доказанному, второеслагаемое конечно по условию, следовательно, интеграл  f ( x )dx есть конечнаяaвеличина, т.е.

он сходится.Замечание.В другой формулировке теорема выглядит так:если интеграл абсолютно сходится, то он сходится.Пример. Исследовать на сходимость интеграл1sin xdx .x2Решение.Найдем для подынтегральной функции границу сверху и воспользуемся 1-йтеоремой сравнения для несобственных интегралов 1-го родаsin x1.22xxИнтеграл11dx сходится как эталонный интеграл 1-го рода.2xТогда сходится интеграл1sin xdx ,2xа по доказанной теореме и интеграл1sin xdx .2xУстановим два признака сходимости несобственного интеграла отпроизведения двух функций:Теорема 28.6 (признак Дирихле).Пусть1- функция f непрерывна и имеет ограниченную первообразную F(x) на[а, ∞) (│F(x)│<M);2- функция g непрерывно дифференцируема и монотонна на [а, + ∞);3- g(х) —> 0 при х —> + ∞.Тогда интеграл.сходитсяПетер Густав Лежен Дирихле (18051859), великий немецкий математик,изучал арифметику (теорема Дирихле опростых числах в арифметическойпрогрессии), математический анализ(признак сходимости Дирихле, рядыДирихле), механику и математическуюфизику.