Лекция14и (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть)

Лекция 21ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙНЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (4)Интегрирование некоторых тригонометрических функций.Интеграл видаИнтеграл произведения синусов и косинусов различныхаргументов.Понижение порядкаИнтегрирование некоторыхтригонометрических функций.Интегралов от тригонометрических функций может бытьбесконечно много. Большинство из этих интеграловвообще нельзя вычислить аналитически,поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типыфункций, которые могут быть проинтегрированы всегдаИнтеграл видаR –некоторая рациональная функция от переменных sinx иcosx.Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки.t = tgx2Эта подстановка позволяет преобразоватьтригонометрическую функцию в рациональную.Таким образом:Описанное выше преобразование называетсяуниверсальной тригонометрической подстановкой.Пример.Пример.Достоинства подстановки.С ее помощью всегда можно преобразоватьтригонометрическую функцию в рациональную и вычислитьсоответствующий интеграл.НедостаткиПри преобразовании может получиться достаточно сложнаярациональная функция, интегрирование которой займет многовремени и сил.Однако при невозможности применить более рациональнуюзамену переменной этот метод является единственнорезультативным.Интеграл вида(функция R является нечетной относительно cosx).Несмотря на возможность вычисления такого интеграла спомощью универсальной тригонометрической подстановки,рациональнее применить подстановку t = sinx.Пример.ЗамечаниеДля применения этого метода необходима тольконечетность функции относительно косинуса, а степень синуса,входящего в функцию может быть любой, как целой, так идробной.Интеграл видаесли функция R является нечетной относительно sinxПо аналогии с рассмотренным выше случаем делаетсяподстановка t = cosx.Пример.Интеграл видафункция R четная относительно sinx и cosx.Для преобразования функции R в рациональнуюиспользуется подстановка t = tgx.Пример.Пример.Интеграл произведения синусов и косинусов различныхаргументов.В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:Пример.Интегралы типаДля нахождения таких интегралов используютсяследующие приемы:1) подстановка sinx = t, если п — целое положительноенечетное число;2) подстановка cosx = t, если m — целое положительноенечетное число;3.

Формулы понижения порядка если m и n — целыенеотрицательные четные числа;Например,1cos x  (1  cos 2 x);212sin x  (1  cos 2 x)224) подстановка tgx = t, если т + п — есть четноеотрицательное целое число.Пример.Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.Пример.1 ulnx;dudx;ucos(lnx)dxex  cos udu x  eu ; dx  eu du; ueue cos udu  2 (cos u  sin u )  C1x x cos(ln x) x dx  2 (cos(ln x)  sin(ln x))  Cxcos(lnx)dxcoslnx  C;24.