Лекция18и (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть)

Лекция 25ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(3)Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)Оценка определенных интеграловВычисление площадей плоских фигурПлощадь в полярных координатахКвадратурная формула Симпсона (формула парабол).Томас Симпсон (1710-1761)- английскийматематик)В диссертации 1743 озаглавленной «Of the areasof curves etc. by approximation» (стр. 109—119),вывел известную под названием правилаСимпсона формулу приближённого определенияквадратурРазделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m).Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)на каждой паре отрезков заменим на площадь криволинейной трапеции,ограниченной параболой второй степени с осью симметрии,параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениямиf(x0), f(x1), f(x2).0 х0х1х2х3х4хУравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, гдекоэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкампересечения параболы с исходной кривой.y 0  Ax 02  Bx 0  Cy1  Ax12  Bx1  Cy 2  Ax 22  Bx 2  CОбозначим 2h  x 2  x 0 .x2 x3 x2x2S   ( Ax  Bx  C ) dx   A  B Cx 32 x0x02h3Если принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то S  ( 2 Ah 2  6C )Тогда система уравнения примет вид:y 0  Ah 2  Bh  Cy1  Cy 2  Ah 2  Bh  CC учетом этого:y 0  4 y1  y 2  2 Ah 2  6CОтсюдаhS  ( y 0  4 y1  y 2 )3Можно записать общее выражениеx2x0hf ( x)dx  ( y0  4 y1  y2 )3x4x2f ( x)dx h( y2  4 y3  y4 )3...............................................Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:baf ( x)dx bay 0  y 2 m  2( y 2  y 4  ...

 y 2 m2 )  4( y1  y3  ...  y 2m1 )6mЧем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будетполучено.Оценим ошибку формулы Симпсона, то есть величинуПредположим, что функция f(x) имеет на отрезке [a;b] непрерывнуючетвёртую производную , причёмпри всехТогда при выборе постоянного шагаимеет место неравенствоТаким образом, формула Симпсона -- это квадратурная формулачетвёртого порядка точности. Это означает, что при уменьшении шагаh вдвое ошибка уменьшится примерно в 16 раз, а при уменьшении шагав 10 раз ошибка уменьшится примерно в 10000 раз.Пример.Вычислить приближенное значение определенного интеграла8x 3  16dx2с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрированияна 10 частей.По формуле Симпсона получим:82x3  16dx 82[ y (2)  y (8)  2[ y (0)  y (2)  y (4)  y (6)] 654[ y (1)  y (1)  y (3)  y (5)  y (7)]].82x 3  16dx 82[2.828  22.978  2[4  4.899  8.944  15.232] 654[3.873  4.123  6.557  1.874  18.947]]  91.151Точное значение этого интеграла – 91.173.Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точностьполученного результата вполне удовлетворительнаяДля сравнения применим к этой же задаче формулутрапеций.82x 3  16dx b  a  y0  ynyy...y12n 1  n  28  2  2.828  22.978 3.873  4  4.123 10 24.899  6.557  8.944  11.874  15.232  18.947)  91.352Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значениеопределенного интеграла с помощью разложения подинтегральнойфункции в степенной ряд.Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменитьподинтегральную функцию по формуле Тейлора и почленнопроинтегрировать полученную сумму.Оценка определенных интеграловИмеют место более общие теоремы об оценке и среднем: еслифункции f(x) и φ(x) непрерывны на отрезке [a, b] и φ(x) > 0, m наименьшее, M - наибольшее значения функции f(x), тонеравенство Коши-БуняковскогоПример 1.

Оценить определённый интегралВычисление площадей плоских фигур1. Пусть функция y  f(x) непрерывна и неотрицательна наотрезке [a;b] .Тогда по геометрическому смыслу определенного интегралаплощадь S под кривой (площадь криволинейной трапеции)численно равна определенному интегралуb f(x)dxaПримерНайти площадь фигуры, ограниченной параболой y  x 2 , прямымиx  0 , x  1 и осью ОХ.Решение.1x32S   x dx 30101.32. Пусть функция y  f(x) непрерывна и неположительна на отрезке[a; b] .Отразим функцию y  f(x) относительно оси ОХ, получим функциюy   f ( x ) , расположенную над осью ОХ.Площадьподкривойy   f ( x ) будет равнаbbS   - f(x)dx  -  f(x)dxaabСледовательно, величина найденного интеграла f(x)dxaзнаком от величины площади S.будет отличатьсяПРИМЕР 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболойy   x 2 , прямыми x  0 , x  1 и осью ОХ.1Решение.x32S     x dx 3010133. Пусть функции y  f1(x) и y  f 2 ( x ) непрерывны наотрезке [a;b] , причем f 2 ( x )  f1 ( x )Тогда площадь фигуры, ограниченная кривыми y  f1(x) иy  f 2 ( x ) , будет равна разности площадей криволинейныхтрапеций, ограниченных этими линиями:bS fa2(x )  f1 ( x )dxа)bSfab2(x )dx b f ( x )dx    f1aa2(x )  f1 ( x )dxbб)Sb  f ( x )dx    f1aab2(x )dx fa2(x )  f1 ( x )dxbв)bbS   f 2 ( x)dx    f1 ( x) dx    f 2 ( x)  f1 ( x) dxaaaг) Площадь на последнем рисунке может быть вычислена, как суммаплощадей криволинейных трапеций видов, изображенных на рис.

