Лекция8-3 (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 1 часть)

Лекция 8ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (3)ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХТеорема 8.1 (Ролля)Если функция f (x)непрерывна на отрезке [a; b],в каждой точке интервала (a; b) существует конечная производная f '(x)и, кроме того, f (a) = f (b),то тогда между точками a и b найдется хотя бы одна точка c (a < c < b) такая, чтоf '(с) = 0.Мишель Ролль (фр. Michel Rolle, 21апреля 1652, Амбер (Франция) — 8ноября 1719 , Париж) — французский математикДоказательство.Функция f (x) непрерывна на промежутке [a; b], следовательно,на этом промежутке она принимает наименьшее значение m и наибольшеезначение M.Если окажется, что m = M, то f (x) постоянна на промежутке [a; b], т.е.

f (x) = const,следовательно, f '(x) = 0,  x[a; b], в частности и в некоторой точке c(a; b).yyx1  x0xa)0 a x2x  0x1b)x1  xx  0b xЕсли m < M, то существует точки x1 и x2 такие, что f (x1) = m, f (x2) = M, причем,если бы оказалось, что точки x1 и x2 находятся на концах отрезка [a; b], то мыпришли бы к первому случаю, поэтому хотя бы одна из точек x1 или x2 лежитвнутри промежутка [a; b].Пусть для определенности a < x1 < b и f(x1) = m. Тогда при любом достаточномалом по модулю x будет f (x1+x) > f (x1), откуда следует, чтоf ( x1  x)  f ( x1 )0xf ( x1  x)  f ( x1 )0xпри x > 0;при x < 0.Устремим теперь x к нулю. Так как функция f (x) дифференцируема в точке x, тоэто значит, что предел первой дроби должен быть равен пределу второй дроби, а этоможет быть только 0.Итак, нашлась точка c = x1 такая, что f '(c) = 0.Для точки x2, в которой функция достигает наибольшего значения,доказательство аналогично.Геометрический смысл теоремы РолляЕсли выполнены условия теоремы Ролля, то в некоторой точке x = c f '(c) = 0,а это означает, что касательная к графику функции y = f (x) в точке x = cпараллельна оси 0x.ЗамечаниеЕсли хотя бы в одной точке промежутка [a; b] функция не дифференцируема,то производная функции f (x) может в нуль и не обратитьсяyНапример, функция y =1-xнепрерывна на отрезке [-1; +1],дифференцируема в интервале (-1;+1) за исключениемточки x0 = 0, причем f (-1) = f (1) = 0,т.е.

условие теоремы Ролля нарушено в единственной точкеx0 = 0 (в ней функция не дифференцируется).2110Очевидно, что ни в одной точке графика функции на промежутке [-1; 1]касательнаяк графику не параллельна оси 0x.1xТеорема 8.2 (Лагранжа)Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема винтервале (a; b), то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c(a < c < b) такая, что будет иметь место равенствоf (b)-f (a) = f '(c)(b - a)– формула конечных приращений Лагранжа.Жозе́ф Луи́ Лагра́нж (фр. Joseph LouisLagrange, итал.

Giuseppe Lodovico Lagrangia; 25января1736, Турин — 10апреля 1813, Париж) —французский математик, астроном имеханикитальянского происхождения. Нарядус Эйлером — крупнейший математик XVIIIвека. Особенно прославился исключительныммастерством в области обобщения и синтезанакопленного научного материалаДоказательство.Введем в рассмотрение вспомогательную функциюΦ(x) = [f (x) - f (a)](b - a) - [f (b) - f (a)](x - a).Функция Φ(x) непрерывна на отрезке [a; b] как сложная функция непрерывныхфункций; кроме того, она дифференцируема на интервале (a; b, причем,Φ(a) = Φ(b) = 0.

