Лекция16и (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть)

Лекция 23ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛПлощадь криволинейной трапеции (геометрическийсмысл определенного интеграла)Работапеременнойсилыопределенного интеграла)(физическийсмыслНеобходимое и достаточное условия интегрируемостиСвойства определенного интегралаИнтеграл с переменным верхним пределомТеорема существования первообразнойПлощадь криволинейной трапецииК понятию определенного интеграла приводитотыскания площади криволинейной трапеции.задачаФигуру, ограниченную графиком положительно определеннойфункции y f(x) , вертикальными прямыми x  a, x  b и осью ОХназовем криволинейной трапециейДля нахождения площади плоской фигуры ABCD разобьемотрезок [а,b] на n частей точками a  x0  x1 x2 ... xn1 xn bНа каждом частичном отрезке [ x ;x ] возьмем по однойk-1 kпроизвольной точке основанием x  x  xkkkk 1и построим прямоугольник си высотой, равной f( ) .kПлощадь этого прямоугольника будет равна S f ( k )xk .Таких прямоугольников,трапеции, будет n штук.покрывающихплощадькриволинейнойВ результате такого построения получим «ступенчатую» фигуру,площадь которой будет равнаnSn  f (1 )x1  f (2 )x2  ...

 f (n )xn   f (k )xkk 1ВеличинаРимана.nS   f ( )x называется интегральной суммойnkkk 1Бернхард Риман Bernhard Riemann17 сентября 1826«О гипотезах, лежащих в основаниигеометрии». 185420 июля 1866 (39 лет)Риманова поверхность(комплексный логарифм)В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180. Вгеометрии Эвклида она всегда равна 180 . В геометрии Римана сумма угловтреугольника всегда больше 180.Будем теперь увеличивать число n делений отрезка [а,b].Тогда «ступенчатая» фигура будет все меньше отклоняться откриволинейной трапеции ABCDВведем max xk - длину наибольшего из рассматриваемых частичных1 k  nотрезков.При max Δxk 0 число частичных отрезков будет неограниченно1 k  nувеличиваться, а их длины будут стремиться к нулю.Пусть предел интегральной суммы приmax Δx 0 существует,k1 k nконечен и не зависит ни от способа разбиения отрезка [а,b], ни отвыбораточекk ,тогдаонпринимаетсязаплощадькриволинейной трапеции ABCD и называется определенныминтегралом или интегралом Римана, т.

е.bnSlim S n max Δxk 01 k  nlimmax xk 01 k  n f (k 1k)xk   f(x)dxaФункцию f при этом называют интегрируемой по Римануна отрезке [а.b].Числа а и b называются соответственно нижним иверхним пределами интеграла;х называется переменной интегрирования,f(x) - подынтегральной функцией,f(x)dx – подынтегральным выражением.Дарбу Жан Гастон Дарбу Жан Гастон (13.8.1842, Ним, —23.2.1917, Париж), французский математик.Основные труды посвящены проблемамдифференциальной геометрии (теорияповерхностей, теория криволинейныхкоординат).Геометрические исследованияпривели Д.

к рассмотрению различныхвопросов интегрирования дифференциальныхуравнений. Из работ, относящихся к др.областям математики, важны мемуары потеории интегрирования, теориианалитических функций, а такжеисследования по вопросу о разложениифункций по ортогональным функциям, вчастности полиномам Якоби. В механикеплодотворно занимался различнымивопросами кинематики, равновесия, малыхколебаний системы точек и др.Суммы ДарбуРазбиение отрезка     x0 , x1,..., xp  называетсяпоследующим по отношению к    x0 , x1 ,..., xn  ,обозначение    , если точки разбиения  содержатсясреди точек разбиения  .Особые разбиения Дарбу  и  :f (i )  max f ( x),x xi ; xi 1 f (i )  min f ( x)x xi ; xi1 nВерхняя сумма Дарбу : S   f (i )xii 1nНижняя сумма Дарбу : S   f (i ) xi 0i 1Геометрический смысл разбиений ДарбуВерхняя сумма Дарбу естьНижняя сумма Дарбу естьПри добавлении к разбиению дополнительных точек разбиенияверхняя сумма Дарбу может только лишь уменьшиться, а нижняясумма Дарбу - только лишь увеличиться.Свойства сумм Дарбу lim S   I  нижний интеграл Риманаd ( )  0 lim S  I  верхний интеграл Риманаd ( )  0IIS  S    (d ( ))   b  a  ,где     max f ( x )  f ( x )  колебание функцииx x  Def.