а-в,и, следовательно, по той же формуле.ПримерНайти площадь фигуры, ограниченнойлиниямиy  2  x2 y  xРешение. Найдем точки пересечения графиков заданныхфункций: 2  x 2   x , откуда x1  1, x2  2 .2Искомая площадь2x3 x2 2S   2  x  (  x ) dx   2 x   4 ,532 11Вычисления в MapleПлощадь фигуры, ограниченной функцией f ( x ), пересекающей осьабсцисс, определяется формулойгде xi – нули функции.Другими словами, чтобы вычислить площадьэтой фигуры, нужно разбить отрезок [ a ; b ] нулями функции f ( x )на части, проинтегрировать функцию f по каждому из получившихсяпромежутков знакопостоянства, сложить отдельно интегралы по отрезкам,на которых функция f принимает разные знаки, и вычесть из первоговторое.Площадь в полярных координатахНапомним, что определением интеграла служит предел интегральныхсумм, взятый при условии измельчения разбиения отрезкаинтегрирования.Этим определением мы воспользуемся для нахождения площади вследующем случае.Пусть на плоскости фиксирована система полярных координат:полярными координатами точки М служат два числа- полярный радиус,- полярный угол.Уравнение, задающее зависимость величины τ от полярного угла φзадаёт некоторую линию на плоскости.Будем предполагать, что функциянепрерывна приРассмотрим область D на плоскости, расположеннуюмежду выходящими из начала координат лучамиии линиейНайдём площадь области D, вначале приблизив область ступенчатойфигурой следующего устройства.Область изменения угла φ, то есть отрезок [α; β], разобьём на частиточками деленияи выберем на каждом участкенекоторую отмеченную точкуПолучаем размеченное разбиение отрезка [α; β].Приближённо будем считать площадьлучамиис тем же центральным угломсектора области D, лежащего между, равной площадикругового сектораи радиусом, равнымПлощадь кругового сектора подсчитывается по формулеЗначит, площадь всей области приближённо равна интегральной суммепостроенной по выбранному размеченному разбиению отрезка [α; β] для функцииПри неограниченном измельчении разбиенияэта интегральная сумма будет стремиться к площади области D.С другой стороны, предел интегральных сумм для функциидаст определённый интеграл от этой функции.Таким образом, получаем формулу площади:Более кратко эту формулу можно записать так:где имеется в виду, что вместо полярного радиуса нужно подставитьего выражение через полярный угол φ для зависимости, график которойограничивает область снаружиВычислить площадь фигуры, ограниченной линиейугол, как и в примере с площадью круга, принимает все значенияотдоПример.Найдём площадь S области, ограниченной частью спирали()приПрименяя формулуполучаем:и отрезкомоси ОхЕсли область D имеет границу, состоящую из двух отрезков лучейи(эти отрезки могут вырождаться в одну точку)и двумя линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:и, причёмпри всехто площадь S области D можно представить как разность двух площадей:-площади области, лежащей между лучамии линией,и-площади области, лежащей между лучамии линией,,Каждую из площадей S1 и S2 можно подсчитать по формулеТаким образом,Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиямив полярных координатахВычисление объемов тел.Вычисление объема тела по известным площадям егопараллельных сеченийПусть имеется тело объема V.Площадь любого поперечногосечения тела Q, известна какнепрерывная функция Q =Q(x).Q(xi-1)Q(xi)axi-1xibРазобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хiразбиения отрезка [a, b].Т.к.

на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x)непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.Обозначим их соответственно Mi и mi.xЕсли на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры собразующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будутсоответственно равны Mixi и mixi здесь xi = xi - xi-1.Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры,nобъемы которых равны соответственно M xiiи m xiii 1При стремлении к нулю шага разбиения , эти суммы имеют общий предел:Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объеманеобходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично длясложных тел.Пример: Найти объем шара радиуса R.yВ поперечных сечениях шара получаются окружностипеременного радиуса у.-RВ зависимости от текущей координаты х этотрадиус выражается по формуле.Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) =Получаем объем шара:R0yxRxПример:Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.При пересечении пирамиды плоскостями,перпендикулярными высоте, в сеченииполучаем фигуры, подобные основанию.QxSHxКоэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние отплоскости сечения до вершины пирамиды.Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равнокоэффициенту подобия в квадрате, т.е.Отсюда получаем функцию площадей сечений:Находим объем пирамиды:ОБЪЕМ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯРассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x).Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b].Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и bвращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.Т.к.

каждое сечение тела плоскостью x = constпредставляет собой круг радиуса,то объем тела вращения может быть легко найденпо полученной выше формуле:y = f(x)ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯМiОпределение: Площадью поверхности вращениякривой АВ вокруг данной оси называют предел, ккоторому стремятся площади поверхностей вращенияломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении кнулю наибольших из длин звеньев этих ломаныхBАхxiРазобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn.Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi.При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую избоковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна DPi.Эта площадь может быть найдена по формуле:Здесь Si – длина каждой хорды.Применяем теорему Лагранжа к отношениюПолучаем:ТогдаПлощадь поверхности, описанной ломаной равна:Эта сумма не является интегральной, но можно показать, чтоТогда- формула вычисления площади поверхности тела вращения..