Лекция9-2 (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 1 часть)

Лекция 9ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (4)ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНАФормула Тейлора для многочленовФормула Тейлора для произвольной функцииФормула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.Формула МаклоренаПредставление функций ex, cosx, sinx, ln(1+x), (1+x)формулой МаклоренаПрименение формулы Тейлора к приближенным вычислениямВ определении функции не говорится о том, при помощи каких средствнаходятся значения y = f (x)Как найти значения, например, функций у = sinx, у = ln(1 +х) прилюбых (допустимых) значениях аргумента?Для того, чтобы вычислить значения данной функции y = f (x) , еезаменяют многочленом Рп(х) степени п, значения которого всегда и легковычисляемы. Возможность представлять функцию многочленом даетформула Тейлора.Тейлор (Taylor) Брук (18.8.1685, Эдмонтон, Мидлсекс, — 29.12.1731, Лондон),английский математик, член Лондонского королевского общества (1712).Нашёл в 1712 общую формулу для разложения функций в степенные ряды, которую опубликовал в 1715 в работе «Methodus incrementorum directa et inversa».ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНАЕсли функция y=f(x) имеет в точке x0 производную, то ее приращение можнопредставить в видеf (x0 + x) - f (x0) = f '(x0)  x + (x)  x, гдеlim ( x )  0x0илиf (x0 + x) - f (x0) = f '(x0)  x + o( x)Иначе говоря, существует линейная функция P1(x)=y0+A(x-x0)такая, что f(x)=P1(x)+o(x-x0), х→x0P1 (x0) =y0=f (x0), Р'1 (x0)=А=f'(х0).Поставим более общую задачу.

Пусть функция f имеет в точке x0 n производных.Требуется выяснить, существует ли многочлен Рn(х) степени не выше п, такой, чтоf(x)=Pn(x)+o((x-x0)n), x→ x0,f (x0)= Pn(x0), f'(х0)= Р'n (x0),....,f (n) (x0)= Р(n)n (x0)Формула Тейлора для многочленовПусть Р - многочлен степени не выше п:Дифференцируя его п раз находимПолагая во всех этих формулах х = 0 , получаемТаким образом,Пусть теперьПолагая t=x-x0 , P(t-x0)=Q(t)по доказанному имеемЗамечаниеЕслиФормула Тейлора для произвольной функцииРассмотрим функцию y = f (x), определенную на промежутке a; b.Допустим, что на этом промежутке f (x) дифференцируема n раз.Докажем, что f (x) может быть представлена в видеf a f a f n1 a 2n1f  x   f a   x  a    x  a   ...

  x  a   Rnn  1 !1!2! формула Тейлора.Последнее слагаемое в формуле Тейлора называется остаточным членом.Если отбросить остаточный член, то получим приближенное равенствоf a f n 1 a  x  a n1f x   f a    x  a   ...

n  1 !1!Многочлен P(x), стоящий справа, называется многочленом Тейлора.Заметим, что коэффициенты многочлена Тейлора вычисляются без труда: дляэтого достаточно вычислить значения функции f (x) и ее производныхf  x , f x ,........, f n1 x в точке a.Заменив функцию ее многочленом Тейлора, мы совершим ошибку, равнуюотброшенному остаточному члену Rn в формуле Тейлора.При решении практических задач эту ошибку точно указать, как правило, нельзя,однако всегда можно ее оценить, т.е. можно указать такое положительное число,которого не превосходит модуль отброшенного остаточного члена.Согласно замечанию имеемПоложим r(х) = f(х) — Р(х).Очевидно, чтоПрименяя п — 1 раз правило Лопиталя и принимая во внимание определениепроизводной, имеемТаким образом r(х) = о((х —х0)n) при х → х0.То есть, имеет место формулаf  x   f  x0  f   x0 1!  x  x0  f   x0 2!2  x  x0   ...

f  n1  x0  n  1 !  x  x0 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.n 1 o(( x  x0 )n )Джузе́ппе Пеа́но (итал. Giuseppe Peano;27 августа 1858 — 20 апреля 1932) —итальянский математик. Внёс вклад вматематическую логику, аксиоматику,философию математики. Создательвспомогательного искусственного языкалатино-сине-флексионе. Более всегоизвестен как автор стандартнойаксиоматизации натуральнойарифметики — арифметики Пеано.Джузеппе Пеано внёс вклад вматематическую логику, аксиоматику,философию математики.

