Лекция7-2 (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 1 часть)

Лекция 7ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (2)Дифференцирование обратной функцииПусть y = f (x) и x = x(y) взаимно обратные функцииy22y  tgx321y  arctgx120 1 21 2232xТеорема 7.1.Если функция y = y(x) имеет в некоторой окрестности точки x обратнуюфункцию x = x(y) и функция y(x) дифференцируема в точке x, тогда обратнаяфункция x = x(y) также дифференцируема в соответствующей точке y = y(x) иимеет место соотношениеy x' ( x) 1x. 'y ( y )Доказательство.Функция y = y(x) по условию теоремы дифференцируема в точке x, значит в этойточке она и непрерывна, т.е.

если функция, например, возрастает (убывает) и x0,то и y0, причем y  0 при x0Тогдаx 1y yx.Пусть теперь y0, тогда в силунепрерывности и x0, следовательно,x11 'y 0 yy y xlimx0 xx 'y  limИтак,y x'  x 'y  1  y x' 1x 'yДифференцирование обратных тригонометрических функцийДоказанная теорема о дифференцировании обратной функции позволяет легкополучить формулы для вычисления производных от обратных тригонометрическихфункций.Рассмотрим функцию y = arcsinx. Она определена и строго возрастает наинтервале (-1; 1).  Она служит обратной для функции x = siny, определенной на интервале   2 ; 2 .Следовательно.arcsin x 'x 'Итак,1sin y 'y arcsin x  x 111cos y1  sin 2 y1  x211 x2x   1;  1Аналогично arccos x x'  11x2x   1; 1Функция y = arctgx определена на интервале (-; +) и служит обратной для   ;  2 2функции y = tgx, определенной на интервале.

.arctg x 'x Итак,1tg y 'y' arctg x  x  cos 2 y 11  x2111  tg 2 y 1  x 2x   ;   'Аналогично можно доказать, что arcctg x  x  11  x2 , значитy  e arctgПример . Найти производную функцииРешение.y x' earctg x e'arctg xxПример 14. Найти производную функции.Решение.x111 x 2 xyarcsin xarcctg x.11 arcctgxarcsinx'2 2 arcsin x  1 x 1x'y x   arcctg x 2 arcctg x  xТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ1.

c'=02.3.x   axa 'a   ax 'a 1x4.e   e5.1ln x  x6.log a x ' x 'tg x ' 10.c tg x '  11.arcsin x ' x  0 ln aa  0, a  1x'1x ln a12.(a  0, a  1)1cos 2 x9.13.1sin 2 x11  x2arccos x '  arctg x ' 8.cos x 'x   sin x1  x211  x27. (sinx)' = cosx14.1arc ctg x '  11  x2ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯcy( x) '  c  y 'U ( x)  V ( x)'  U ' ( x)  V ' ( x)U ( x)  V ( x)'  U ' ( x)  V ( x)  U ( x)  V ' ( x)'U ( x )  U ' ( x )  V ( x )  U ( x )  V ' ( x ) V ( x)  V 2 ( x)f U (x )'x  fU U x'y x'1 'xy'(правило цепочки)Символьные вычисления в системе MathcadЛогарифмическое дифференцированиеДля нахождения производных некоторых функций, в том числе так называемыхсложно-показательных (степенно-показательных), т.е.

функций вида [U(x)]V(x) ,полезно применять прием, который заключается в том, что функцию, которуюнужно продифференцировать, предварительно логарифмируют (предполагаетсяпри этом, что логарифм от этой функции существует).Итак, пусть y(x) = [U(x)]V(x) , тогда ln(y(x)) = V(x)  ln(U(x)). Продифференцируемлевую и правую часть этого равенства по x:1 '1' y x ( x)  V ( x)  lnU ( x)  V ( x)  U ' ( x) yU ( x)y x' ( x )U ' ( x)  V ( x) V ( x ) ln U ( x) U ( x)V ( x)  U ( x )'(U V )  U V  ln U V   V U V 1 U Правило: производная степенно-показательной функции равна суммепроизводной показательной функции, при условии U= const,и производной степенной функции, при условии V = const.Пример.

