Лекция13и (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть)

Лекция 20ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙНЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (3)Интегрирование рациональных дробейМетод неопределенных коэффициентовИнтегрирование рациональных дробейОпределение 20.1.Рациональная дробьPm ( x )Qn ( x )называется правильной, еслистепень многочлена числителя меньше степени многочленазнаменателя, т. е. m  n .Если m  n , дробь называется неправильной.Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель поправилу деления многочленов, можно получить многочлен плюсправильную дробь.Пример.неправильная рациональная дробь. Разделим числитель назнаменатель в столбик:Пример. Найтиx 2  2x  2dxx 1Решение.x 2  2x  21 2dx   x  1  dx  0 ,5 x  x  ln x  1  Cx 1x 1Если дробь правильная, рассмотрим следующие случаи:а) В знаменателе подынтегральной функции стоит линейныйдвучлен f(x) 1:ax  bbd x  dx1 ba 1lnxC ax  b a baaxa1;m(ax  b)Соответствующий интеграл приводятся к табличномуподстановкой t = ax + b.dx1 dt11 (ax  b)m  a  t m   a(m  1)t m1  C   a(m  1)(ax  b)m1  C ;б) В знаменателе интегрируемой функции квадратныйтрехчлен f ( x ) 1ax 2  bx  cПреобразуем его, выделив полный квадратb d x dx1dx12a ax 2  bx  c a  222bb2b2c ab4acbx  2x 2  2 x  2aa4a4a2a 4a 2Мы получили табличный интеграл, величина которого4ac  b 20,равна арктангенсу, если24a4ac  b 20.и «высокому» логарифму, если24aДругой подход к решению заключается во введении новойпеременной, за которую принимается производная квадратноготрехчлена t  2ax  bЭто приведет к исчезновению в знаменателелинейногослагаемого, в результате чего получится табличный интеграл.dtt bДействительно x и dx 2a2aПосле подстановки в исходный интегралdxax 2  bx  cdt2a2t bt ba  bc 2a  2a После раскрытия скобок и приведения подобных получим интеграл2dt,t 2  4ac  b 2который в зависимости от знака числаарктангенс, либо «высокий» логарифм.4ac  b 2даст либов) Подынтегральная функция имеет видf(x)mx  nax 2  bx  cАналогичновводитсяподстановкаt  2ax  b ,результате интеграл приводится к сумме двух интеграловmx  ntdtdtdx α 2β 22ax  bx  ct γt γгде  ,  , - некие коэффициенты.,вПервый из этих интегралов приводит к логарифмуtdtα d t2  γα2α 2lntγ ,22t γ 2 t γа значение второго интеграла есть либо арктангенс, либо«высокий» логарифм.Немного другая записьAx  B x 2  px  q dx  AAp (2 x  p)   B 22 dx 2x  px  qA2x  pAp dx  2dx   B 2 x  px  q2   x 2  px  qAAp dx2 ln x  px  q   B 2222  p p x  q 2 4 A2 B  Ap2x  p2ln x  px  q  arctgC2224q  p4q  pИнтеграл видаdx (ax 2  bx  c)nможно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить ввидеdu (u 2  s)ndu1 s  u2  u21du1u 2 du (u 2  s)n  s  (u 2  s)n du  s  (u 2  s)n1  s  (u 2  s)nВторой интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частямududv;uu;dudu;11 1 (u 2  s ) nudu1v ;1 (u 2  s)n 2(n  1)(u 2  s)n 1 u 2 duu1du (u 2  s)n   (2n  2)(u 2  s)n1  2n  2  (u 2  s)n1 ;Для исходного интеграла получаем:du1duu1du (u 2  s)n s  (u 2  s)n 1 s(2n  2)(u 2  s)n1 s(2n  2)  (u 2  s)n 1duu2n  3du (u 2  s)n  s(2n  2)(u 2  s)n1  s(2n  2)  (u 2  s) n1 .Полученная формула называется рекуррентной.

Если применить ее n-1раз, то получится табличный интегралdu u2  sMx  NMx  Nn (ax 2  bx  c)n dx  (4a)  (2ax  b)2  (4ac  b2 )n dx u  2ax  b; du  2adx; u b2  x  2a ; s  4ac  b ; (4a) n2a(4a) n2aM (u  b)N2adu 2n(u  s )Mudu2aN  Mbdu  2a  (u 2  s ) n 2n 2a(us)В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t= u2 + s приводится к табличномуdt tn ,а ко второму интегралу применяется рассмотреннаярекуррентная формула.вышеНесмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дробивида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей снебольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делаетвозможным очень простую компьютерную реализацию этого метода.u  x  2; du  dx;3x  53x  53u  6  5dxdxdu   22 ( x 2  4 x  7)2 (( x  2)2  3)2(u  3) x  u  2;2t  u  3; ududu 3 2 11 222(u  3)(u  3) dt  2udu;3 dtu1du 112222 t 3  2(u  3) 3  2 u  3 311u11u arctgC 22t 6(u  3) 6 33311( x  2)11x2arctg C.222( x  4 x  7) 6( x  4 x  7) 6 33Метод неопределенных коэффициентовОпределение 20.1.Сомножители виданазываются простыми x  a n ,x2k px  q ,гдеn,k  N ,Определение 20.2.Простыми дробями называются следующие рациональныедробиABx  C2и,где,p 4q  0n,m1n2m(x - a)( x  px  q )Метод основан на использовании двух теоремТеорема 20.1.