Автор более200 книг и статей, он был одним изоснователей математической логики итеории множеств.Аксиомы Пеано•1 является натуральным числом;•Число, следующее за натуральным, также является натуральным;•1 не следует ни за каким натуральным числом;•Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b ,так и за числом c , то b и c тождественны;•(Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (базаиндукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числаn (индукционное предложение ) , вытекает, что оно верно дляследующего за n натурального числа, то это предложение верно длявсех натуральных чиселРассмотрим другую форму остаточного члена.

Для этого прибегнем к такомуискусственному приему: допустим, что некоторое неизвестное число Rопределено равенствомf b   f a  f  a f  a 2 b  a   b  a   ...1!2!n 1f   a n 1Rn...  b  a    b  a   0n!n  1 !(9.1)и введем в рассмотрение вспомогательную функцию  x   f b   f  x  f  x f  x 2 b  x   b  x   ...1!2!n 1f   x n 1Rn...  b  x    b  x n!n  1 !(9.2)В силу равенства (9.1)  (a) = 0.

Очевидно, что  (b) =0. Кроме того,  (x)дифференцируема и непрерывна на промежутке a; b]. Следовательно,  (x)удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Значит, между точками a и b существуетнекоторая точка c такая, что (с) = 0.Продифференцируем равенство (9.2) почленно: f  x f  x   x    f  x    b  x  1!1! f  x f  x 2 b  x   2  b  x   ...2!2!n 1 f n   x  Rf   x n 1n 2n 1 b  x   n  1  b  x     n  b  x  n  1 ! n  1 ! n !nf   x Rn 1n 1bx b  x n  1 !n  1 !Отсюда следуетf  n  c b  c n1  R  b  c n1  0  R  f n  c  c   n  1 !n  1 !Подставим найденное значение R в формулу (9.1) и заменим в ней b на x,тогда получимf  a f  a 2f x   f a   x  a   x  a   ...1!2!n 1nf   a f   c n 1n...

 x  a   x  a n!n  1!Здесь c лежит между a и x.Эта формула называетсяформулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.Жозе́ф Луи́ Лагра́нж (фр. JosephLouis Lagrange, итал. GiuseppeLodovico Lagrangia; 25января1736, Турин — 10апреля 1813, Париж) —французский математик, астроном и механикитальянского происхождения.Наряду с Эйлером — крупнейшийматематик XVIII века.

Особеннопрославился исключительныммастерством в области обобщенияи синтеза накопленного научногоматериалаОстаточный член в форме Пеано удобен при изучении вопросов, связанных спредельным переходом.Остаточный член в форме Лагранжа часто позволяет получить дажеколичественную оценку погрешности.С другой стороны, в сравнении с формой Пеано он установлен при более жёсткихограничениях.

Кроме того, его запись содержит точку, положение которойкак правило точно не известно. Следует отметить, что остаточный член в формеЛагранжа применяется наиболее часто.Другие формы остаточного членаФорма Шлёмильха- РошаФорма Кошиrn 1 ( x) f ( n ) ( )rn 1 ( x) ( x  x0 ) p( x   ) n p ,( n  1)! pf ( n )  x0   ( x  x0 ) ( n  1)!(1   ) n 1 ( x  x0 ),0<θ<1Оскар КсаверШлёмильх (нем.

Oskar XavierSchlömilch; 13апреля 1823, Веймар — 7февраля1901, Дрезден) —немецкий математик,Рош, Эдуар Альбер (фр. ÉdouardAlbert Roche; 17октября 1820, Монпелье — 8апреля 1883) —французский астроном, математик,Отметим некоторые частные случаи формулы Тейлора.Положим в формуле Тейлора n = 1. Тогда получим формулуf x   f a   f c   x  a (c лежит между a и x).

Это и есть ни что иное, как полученная ранееформула Лагранжа.(Этот факт станет очевидным, если заменить x на b).Положим теперь в формуле Тейлора n = 2.f  x   f a   f a    x  a  f c 2 x  a 2!и заменим в этом выражении x на x +  x ,а точку a на x, тогда получимf  x   x   f  x   f  x    x Отбросим последнее слагаемое, тогдаf c 2  x 2!f x   x   f  x   df  x Этой формулой можно пользоваться в приближенных вычислениях, заменяяполное приращение функции ее дифференциалом.Погрешность таких приближенных вычислений нетрудно оценить, рассмотревотброшенный остаточный членf c 2  x 2!Заметим, что формула Тейлора имеет очень широкое применение, посколькупозволяет любую функцию (лишь бы она была нужное число раздифференцируема!) заменить многочленом с любой степенью точности.ФОРМУЛА МАКЛОРЕНА:Если в формуле Тейлора положить a = 0, то получим частный случай формулыТейлора – так называемую формулу Маклорена:f 0 f 0  2f  n1 0 n1 f  n  c  nf  x   f 0  x x  ...