Следовательно, функция Φ(x) удовлетворяет условиям теоремыРолля; значит, найдется точка c, лежащая внутри промежутка [a; b] такая, чтоΦ'(c) = 0.Φ'(x) = f '(x)  (b - a) - (f (b) - f (a)).Полагая x = c, получим Φ'(c) = f '(c)  (b - a) - (f (b) - f (a)) = 0.Отсюдаf (b) - f (a) = f '(c)  (b - a).Формулу конечных приращений Лагранжа можно записать несколько иначе, еслиположить b = x + x, a = x и обозначить c = x +   x, где  – некоторое число,удовлетворяющее неравенству 0 <  < 1. А именно: формула Лагранжа будет иметьвидf (x + x) - f (x) = f '(x +   x)  x (0 <  < 1).Таким образом,Приращение дифференцируемой функции на отрезке [а;b] равно приращениюаргумента, умноженному на значение производной функции в некоторойвнутренней точке этого отрезкаГеометрический смысл теоремы ЛагранжаПусть выполнены условия теоремы Лагранжа, тогдасправедлива формула конечных приращений Лагранжа.f (b) - f (a) = f '(c)  (b - a).Пусть точки A и B, лежащие на графике функции, имеюткоординаты A (a; f (a)), B (b; f (b)), тогда очевидно, чтовеличина дробиyBAaf (b)  f (a )baравна тангенсу угла наклона хорды AB к оси 0x, т.е.tg  С другой стороны, f '(c) = tg.Значит, в точке x = c касательная к графику функцииy = f (x) параллельна хорде, стягивающей дугу кривой AB.В этом и заключается геометрический смысл теоремы Лагранжа.f (b)  f (a)b acbf (b)  f ( a)baxСледствие 1.

Если производная функции равна нулю на некотором промежутке,то функция постоянна на этом промежуткеСледствие 2. Если две функции имеют равные производные на некоторомпромежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемоеТеорема 8.3 (Коши)Если на отрезке a; b функции  (x) и  (x) непрерывны и дифференцируемы вкаждой точке интервала (a; b), причем (x)  0 ни в одной точке этогоинтервала, то тогда между точками a и b существует такая точка c (a  c  b),что имеет место равенство c   b    a   c   b    a (формула Коши).Доказательство.Прежде всего, заметим, что  (b)   (a), так как иначе в силу теоремы Роллянашлась бы точка c такая, что было бы  (c) = 0. Введем вспомогательнуюфункцию(x) = [ (x)  (a)]  [(b)  (a)]  [(b)  (a)]  [(x)  (a)].Ясно, что функция  (x) определена и непрерывна на промежутке a; b каксложная функция непрерывных функций, кроме того, она дифференцируема наинтервале (a; b).

Заметим, что  (a) =  (b) = 0, т.е.  (x) удовлетворяетусловиям теоремы Ролля.Следовательно, найдется точка c такая, что будет (c) = 0,(x) =  (x)  [ (b)   (a)]   (x)  [ (b)   (a)],откуда следует, что (c)  [ (b)   (a)]   (c)  [ (b)   (a)] = 0; c   b    a   c   b    a - формула Коши.Геометрический смысл теоремы КошиНетрудно убедиться в том, что геометрический смысл теоремы Коши совпадаетс геометрическим смыслом теоремы Лагранжа. Действительно рассмотримкривую АВ заданную параметрическими уравнениямиx    t  y    t  причем функции  (t) и  (t) удовлетворяют условиям теоремы Коши.Рассмотрим график кривой, заданной этими параметрическимиуравнениямиПусть параметр ta; b, тогда A ( (a),  (a)),B ( (b),  (a)).Угловой коэффициент касательной к графикукривой АВ в некоторой точке С ( (с),  (с))равен c , c yCBA(a ) (c )(b )xв силу теоремы Коши он совпадает с угловым коэффициентом секущей,проходящей через точки А и В.