Функция y  f ( x ) называется интегрируемой наотрезке  a; b  , если I  I .Замечание.Поскольку дальше мы будем иметь дело лишь с определенным интеграломРимана то будем называть его просто определенным интегралом, афункцию, интегрируемую по Риману, - просто интегрируемой функцией,Итак, определенный интеграл от неотрицательной функциичисленно paвeн площади криволинейной трапеции.В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.Работа переменной силыПусть материальная точка М перемещается под действием силы F,направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x),где х — абсцисса движущейся точки М.Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х= а в точку х = b (а < b).Для этого отрезок [а;b] точками а = х0, x1, ..., b = хп разобьем на п частичныхотрезков [xi-1;xi].Сила, действующая на отрезке [xi-1;xi], меняется от точки к точке.

Но еслидлина отрезка достаточно мала, то сила F на этом отрезке изменяетсянезначительно. Ее можно приближенно считать постоянной н равнойзначению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке х = ci  [xi-1;xi],Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [xi-1;xi], равнапроизведению F(ci) • Δхi. (как работа постоянной силы )nAn  f (c1 )x1  f (c2 ) x2  ...  f (cn )xn   f (ck )xkk 1bnAlimmax xk 01 kn F (c )x   F(x)dxkk 1kaИтак, работа переменной силы F, величина которой есть непрерывнаяфункция F = F(x), действующей на отрезке [а; b], равна определенномуинтегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [а; b].В этом состоит физический смысл определенного интеграла.Замечание.

Возникает закономерный вопрос - почему пределинтегральной суммы записывается какlimS , а не вmax Δx 0 nk1 k  nпривычном нам виде lim S n ?nУсловиеmax x 0 означает, что ни один из промежутков неk1 k  nисключается из рассмотрения.Запись lim S n допускает изъятие одного или нескольких промежутковnпри неограниченном делении остальных.Замечание.Введенное понятие определенного интеграла дает возможность внекоторых случаях узнать, чему он равен, хотя мы пока не знаем, какего вычислить в общем случае.Пример .1 1dx 1, так как площадь, ограниченная прямой у=1,0вертикальными прямыми х=0 и х=1 и осью ОХ(площадь прямоугольника) равна 1Пример11xdx.

Интеграл есть площадь под прямой у=х20Замечание .Определенный и неопределенный интегралы – это разные понятия.Неопределенныйинтегралестьсемействофункций,аопределенный интеграл есть число.Необходимое условие интегрируемостиТеорема 23.1. Если функция интегрируема на отрезке, то она ограниченана этом отрезке.ДоказательствоПусть функция f неограничена на отрезке [а,b]. Для произвольногоразбиения отрезка представим сумму Римана интегрируемойфункции f в видеSm  f ( k )xk   f ( i )xiikS m  f ( k )xk   f ( i ) xiikЗдесь [хk-1 , xk] - такой отрезок разбиения τ, на котором f неограничена.Выберем каким-либо образом все отмеченные точки ξi, кроме одной изних с номером к.Тогда правую часть суммы можно сделать сколь угодно большой помодулю за счет выбора ξk.

Следовательно, при любом разбиении суммаРимана может быть по модулю сколь угодно большой присоответствующем выборе отмеченных точек.Это противоречит существованию (конечного) предела суммы Римана.Следовательно, функция f не интегрируема на [a, b].Условие ограниченности функции, являясь необходимым дляинтегрируемости функции, не является достаточным, в чем можноубедиться на примере функции Дирихле:Для этой функции и произвольного разбиения Sm(f) = 1, если всеотмеченные точки рациональны, Sm(f) = 0, если все отмеченныеточки иррациональны.Достаточное условие интегрируемостиОпределениеФункция f(x) называется кусочно непрерывной на [а, b], еслисуществует разбиение {ai}, такое, что при любом i = 1, ....

