Лекция17и (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть)

Лекция 24ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(2)Интеграл с переменным верхним пределомТеорема существования первообразнойФормула Ньютона-ЛейбницаФормула замены переменной в определенноминтегралеФормула интегрирования по частямПриближенное вычисление определенных интеграловОценка определенных интеграловИнтеграл с переменным верхним пределомРассмотрим определенный интегралtФ(t)   f(x)dxaТакой интеграла при t принимающим значения из некоторогопромежутка будем называть интегралом с переменным верхнимпределомТеорема 24.1 (о существовании производной у интеграла с переменнымверхним пределом)Пусть функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a;b] .tТогда функция Ф(t)   f(x)dx имеет производную в любой точкеat  [a;b] , причем Ф ( t)  f(t) .ДоказательствоНайдем производную функции Ф( t) по определениюt  ΔtФ(t  Δt)  Ф(t) limΔt 0Δt 0ΔtФ (t)  limtt  Δt f(x)dxf(x)dx  f(x)dxaaΔt limΔt 0tΔtВ силу непрерывности функции f(x) на отрезке [t;t  Δt ]найдется такая точка t0 , чтоt  t f ( x )dx  f ( t 0 )  ( t  t  t )  f ( t 0 )  ttПодставим это выражение в нашпредел,t  Δt f(x)dxФ(t)  limΔt 0tΔtf(t0 )Δt lim lim f(t0 )  f(t) ,Δt 0Δt 0Δtпоскольку t0 лежит между t и t  t .Таким образом, производная от определенного интеграла по еговерхнему пределу равна значению подынтегральной функции вверхнем пределе.Следовательно мы доказали следующую теоремуТеорема 24.2 (о существовании первообразной).Если функция f(x) непрерывна, для нее существует первообразнаяфункция.Ф(х) есть первообразная для f(x), так как Ф (x)  f(x) , следовательно,.совокупность всех первообразных для f(x) имеет вид F(x)=Ф(x)+C.Следствие.

Ф(х) находится по общим правилам интегрирования.Формула Ньютона-ЛейбницаГотфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) – немецкий философ иматематик, физик и юрист, историк и языковед.Он ввел определения дифференциала и интеграла, ему мы обязаныиспользованием знаков дифференциала d и интеграла  , использованиемтерминов «функция», «переменная», «координаты», «абсцисса» и многимдругим.Описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1Изобрел первую счетную машину, позволявшуюпроизводить умножение и деление также легко, каксложение и вычитание,Английский физик и математик Исаак Ньютон (1643-1727) –родом издеревни, в юности бедный студент, чудом спасшийся во время эпидемиичумы.С. Вавилов писал, что «на всей физике лежал индивидуальныйотпечаток его мысли; без Ньютона наука развивалась бы иначе».Закон тяготения Ньютона, бином Ньютона, формула НьютонаЛейбница – перечень научных открытий, которыми мы обязаны ему,огромен.Теорема 24.3 (основная формула интегрального исчисления).Пусть функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a;b] , а функцияF ( x ) есть одна из первообразных на этом отрезке, тогдаb f(x)dx  F(b) - F(a)aЭта формулаНьютона-Лейбница называетсяформулой интегрального исчисления.такжеосновнойДоказательствоtФ(t)   f(x)dxaФункция Ф(х) является первообразной на отрезке [a;b] дляфункции f(x).

Так как F(x) –первообразная для функции f(x),тоФ(х)=F(x)+C.Найдем С.При x=a Ф(a)=0 и Ф(а)=F(a)+C.Отсюда F(a)=-C.Тогда Ф(х)=F(x)-F(a) при всех x  [a;b] .В частности, при x=b Ф(b)  F(b) - F(a) .bОкончательно получаемФ( b )   f(x)dx  F(b) - F(a)aЗамечание 1. Формула Ньютона-Лейбница сводит вычислениеопределенного интеграла от функции f(x) к нахождению еепервообразной F(x).Замечание 2. Первым шагом при вычислении определенногоинтеграла является нахождение первообразной, вторым – вычислениезначения первообразной функции в точках b и a. Поэтому удобноформулу Ньютона-Лейбница записать в таком виде:babf(x)dx  F(x) a  F(b) - F(a)Пример.1Найти xdx .0Решение.12 1xxd 20011 0 22Замечание.

Этот интеграл был приведен в качестве примера влекции 23 для иллюстрации того факта, что, не зная способанахождения интеграла, мы тем не менее смогли узнать, чему равнаего величина.Теперь у нас есть инструмент для его вычисления.Это формула Ньютона-Лейбница.Пример.πНайти sin xdx0Решение.π0πsin xdx   cos x 0   cos π  (  cos 0 )  2Формула замены переменной в определенном интегралеТеорема 24.4 (о замене переменной под знаком интеграла)bПусть дан интеграл f(x)dx , где функцияf ( x ) непрерывна на отрезке [a;b] .aВведем новую переменную равенством x   ( t ) , где1) между переменными х и t существует взаимно однозначноесоответствие;2) x   (t ) непрерывна на отрезке [ ;  ] ;3)  ( )  a ,  ( )  b ;4)  ( t ) непрерывна на [ ;  ] .bТогда f ( x )dx   f  ( t ) ( t )dtaДоказательствоF ( x ) есть первообразная для f(x),F  ( t ) - первообразная для f  ( t ) ( t )bПоэтому f ( x )dx  F ( a )  F ( b )aи f ( t ) ( t )dt  F (  )  F  (  )  F ( b )  F ( a )Это и означает справедливость рассматриваемого равенстваПример.1Найти1  x 2 dx0Решение.

