Лекция19и (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть)

Лекция 26ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)Вычисление площадей плоских фигурПлощадь в полярных координатахВычисление объемов телВычисление объема тела по известным площадям егопараллельных сеченийОбъем тел вращенияВычисление длины дуги кривойВычисления в MapleПлощадь фигуры, ограниченной функцией f ( x ), пересекающей осьабсцисс, определяется формулойгде xi – нули функции.Другими словами, чтобы вычислить площадьэтой фигуры, нужно разбить отрезок [ a ; b ] нулями функции f ( x )на части, проинтегрировать функцию f по каждому из получившихсяпромежутков знакопостоянства, сложить отдельно интегралы поотрезкам, на которых функция f принимает разные знаки, и вычесть изпервого второе.Схемы применения определенного интегралаПусть требуется найти значение какой-либо геометрической илифизической величины А (площадь фигуры, объем тела, давлениежидкости на вертикальную пластину и т.

д.), связанной с отрезком [а;b] изменения независимой переменной х. Предполагается, что этавеличина А аддитивна.Для нахождения этой величины А можно руководствоватьсяодной из двух схем:I схема (или метод интегральных сумм) иII схема (или метод дифференциала).Первая схема базируется на определении определенного интеграла.Разбиваем отрезок [а;b] на п частей (частичных отрезков).

В соответствиис этим, интересующая нас величина A разобьется n «элементарныхслагаемых»Представляем каждое «элементарное слагаемое» в виде произведениянекоторой функции f (определяемой из условия задачи), вычисленной впроизвольной точке соответствующего частичного отрезка на его длинуПри нахождении приближенного значения ΔAi, допустимы некоторыеупрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой стягивающейее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенносчитать постоянной и т.

д.Получим приближенное значение величины А в виде интегральнойcуммы:Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.Вторая схема называется «метод дифференциала»На отрезке [а; b] выбираем произвольное значение х и рассматриваемпеременный отрезок [a;х]. На этом отрезке величина А становитсяфункцией х: А = А(х);Находим главную часть приращения ΔА при изменении х на малуювеличину х = dx, т. е. находим дифференциал dA функцииА = А(х): dА = f(x)dx, где f(x), определяемая из условия задачи, функцияпеременной х (здесь также возможны различные упрощения);Считая, что dA ≈ ΔА при, находим искомую величину путеминтегрирования dA в пределах от а до b:Площадь в полярных координатахНапомним, что определением интеграла служит предел интегральныхсумм, взятый при условии измельчения разбиения отрезкаинтегрирования.Этим определением мы воспользуемся для нахождения площади вследующем случае.Пусть на плоскости фиксирована система полярных координат:полярными координатами точки М служат два числа- полярный радиус,- полярный угол.Уравнение, задающее зависимость величины τ от полярного угла φзадаёт некоторую линию на плоскости.Будем предполагать, что функциянепрерывна приРассмотрим область D на плоскости, расположеннуюмежду выходящими из начала координат лучамиии линиейНайдём площадь области D, вначале приблизив область ступенчатойфигурой следующего устройства.Область изменения угла φ, то есть отрезок [α; β], разобьём на частиточками деленияи выберем на каждом участкенекоторую отмеченную точкуПолучаем размеченное разбиение отрезка [α; β].Приближённо будем считать площадьлучамиис тем же центральным угломсектора области D, лежащего между, равной площадикругового сектораи радиусом, равнымПлощадь кругового сектора подсчитывается по формулеЗначит, площадь всей области приближённо равна интегральной суммепостроенной по выбранному размеченному разбиению отрезка [α; β] для функцииПри неограниченном измельчении разбиенияэта интегральная сумма будет стремиться к площади области D.С другой стороны, предел интегральных сумм для функциидаст определённый интеграл от этой функции.Таким образом, получаем формулу площади:Более кратко эту формулу можно записать так:где имеется в виду, что вместо полярного радиуса нужно подставитьего выражение через полярный угол φ для зависимости, график которойограничивает область снаружиЕсли область D имеет границу, состоящую из двух отрезков лучейи(эти отрезки могут вырождаться в одну точку)и двумя линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:и, причёмпри всехто площадь S области D можно представить как разность двух площадей:-площади области, лежащей между лучамии линией,и-площади области, лежащей между лучамии линией,,Каждую из площадей S1 и S2 можно подсчитать по формулеТаким образом,Пример.Найдём площадь S области, ограниченной частью спирали()приПрименяя формулуполучаем:и отрезкомоси ОхПример:Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами,выходящими из полюса, ее следует разбить на криволинейныесекторы, к которым применить полученную формулу для нахожденияплощади.Вычисление объемов тел.Вычисление объема тела по известным площадям егопараллельных сеченийПусть имеется тело объема V.Площадь любогопоперечного сечения телаQ(x )Q(x )Q, известна какнепрерывная функция Q =Q(x).i-1iaxi-1xibРазобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими черезточки хi разбиения отрезка [a, b].Т.к.