т:- функция f непрерывна на (аi-1, аi );- существуют конечные пределыИли, другими словами,если функция ограничена на [а,b] и имеет конечное число точекразрываТеорема 23.2.Кусочно непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем.Cвойства определенного интеграла1) Если поменять местами пределы интегрирования, интегралпоменяет знак.Действительно, если построить интегральную сумму так, чтоbab<a, т.е. все x k  xk  xk 10 , тогда  f(x)dx -  f(x)dx .ab2) Интеграл, пределы интегрирования которого равны, равен нулю.aaЕсли a=b, то  f(x)dx -  f(x)dx , откуда следуетaaa f(x)dx 0a3) Определенный интеграл зависит только от величины нижнего иверхнего пределов интегрирования и от вида подынтегральнойфункции, он не зависит от переменной интегрирования. Поэтомувеличина определенного интеграла не изменится, если переменную хзаменить любой другой переменной:bb f(x)dx  f(y)dyaaЭто следует из того, что интегральная сумма Римана, а следовательно,и ее предел не зависят от того, какой буквой обозначается аргументданной функции4) Постоянный множитель можно выносить за знак определенногоинтеграла:bn α  f(x)dx alimmax Δxk  01k nbα  f(x)dxa α  f(ξk 1nk)Δxk  α limmax Δxk  01k n f(ξk 1k)Δxk 5) Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функцийравен алгебраической сумме интегралов от этих функций:bbb  f(x)  g(x)dx  f(x)dx   g(x)dxaaaДля доказательства следует обратиться к пределу интегральной суммыдвух функций и воспользоваться тем, что предел суммы (разности)функций равен сумме (разности) пределов этих функций.6) Для любых чисел a, b, c имеет место равенствоbcb f(x)dx   f(x)dx   f(x)dxaacРассмотрим два случая.а) Пусть а<с<b.

Отрезок [a;b ] разобьем на два отрезка[ a ; c ] и [ c ; b ] и составим интегральные суммы на каждомотрезке.Пределы этих интегральных сумм и будут определеннымиинтегралами на каждом таком отрезке, а их сумма естьопределенный интеграл на отрезке [a;b ] .б) a<b<c. Из пункта а) следуетсbc f(x)dx   f(x)dx   f(x)dxaaccbоткуда находим, чтоbcb f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx .aabacb7) Если f ( x )  g( x ) , тоb f(x)dx   g(x)dx ,aaт.е. неравенство можно интегрировать.Это следует из того, что справедливо неравенствоnlimmax Δxk  01k n f(ξk 1nk)Δxk limmax Δxk  01k n g(ξk 1k)Δxk8) Если функция y  f(x) непрерывна и ограничена на отрезке [a;b] ,т.е. m  f ( x )  M , тоb1mf ( x )dx  Mb-a aПоскольку m  f ( x )  M , то по свойству 7) получимbbb mdx   f ( x )dx  MdxaaaЛевый и правый интегралы легко берутся.bm( b  a )   f ( x )dx M(b - a)abоткуда1mf ( x )dx Mba a9) Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла отмодуля подынтегральной функции:Применяя свойство 7 к очевидным неравенствамполучаемОтсюда9)Теорема о среднем.

Для непрерывной на [a;b] функции существуетx0 (a≤ x0 ≤b), такое чтоbf(x0 )  (b  a)  f(x)dxaВ силу непрерывности функция y  f(x) принимает все промежуточныезначения, заключенные между m и M.Поэтому по второй теореме Больцано-Коши (лекция 5) найдется такоечисло x0 ( a  x0  b ), чтоb1f ( x0 ) f ( x )dxba aЭто значение функции называется средним значением на отрезке [a;b] .bПоследнее выражение можно переписать в виде:f(x0 )  (b  a)  f(x)dxa.