Лекция20и (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть)

Лекция 27ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(5)Вычисление длины дуги кривойМеханические приложения определенного интегралаРабота переменной силыПуть, пройденный теломВычисление статических моментов икоординат центра тяжести плоской кривойВычисление статических моментов икоординат центра тяжести плоской фигурыОбъем тела вращения.Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейнойтрапеции, ограниченной непрерывной на отрезке [ a ; b ] функциейf ( x ).Его объем выражается формулойПлощадь поверхности вращения.Пусть поверхность задается вращением относительно оси OX графикафункции y = f ( x ), a ≤ x ≤ b , и функция f имеет непрерывнуюпроизводную на этом отрезке.Тогда площадь поверхности вращенияопределяется формулойВычисление длины дуги кривойДлина ломаной линии, котораясоответствует дуге, может быть найдена какyy = f(x)SiyixiaДлина дуги может быть определена, какbxТогда можно показать, чтоТ.е.Если уравнение кривой задано параметрически,где х = (t) и у = (t).то с учетом правил вычисления производной параметрически заданнойфункции получаем,Если задана пространственная кривая, и х = (t), у = (t) и z = Z(t), тоЕсли кривая задана в полярных координатах, = f().Пример: Найти длину окружности,заданной уравнениемx2 + y2 = r2.1 способ.

Выразим из уравнения переменную у:Найдем производнуюТогдаТогда S = 2r. Получили общеизвестную формулу длины окружности.2 способ. Если представить заданное уравнение в полярнойсистеме координат, то получим:r2cos2 + r2sin2 = r2, т.е. функция  = f() = r,тогдаМеханические приложения определенного интегралаРабота постоянной силыДля характеристики эффективности силового воздействия на телоиспользуется величина, называемая механической работой.Пусть под действием постоянной силы F тело сместилось из положения1 в положение 2 вдоль прямой линииСмещение тела охарактеризуем вектором перемещения S. Работойсилы F на перемещении S называется скалярная величина,определяемая равенством:A = |F|·|S|·cos= (F·S)Работа постоянной силы равняется скалярному произведениюсилы на перемещение.Единица измерения работы - Джоуль.

1 Дж = 1 Н·м.Из уравнения для A следует, что работу совершает толькотангенциальная составляющая силы A = F·S.Свойства работы:1.Перпендикулярная перемещению составляющая силы работы непроизводит;2.Работа результирующей силы равна сумме работ составляющих сил:A = F·S = Fi·S = Ai;Работа на перемещении S равна сумме работ на отдельных участках этогоперемещения, т.е. работа является аддитивной величиной:A = F·Si = Ai.Работа переменной силы.В общем случае криволинейного движения величина работырассчитывается посредством интегрирования.

Для этого все перемещениеразбивается на отдельные элементарные участки ΔS такой малойдлины, что их можно считать прямолинейными, а действующую наэтих участках силу - постоянной.Работу при перемещении частицы из начального положения в конечноерассчитаем согласно выражениюA = F·Si = Ai.где Ai - работа силы на каждом участке. Предел суммы работ наотдельных участках траектории при ΔS стремящемся к нулю являетсяопределенным интегралом и представляет собой искомую величинуработы:Если тело М перемешается вдоль оси Ох под действием силыF = F(x), направленной параллельно этой оси, то работа, произведеннаясилой при перемещении тела из положения х = а в положение х =b (а < b),находится по формулеРаботу силы F при конечном перемещении ΔS = S2 - S1 можно найтиграфически. Как следует из определения работы, ее значение в случаепостоянной силы равно площади закрашенного прямоугольникаПуть, пройденный теломПусть материальная точка перемещается по прямой с переменнойскоростью v = v(t).

Найдем путь S, пройденный ею за промежутоквремени от t1 до t2.Из физического смысла производной известно, что при движенииточки в одном направлении «скорость прямолинейного движенияравна производной от пути по времени», т. е.v (t ) dSdtОтсюда следует, что dS = v(t) dt. Интегрируя полученное равенство впределах от t1до t2,получаемПуть, пройденный за какой-либо промежуток времени, численновыражается площадью, ограниченной осью времени, графикомскорости и двумя вертикальными отрезками, проведенными из точек,соответствующих началу и концу данного промежутка времени.Вычисление статических моментов и координат центра тяжестиплоской кривойПусть на плоскости Оху задана система материальных точекМ1(х1;у1), М2(х2;у2),..

, Мп(хп;уп) соответственно c массами m1, m2,.. mn.Статическим моментом Sx системы материальных точекотносительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек наих ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ox):Аналогично определяется статический момент Sy этой системыотносительно оси Оу:Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кривой,то для выражения статического момента понадобится интегрирование.Пусть у = f(x) (а < х <b) — это уравнение материальной кривой АВ.Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью γ(γ = const).Для произвольного х  [а; b]на кривой АВ найдется точка скоординатами (х;у). Выделимна кривой элементарныйучасток длины dl, содержащийточку (х;у).Масса этого участка равна γdl.Примем выделенный участок dl приближенно за точку,отстоящую от оси Ох па расстоянии у.Тогда дифференциал статического момента dSx («элементарныймомент») будет равен γ dlу, т.

е. dSx = γdl у Отсюда следует, чтостатический момент Sx кривой АВ относительно оси Ох равенАналогичноПринципиальная разница между статическим моментом и моментом инерции втом, что статический момент характеризует сечение, которое сила тяжести какбы пытается сломать пополам относительно центра тяжести или осисимметрии, а момент инерции характеризует тело, все материальные точкикоторого перемещаются (или пытаются переместиться) в одном направленииотносительно центра тяжести.Центром тяжести материальной плоской кривой у = f(х), х  [а;b]называется точка плоскости, обладающая следующим свойством:если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, тостатический момент этой точки относительно любойкоординатной оси будет равен статическому моменту всей кривойу = f(x) относительно той же оси.Обозначим через С(хс;ус) центр тяжести кривой АВ.Из определения центра тяжести следуют равенстваВычисление статических моментов и координат центра тяжестиплоской фигурыПусть дана материальная плоская фигура (пластинка),ограниченная кривой у = f(x) > О и прямыми у = 0, х = а, х = bБудем считать, что поверхностнаяплотность пластинки постоянна (γ =const).

Тогда масса «всей пластинкиравна γ S, т. е.Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкойвертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.Тогда масса его равна γydx.Центр тяжести С прямоугольника лежит на пересечении диагоналейпрямоугольника. Эта точка С отстоит от оси Ох на 0.5у, а от оси Оу на х(точнее на х+0.5Δх).Тогда для элементарных статических моментов относительноосей Ох и Оу выполнены соотношенияСледовательноПо аналогии с плоской кривой, обозначив координаты центратяжести плоской фигуры (пластинки) через С(хс; ус), получаем, чтоmxc=Sy, myc=SxОтсюдаПримерНайти координаты центра тяжести полукруга х2 + у2 = R2, у > О (γ = const)РешениеОчевидно (ввиду симметрии фигуры относительнооси Оу), что хс = 0.Площадь полукруга равна π R2/2 .Находим SxКоординаты центра тяжести.