Итак, если выполнены условия теоремы Коши, тона графике кривой, заданной параметрическими уравнениямиx   t y   t , ta; b,найдется хотя бы одна точка С, такая, что касательная к графику этой кривойпараллельно хорде, проведенной через точки А и В.Огюсте́н Луи́ Коши́ (фр. Augustin LouisCauchy; 21 августа 1789, Париж — 23мая 1857, Со,Франция) —великий французский математик и механик,член Парижской академии наук,Лондонскогокоролевского общества, Петербургской академиинаук и других академийПравило ЛопиталяТеорема 8.4.Если функции  (x) и  (x) дифференцируемы в окрестности точки a и,кроме того, lim  x   0, lim x   0,x aто тогдапричем в окрестности точки a  (x)  0,x a x  x  limx a   x x a   x limпри условии, что второй предел существует (здесь a – конечное число, или a  ,или a  , илиa  )Гийом Франсуа Лопиталь (фр.

GuillaumeFrançois Antoine, marquis de L'Hôpital; 1661 —1704) — французский математик, авторпервого учебника по математическомуанализу, маркизСпособ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован вучебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторствомГийомаЛопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме егопервооткрывателем Иоганном Бернулли.Иога́нн Берну́лли (нем. JohannBernoulli, 27 июля 1667, Базель — 1января 1748, там же) —швейцарский математик, механик,врач и филолог-классицист, самыйзнаменитый представитель семействаБернулли, младший брат ЯкобаБернулли, отец Даниила БернуллиДоказательство.Докажем теорему для случая, когда a конечное число.

По условию теоремыфункции  (x) и  (x) дифференцируемы в окрестности этой точки, аследовательно и непрерывны в точке a, это означает, чтоlim  x    a   0,x a.lim x    a   0x aПусть x – точка, принадлежащая окрестности точки a, тогда выполнены условиятеоремы Коши и имеет место формула  x    a   c   c , x   a   c   c где c лежит между a и x.

Если x  a, то и c  a, тогда x  x    a c  x  lim lim limx a   x xa   x    a ca  c x a   x limСледовательно, x  x lim limx a   x x a   x Замечание.Теорема остается в силе и в том случае, когда в точке x = a функции  (x) и ψ (x)обращаются в бесконечность.Принимая во внимание доказанную теорему, можно сформулироватьследующее правило.Правило Лопиталя.Для раскрытия неопределенностей00инадо заменить предел отношения двух функций пределом отношения ихпроизводных. Если окажется, что отношение производных имеет конечныйпредел, то к этому же пределу стремится и отношение данных фукций.Для раскрытия других неопределенностей0  ,   , 1 , 0 0и т. п.эти неопределенности следует путем тождественных преобразований.предварительно преобразовать к неопределенности вида00или,для чего их предварительно иногда приходится прологарифмироватьЕсли неопределенность не раскрылась после применения правилаЛопиталя, это правило можно применить еще раз, но уже к отношениюпроизводных x (при условии, что отношение производных  порождает неопределенности x0)или0Пример 1.tg 3 x  0 tg 3 x lim    lim3x 0 xx00x Пример 2.1  cos x  0 sin x  0 cos x 1limlimx0x0x002x022x2  limПример 3.1log 5 x   lim    lim x ln 5  0x x   x 11Пример 4.11 xx  ln 1  x 11lim          lim limxx0 ln 1  x x0x0xxlnxln 1  x  1 x1 limx 01  x 2111  x 1  x 212lim1  3 x Пример 5.НайдемНоx 0A  1  3 x Обозначим1sin x1sin x  1 ln A 1ln1  3 x sin x3ln 1  3 x   0 lim ln A  lim    lim 1  3 x  3x 0x 0sin x 0  x0 cos xlim ln A  ln lim A  3  lim A  e 3x0Ответ:x 0lim1  3 x x 0x 01sin x e3Пример 6.Гораздо проще решить этот пример на основе применение эквивалентностиПосле дифференцирования настоятельно рекомендуется избавлятьсяот многоэтажности дроби и проводить максимальные упрощения.Вычислить предел, используя правило Лопиталя.