Сделаем замену x  sin t .Функция sin t является непрерывной вместе со своейпроизводной.При 0  x  1 справедливо неравенство 0  sin t  1, решение которого2n  t    2n , где n  Z .Из этого бесконечного множества промежутков выберем промежуток0  t  , в пределах которого каждому значению переменной t2соответствует единственное значение переменной х и обратно, причем приизменении переменной х от 0 до 1 переменная t изменяется от 0 до .2Получим211  x 2 dx 021  sin 2 t cos tdt   cos t cos tdt00функция cos t неотрицательна, поэтому модуль2раскрывается со знаком плюс.1  cos 2tДалее используем формулу cos 2 t .2На промежутке 0  t 2Тогда cos t cos tdt 02t 021  cos 2t 2 dt  2 0sin 2t 0 244Формула интегрирования по частямТеорма 24.4 (об интегрировании по частям)Пусть функции u  u( x ) и v  v( x ) имеют на отрезке [a;b]непрерывные производные.bТогда имеет место равенствоbb udv  uv a   vduaaДоказательствоФункция uv является первообразной для функции u v  v u .По формуле Ньютона-Лейбницаbb ( u v  vu )dx  uv aaПреобразуем левую частьbbbbb ( u v  vu )dx   u vdx   vudx   vdu   udvaabbbaaaИз равенства  vdu   udv  uv a получаем искомую формулуaaПримерВычислить x cos xdx0Решение x cos xdx   xd sin x   x sin x 0   sin xdx  cos x 0000 2Приближенное вычисление определенных интеграловТочноевычислениеопределенногоинтеграламожетпредставлять собой трудоемкую задачу, а иногда и невозможно.Поэтому развиты приближенные методы вычисления,позволяющие с заранее заданной точностью найти значениеинтеграла.Квадратурная формула центральных прямоугольниковСнова рассмотрим отрезки разбиениягдеи,и выберем в качестве точек разметки середины каждого из этихотрезков, то есть точкиБудем эти середины обозначатьВозьмём за приближённое значение интеграла интегральную сумму,построенную по такому размеченному разбиению.Каждое слагаемое в этой сумме, равноевыражает площадь прямоугольника с основаниеми высотой, равной значению функции в середине этого отрезка .Получим тогда квадратурную формулуназываемую формулой центральных прямоугольников.Если взять все отрезки разбиения равной длиныто эта квадратурная формула принимает вид,Заметим, что в этом случаеДля выяснения характера ошибкина, возникающей при замене, заметим, что если функциято прямоугольник площадидифференцируема,равновелик трапеции, верхней сторонойкоторой служит касательная к графикупроведённая приДействительно, заштрихованные на рисунке треугольники равны,отчего равны площади прямоугольникаи трапецииОтсюда следует, что если функцияприимеет вторую производную, тографик является выпуклым кверху итак как из чертежа видно, что площадь трапеции, равная,,больше площади под графиком функции, а приграфик является выпуклым книзу иЗначит, приа прина-получаем,Если функция имеет кусочно- непрерывную производную,удовлетворяющую неравенствуто погрешность формулы прямоугольников подчиняется неравенствуКвадратурная формула трапецийbПусть требуется вычислить интеграл f(x)dx ,гдеaфункция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] .Для упрощения рассуждений будем считать, что f(x)  0 .Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей точкамиa  x0  x1  x 2  ...

 x n 1  x n  b .Через эти точки проведем вертикальные прямые до пересечения сграфиком функции f(x) и соседние точки пересечения соединиммежду собойПолучим n прямолинейных и прямоугольных трапеций.Пусть f(a)  y0 , f(x1 )  y1 , ..., f(x n )  y n - основания трапеций, ихвысотыb-a.nСумма площадей этих трапеций приближенно равна площадикриволинейной трапеции ABCD .Получимbf(x)dx ab-ab-ab-a(y0  y1 ) (y1  y2 )  ... (yn1  yn ) 2n2n2nb-a  y0  yn y1  y2  ...

 yn 1 n  2илиban 1b-a  y0  y n  2 y k f(x)dx 2n k 1Замечание 1. Данная формула получила название формулы трапеций.Ее точность зависит от n и при возрастании n погрешность формулыубывает.Замечание 2. Для величины погрешности  при вычисленииинтеграла по формуле трапеций было получено ограничение сверху:( b  a )3  max f ( x ) a  x b12n 2Если функция имеет кусочно- непрерывную производную,удовлетворяющую неравенствуто погрешность формулы трапеций подчиняется неравенствуПримерВычислить приближенно интеграл5e-x 2dx0Решение.