(о разложении многочлена на множители).Многочлен n -ой степени может быть разложен напроизведение простых сомножителей, причем:1) квадратный трехчлен раскладывается так:ax 2  bx  c  a(x  x1 )(x  x 2 ) , если b 2  4ac  02) многочлен 3-й степени:ax 3  bx 2  cx  d  a(x  x1 )(x  x 2 )(x  x3 ) илиax 3  bx 2  cx  d  a(x  x1 )(x 2  px  q) , если D  p 2  4q  03) многочлен 4-й степени:ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  a(x  x1 )(x  x 2 )(x  x3 )(x  x4 )илиax 4  bx 3  cx 2  dx  e  a(x  x1 )(x  x 2 )(x 2  px  q) , D  p 2  4q  0илиax 4  bx 3  cx 2  dx  e  a(x 2  p1 x  q1 )(x 2  p 2 x  q 2 ) ,если D  p12  4q1  0 , D  p22  4q2  0Теорема 20.2.(о разложении правильной рациональной дроби насумму простых дробей)Каждая правильная рациональная дробьPm ( x ),Qn ( x )знаменатель которой имеет вид:Q n ( x )  ( x  x1 )n ( x  x2 )m ...( x 2  p1 x  q1 )k ...

,может быть разложена и притом единственным образом на суммупростых дробей по правилуPm ( x)AAnB1 1  ...  ...Qn ( x) x  x1( x  x1 ) n x  x2... BmC1 x  D1Ck x  Dk......( x  x2 )mx 2  p1 x  q1x 2  p k x  qkk ...где все A, B, C, D - действительные постоянные числа, частькоторых в разложении может обратиться в нуль.В частности, если в знаменателе стоит квадратный трехчлен, тоP1(x)AB(x-x1 )(x  x 2 ) x  x1 x  x 2aгде P1( x )  ax  bесли многочлен 3-й степени, то в зависимости от числа и кратностидействительных корней разложение будет иметь вид:илиP2(x)ABC(x-x1 )(x  x 2 )(x-x3 ) x  x1 x  x 2 x  x3P 2 (x)ABCx  x1x  x2(x-x 1 )(x  x 2 ) 2x  x 22илиP2(x)ABx  C,(x  x1 )(x 2  px  q) x  x1 x 2  px  qaP(x)где 2, ax  b ax 2  bx  cЗамечание .Метод неопределенных коэффициентов позволяет проинтегрироватьлюбую рациональную дробь.

При этом могут получиться лишьмногочлены, рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.Замечание.Разложение имеет место для любых х из области определения.Это утверждение лежит в основе нахождения неизвестных постоянных A,B, C, D.Для нахождения этих постоянных правую часть разложения приведем кобщему знаменателю.

Приравнивая числители левой и правой частейразложения, получим равенство двух многочленов, тождественноеотносительно х.Теперь можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х.Получим систему уравнений, из которой находим искомыепостоянные.Второй способ нахождения искомых коэффициентов состоит в том, чтов получаемом относительно х тождестве аргументу х придают значениякорней, в результате чего получаются уравнения для нахожденияпостоянных.Он более удобен, если корни некратные.На практике чаще используется комбинация обоих способов.Последовательность нахождения интеграла методомнеопределенных коэффициентов1.Если рациональная дробь является неправильной, то надоразделить «уголком» числитель на знаменатель, в результатечего получим многочлен и правильную дробь;2.Знаменатель полученной правильной дроби разложитьпроизведение линейных и квадратичных множителей;3) Правильную дробь разложить на сумму простейших дробей;4) Найти постоянные коэффициенты;5) Найти интегралы от каждого слагаемого в отдельности ипросуммировать результат.наПример.

Найти интеграл3x 2  6 x  2dx32x  3x  2 xРешениеДробь является правильной.Знаменатель раскладывается на множителиx 3  3x 2  2 x  x( x  1 )( x  2 ) .Тогда подынтегральное выражение может быть разложено насумму простых дробей так:3x 2  6 x  2АBCx 3  3x 2  2 x x x  1 x  2Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняемчислители.Получим3 x 2  6 x  2  A( x  1 )( x  2 )  Bx( x  2 )  Cx( x  1 )Раскроем скобки и напишем равенство в виде многочленаотносительно х(A  B  C  3 )x 2  (  3 A  2 B  C  6 )x  ( 2 A  2 )  0Этот многочлен тождественно (т.е. при любых х) должен быть равеннулю.

Последнее возможно в том единственном случае, когда всекоэффициенты равны нулю. Получим систему линейных уравнений A  B  C-3  0-3 A- 2 B-C  6  02 A- 2  0Решая ее, найдем A  1, B  1, C  1Вторым способом найти постоянные будет прощеВ равенстве3 x 2  6 x  2  A( x  1 )( x  2 )  Bx( x  2 )  Cx( x  1 )Полагаях=0, получим 2=2А, откуда А=1;х=1, получим -1=-В, откуда В=1;х=2, получим 2=2С, откуда С=1.Наш интеграл теперь можно представить в виде суммыинтегралов и найти ее.3x 2  6 x  2 x 3  3x 2  2 x dx  .111 x dx   x  1 dx   x  2dxln x  ln x  1  ln x  2  ln x 3  3 x 2  2 x  C.