Лекция15и (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть)

Лекция 22ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙНЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (5)Интегрирование некоторых иррациональныхфункцийКвадратичные иррациональностиВыделение полного квадратаТригонометрическая подстановкаИнтеграл видаПодстановки ЭйлераДробно-линейная подстановкаИнтегрирование некоторыхиррациональных функцийДалеко не каждая иррациональная функция может иметьинтеграл, выраженный элементарными функциями.Рассмотрим приемы для интегрирования некоторых типовиррациональных функций, с помощью подстановок, позволяющихпреобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой можетбыть найден как известно всегда..Квадратичные иррациональностиИнтегралы типаназывают неопределенными интегралами от квадратичныхиррациональностейИх можно найти следующим образом:Под радикалом выделяют полный квадрати делают подстановку х + b/a =tПри этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий —к сумме двух табличных интегралов.ПримерПримерТригонометрическая подстановкаИнтегралы типаприводятся к интегралам от функций, рационально зависящих оттригонометрических функций, с помощью следующихтригонометрических подстановок:х = а • sin t для первого интеграла;х = а • tg t для второго интеграла;х = a/sint , для третьего интеграла.Пример.Интеграл видаЗдесь подынтегральная функция есть рациональная функцияотносительно х иВыделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановкуинтегралы указанного типа приводятся к интегралам ужерассмотренного типа, т.

е. к интегралам типаЭти интегралы можно вычислить с помощью соответствующихтригонометрических подстановок.Пример.ЗамечаниеИнтеграл типацелесообразно находит с помощью подстановки x=1/tПодстановки ЭйлераОни являются частным случаем общего класса интегралов R ( x,ax 2  bx  c ) dx . На квадратный трехчлен накладывается условие – егокорни не равны. Рационализация (или добавление нового радикала) достигаетсяподстановками Эйлера.1.Пусть а>0.Тогда положимax 2  bx  c  ( x)  t  a x .Имеем: ax 2  bx  c  t 2  2 xt  a  ax 2 или bx  c  t 2  2 xt a , так чтоt2  cx,2 at  bt2  cat 2  bt  c aax  bx  c  t  a;2 a t  b2 a t  b2a t 2  bt  c adx  2dt2(2 at  b)22tb2ta2at c t ct c 2dt  R x, ax  bx  c dx   R  b  2t a , t  a b  2  a 2b2 a  R * (t )dt  22P (t )dtQ (t )где P(t) и Q(t) – многочлены.Чтобы вернутся к исходной переменной надо положитьt   ( x)  axПодстановка применима и для случая с>0.

Тогда полагаемимеем( x)  xt  c ,ax 2  bx  c  x 2 t 2  2 c xt  c , ax  b  xt 2  2 сt –сновауравнение I степени относительно переменной х. Отсюда после несложных1.2 ct  bвыкладок получим x ,a  t2 ( х) сt 2  bt  с a,a  t2с t 2  bt  adx  2dt .2 2(a  t )Подставляя эти соотношения в исходный интеграл  R ( x,  ( x ))dx ,осуществим его рационализацию. Проинтегрировав, необходимо положитьt( х)  с.хЕсли многочлен ax2+bx+c имеет действительные корни x1 и x2,т.е. ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2), то допустимы такие подстановки:ax 2  bx  c  t ( x  x1 )ax 2  bx  c  t ( x  x2 )Дробно-линейная подстановкаПрименяется к интегралам видагде n- натуральное числоС помощью подстановкифункция рационализируетсяТогдаЕсли в состав иррациональной функции входят корни различныхстепеней, то в качестве новой переменной рационально взять кореньстепени, равной наименьшему общему кратному степеней корней,входящих в выражение.Пример.Пример.В общем случае интегралы типагде а, b, c,d — действительные числа, α,β,γ,δ,—натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональнойфункции путем подстановкигде к — наименьшее общее кратное знаменателей дробейДействительно, из подстановки следует, чтот.

е. х и dx выражаются через рациональные функции от t.При этом и каждая степень дробивыражается через рациональную функцию от t.ПримерО "неберущихся" интегралахПри вычислении производной, наличие формул для производнойсуммы, разности, произведения, частного и композиции - всех техопераций, при помощи которых элементарные функции образуютсяиз минимального набора - приводит к тому, что производная любойэлементарной функции снова является элементарной функциейПри нахождении неопределённых интегралов, однако, формулдля первообразной произведения, частного и композиции нет.Это приводит к такому положению, что отнюдь не для любойэлементарной подынтегральной функции можно "взять интеграл",то есть выразить некоторую первообразную для подынтегральнойфункции в виде некоторого выражения, использующего лишьэлементарные функции.Дело в принципиальной невозможности: никакая из первообразныхв случае "неберущегося" интеграла никаким образом не может бытьвыражена как комбинация элементарных функций, связанных знакамиарифметических действий и знаками композиции.В науке и её приложениях в технике, экономике и других дисциплинахприменяются многие неэлементарные функции; часто их называютспециальными.

К специальным функциям относятся и многиепервообразные для элементарных функций, причём часто не стольуж "сложной" структуры.Интегралы, выражающиеся через такие первообразные, называются(по традиции, берущей начало в 18 веке) неберущимисяОпределениеИнтегралне берётся, если функция F(x) не является элементарной.Некоторые неберущиеся интегралы(неопределенные интегралы, являющиеся неэлементарными функциями)ПримерНеберущимся является интегралФункция Ф(х), которая выделяется из всего набора первообразныхусловием Ф(0)=0. называется функцией Лапласа. Она широкоприменяется в теории вероятностей, физике, математической иприкладной статистике и других разделах науки и её приложений.ПримерНеберущимся также является интегралДоопределим подынтегральную функциюполагая её равной 1 при x=0.

В соответствии с тем, чтодоопределённая функция будет непрерывна на всей числовой оси.Среди её первообразных F(x) выделим ту, для которой F(0)=0.Эта неэлементарная функция называется интегральным синусоми обозначается Si(x).ПримерОдна из первообразных -обозначается Ci(x) и называетсяинтегральным косинусомОдна из первообразных, Ei(x) , - специальнаяфункция, называющаяся интегральной экспонентойПримерВыразим через функцию Лапласа следующий интегралДля этого сделаем замену переменнойПервообразнаядля которой F(0)=0 обозначаетсяФункция erf x называется в теории вероятностей и статистикефункцией ошибок..