на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функцияQ(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшеезначения.Обозначим их соответственно Mi и mi.xЕсли на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры собразующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будутсоответственно равны Mixi и mixi здесь xi = xi - xi-1.Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры,nобъемы которых равны соответственно M xiiи m xiii 1При стремлении к нулю шага разбиения , эти суммы имеют общий предел:Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:Недостатком этой формулы является то, что для нахожденияобъема необходимо знать функцию Q(x), что весьмапроблематично для сложных тел.Пример: Найти объем шара радиуса R.В поперечных сечениях шара получаютсяокружности переменного радиуса у.В зависимости от текущей координаты х этотрадиус выражается по формуле.Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) =Получаем объем шара:yR-R0yxRxПример:Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадьюоснования S.При пересечении пирамиды плоскостями,перпендикулярными высоте, в сеченииполучаем фигуры, подобные основанию.QxSHxКоэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние отплоскости сечения до вершины пирамиды.Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равнокоэффициенту подобия в квадрате, т.е.Отсюда получаем функцию площадей сечений:Находим объем пирамиды:Объем тел вращенияРассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x).Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b].Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а иb вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.Каждое сечение тела плоскостью x = constпредставляет собой круг радиусаОбъем тела вращения может быть легконайден по полученной выше формуле:,y = f(x)Вычислить объем тела, полученного при вращении вокругоси абсцисс фигуры, ограниченнойлиниями,,иИскомая фигура заштрихована синимцветом.

При её вращении вокруг осиабсциссполучается такойсюрреалистический бублик счетырьмя углами.Объем тела вращения вычислим какразность объемов тел.Сначала рассмотрим фигуру, котораяобведена красным цветом. При еёвращении вокруг осиOX получается усеченный конус.Обозначим объем этого усеченногоконуса через V1 .Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом.

Есливращать данную фигуру вокруг оси OX , то получится тожеусеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объемчерез V2 .Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой y=x+4 ,поэтому:Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямойy=2x+1 , поэтому:Объем искомого тела вращения:В данном случае решение можно проверить, используя школьную формулудля вычисления объема усеченного конуса.Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:Вычисление объема тела, образованного вращениемплоской фигуры вокруг оси ординатДана плоская фигура, ограниченная линиями1) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.2) Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченнойданными линиями, вокруг оси ординатНужная фигура, площадькоторой предстоит найти,заштрихована синимцветомПлощадь фигуры находится каксумма площадейЕсть более рациональный путь решения: он состоит в переходе к обратнымфункциям и интегрированию по оси OYВычислим объем тела, образованного вращением данной фигуры,вокруг оси OY .Итак, фигура, заштрихованнаясиним цветом, вращается вокругоси OY.

В результатеполучается «зависшая бабочка»,которая вертится вокруг своей оси.Вращаем фигуру, обведенную краснымцветом и получаем объем V1Вращаем фигуру, обведенную зеленымцветом и получаем объем V2Замечание. Если эту же плоскую фигуру вращать вокруг оси OX , тополучится совершенно другое тело вращения, другого, естественно,объема.Площадь поверхности тела вращенияМiОпределение: Площадью поверхностивращения кривой АВ вокруг данной осиназывают предел, к которому стремятся площадиповерхностей вращения ломаных, вписанных вкривую АВ, при стремлении к нулю наибольшихиз длин звеньев этих ломаныхBАхxiРазобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn.Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi.При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящуюиз боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равнаΔPi.Эта площадь может быть найдена по формуле:Здесь Si – длина каждой хорды.Применяем теорему Лагранжа к отношениюТогдаПлощадь поверхности, описанной ломаной равна:Можно показать, чтоТогда получаем формулу вычисленияплощади поверхности тела вращения.Вычисление длины дуги кривойДлина ломаной линии, котораясоответствует дуге, может быть найдена какyy = f(x)SiyixiaДлина дуги может быть определена, какbxТогда можно показать, чтоТ.е.Вычислить длину дуги параболыот точкидо точкипо частямВозвращаемся к основному решению и используем формулу Ньютона-Лейбница:Если уравнение кривой задано параметрически,где х = (t) и у = (t).то с учетом правил вычисления производной параметрически заданнойфункции получаем,Если задана пространственная кривая, и х = (t), у = (t) и z = Z(t), тоВычислить длину дуги астроидыУпростим сумму квадратовесли функция положительна на промежутке интегрированияесли функция отрицательна на промежутке интегрированияЗаканчиваем решениеЕсли кривая задана в полярных координатах, = f().Пример: Найти длину окружности, заданной уравнениемx2 + y2 = r2.1 способ.

Выразим из уравнения переменную у:Найдем производнуюТогдаТогда S = 2r. Получили общеизвестную формулу длины окружности.2 способ. Если представить заданное уравнение в полярнойсистеме координат, то получим:r2cos2 + r2sin2 = r2, т.е. функция  = f() = r,тогда.