Найти производную функции y = xxРешение.(x > 0, x  1)y'ln y  x ln x   ln x  1  x xy 'x x x (ln x  1)Дифференцирование неявно заданных функцийПод неявным заданием функции понимают задание функции в видеуравнения F(x;y) = 0, не разрешенного относительно у.Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у(например, у + 2х + cos y - 1 = 0 ).Если неявная функция задана уравнением F(x;y) = 0. то для нахожденияпроизводной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у:достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая приэтом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешитьотносительно у'.Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.Пример.Найти производную функции у, заданную уравнением х3 + у3 - Зху = 0.Решение:Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х3 + у3 - Зху = 0.3х2 + 3 у2 ∙ у' - 3(1 ∙ у + х ∙ у') = 0Отсюда следует, чтоу2у' - ху' = у - х2,т.

е.Дифференцирование функций, заданных параметрическиПусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрическив виде двух уравненийх = z(t),y = y(t).'Найдем производную y xсчитая, что функции x, y имеют производные по t и что функция х = x(t)имеет обратную t = φ(x). По правилу дифференцирования обратной функцииФункцию у = f(х), определяемую параметрическими уравнениями, можнорассматривать как сложную функцию у = y(t), где t = φ(х). По правилудифференцирования сложной функции имеем1 ytyx  yt  tx  yt x t x tx  (t )  0 Полученная формула позволяет находить производнуюy x'от функции заданной параметрически, не находя непосредственнойзависимости у от х.Пример .Вычислитьyx' для функции y от x, заданной параметрически: x  a(t  sin t ); y  a(1  cos t );   t  .Напомним, что рассматриваемая кривая называется циклоидой.Решение.

Ясно, что'a(1cost)ty x' a(t  sin t )t'a sin tt ctga (1  cos t )2t  2k Уравнение касательной и нормали к кривойУравнение прямойПусть прямая проходит через точку M1(x1;y1) и образуетс осью Ох угол α отличный от π/2.Введем угловой коэффициент прямой k = tg xx  x1 tg  ky  y1Отсюда, уравнение искомой прямойy-y1=k(x-x1)Вспоминая геометрический смысл производной:производная f'(x0) есть тангенс угла наклона касательной к графику функции,который в свою очередь равен угловому коэффициенту касательной,проведенной к кривой y = f(x) в точке x0,Тогда уравнение касательной к кривой f(x) в точке x0 имеет видy = f(x0)+f'(x0)(x-x0)Пример.

Составить уравнение касательной к кривой y = 2x2-x+5 при x = -0,5.Решение. Найдем производную в точке x = -0,5y' = 4x-1, y'(-0,5) = -3.Уравнение касательной имеет вид:y = 6-3(x+0,5) или y = -3x+4,5.Определение 7.1.Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называетсянормалью к кривой.Так как нормаль перпендикулярна касательной,то ее угловой коэффициент11kf ( x0 )Поэтому уравнение нормали имеет видkн  y  f ( x0 ) 1( x  x0 )f ( x0 )Производные высших порядковПроизводная f '(x) функции y = f (x), определенной и дифференцируемой наинтервале (a; b), представляет собой функцию, также определенную на интервале(a; b).

Если эта функция f '(x) сама является дифференцируемой в некоторойточке x(a; b), то ее производную называют второй производной (илипроизводной второго порядка) функции y = f (x) и обозначают f ''(x), или f (2) (x).После того, как введено понятие второй производной, можно последовательноввести понятие третьей производной, затем четвертой и т.д.Таким образом, понятие n-ой производной вводится индуктивно, при переходе отпервой производной к последующим из рекуррентного соотношенияf (n) (x) = [f (n-1) (x)]'.Функцию, имеющую на данном множестве конечную производную n-го порядка,называют n раз дифференцируемой на этом множестве.Механический смысл производной второго порядкаПусть материальная точка движется прямолинейно по закону S = f(t).Как уже известно, производная S΄ равна скорости точки в данныймомент времени: S΄ = V.Несложно показать, что вторая производная от пути по времениесть величина ускорения прямолинейного движения точки.Геометрический смысл второй производной.Позже будет установлено, что знак второй производнойопределяет направление выпуклости графика функции y = f(x)Пример .Найти y'''(x), если y(x) = x  exРешение.y x'  e x  x  e x  ( x  1)  e x''y xx e x  ( x  1)  e x  ( x  2)  e x'''y xxx e x  ( x  2)  e x  ( x  3)  e x.Производные высших порядков неявно заданной функцииПусть функция у = f(x) задана неявно в виде уравнения F(x;y) = 0.Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнениеотносительно у', найдем производную первого порядка (первую производную).Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производнуюот неявной функции.